Примерный состав практической части курсового проекта.

1. Линейное программирование.

А). Решить задачу линейного программирования графическим методом

Задача 1.

Z = 2x1 +3x2 max

X1 +3x2 18

2x1 + x2 16

X2 5

3x1 21

X1 , x2

Задача 2.

Z = 12x1 + 15x2 max

6x1 +6x2 36

4x1 + 2x2 20

4x1 + 8x2 40

X1 , x2

Задача 3.

Z= x1 +2x2 max

2x1 + 3x2 6

2x1 + x2 4

X1 1

- x1 +x2 1

X1 , x2

Задача 4.

Z = x1 + x2 max

2x1 + x2 15

X1 + x2 3

X2 6

X1 x2

Задача 5.

Z = x1 +3x2 max

-x1 +3x2 3

X1 +x2 7

3x1 + x2 15

X1 , x2

Задача 6.

Z = 7x1 +3x2 max

5x1 + 2x2 20

8x1 + 4x2 36

X1 , x2

В) Записать математическую модель задачи линейного программирования, представить ее в матричной форме, решить симплекс-методом аналитически и при помощи программы Полученные разными способами результаты сравнить. Для исходной задачи составить двойственную ей задачу.

Задача 1.

Ферма занимается разведением свиней. Для получения наибольшего количества мяса необходимо производить их откорм. При откорме каждое животное должно получать не менее 14 ед. углеводов, 23 ед. белков и 10 ед. протеина. Для составления рациона используют четыре вида корма, стоимость 1кг каждого вида составляет (руб); 1 – 9; 2 – 8, 3 – 7, 4 – 11. Разработать дневной рацион питания свиней, учитывающий содержание питательных веществ и имеющий минимальную стоимость.

Питательные вещества	Кол-во питательных веществ на 100 г корма, ед.	Необходимый минимум питат. веществ,ед.
Углеводы
Белки
Протеины

Задача 2.

Кондитерская фабрика «Сластена» производит четыре вида кондитерских изделий: вафли, шоколад, пряники и печенье. Данная продукция изготовляется в двух цехах: 1 – шоколад, 2 – выпечка (вафли, пряники и печенье). Все производство автоматизировано. В цехе 2 сотрудников больше, так как процесс производства более сложный и трудоемкий. В общей сложности для производства всей продукции используются ресурсы трех видов: труд, сырье , оборудование. Сырье (сахар) поступает с заводов Краснодарского края. Расход ресурсов на производство 1 кг каждого вида продукции и запасы ресурсов приведены в таблице. Цена реализации 1 кг продукции: вафли – 30 руб.. шоколад – 30. пряники – 28. печенье – 30 руб. Найти оптимальный план производства продукции. При котором общая стоимость ее выпуска была бы максимальной.

Ресурс	Расход ресурса на изготовление 1 кг продукции	Запас ресурса
вафли	шоколад	пряники	печенье
Труд, чел.-дн.
Сырье-сахар, кг
Оборудование, стан.-чел.

Задача 3.

Предприятие ООО «Прима» производит пять видов продукции из дерева: окна. подоконники. двери. евро-брус. вагонка. Для их производства используются ресурсы трех видов: труд, сырье, оборудование. Расход ресурсов на производство 1 ед. каждого вида продукции и запасы ресурсов приведены в таблице. Прибыль от реализации 1 ед. продукции составляет: окно – 50 руб., дверь – 30, подоконник – 20, брус – 10, вагонка – 10 рублей. Найти оптимальный план производства, при котором общая прибыль была бы максимальной.

Ресурс	Расход на изготовление 1 ед. продукции	Запас ресурса
окно	дверь	подоконник	брус	вагонка
Труд, чел.-дн.	3,256	2,184	1,15	1,5	0,5	510,6404
Сырье, кВ.м.	20,159	30,897	20,2	10,456	5,162	5600,25
5600,25Оборудование, Стан.-ч.	5,38	3,129	1,159	1,15	1,23	480,2

Задача 4.

Фирма производит и продает столы и шкафы из древесины хвойных и лиственных пород. Расход каждого вида в кубометрах на каждое изделие задан в таблице.

	Расход древесины, м кв.	Цена изделия, Тыс. руб.
хвойные	лиственные
Стол	0,15	0,2	0,8
Шкаф	0,3	0,1	1,5
Запасы древесины, м кв.

Определите оптимальное количество столов и шкафов, которое следует поставлять на продажу для получения максимального дохода фирмы.

Задача 5.

Малое предприятие арендовало минипекарню для производства чебуреков и беляшей. Мощность пекарни позволяет выпускать в день не более 50 кг продукции. Ежедневный спрос на чебуреки не превышает 260 штук, а на беляши – 240 штук. Суточные запасы теста и мяса и расходы на производство каждой единицы продукции приведены в таблице. Определить оптимальный план ежедневного производства чебуреков и беляшей, обеспечивающих максимальную выручку от продажи.

	Расход на производство, кг/шт.	Суточные запасы Сырья, кг
чебуреки	беляши
Мясо	0,35	0,6
Тесто	0,65	0,3
Цена, руб./кг	50,0	80,0

Задача 6.

Фирма производит два безалкогольных широко популярных напитка «Колокольчик» и «Буратино». Для производства 1 л «Колокольчика» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для «Буратино» - 0,04 ч, а расход специального ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1л соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг специального ингредиента и 24 ч работы оборудования. Доход от продажи 1 л «Колокольчика» составляет 0,25 руб., а «Буратино» - 0,35 руб.

Определите ежедневный план производства напитков каждого вода, обеспечивающий максимальный доход от их продажи.

1. Транспортная задача.

А) Есть 3 поставщика с мощностями а1,а2, а3 и 5 потребителей (их спрос в1, в2, в3, в4 и в5 соответственно) некоторого груза. Стоимость доставки единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю задается матрицей С размера 3х5. Найти оптимальный план поставок.

Номера вариантов

а1
а2
а3
в1
в2
в3
в4
в5
с11
с12
с13
с14
с15
с21
с22
с23
с24
с25
с31
с32
с33
с34
с35

1. Динамическое программирование.

А). Между четырьмя предприятиями распределяются 60 млн. руб. Прирост выпуска продукции на каждом предприятии зависит от выделенной суммы средств х. Значения прироста задаются в виде таблицы (х), i=1,2,3,4. Найти такой план распределения 60 млн. руб.между предприятиями, при котором общий прирост выпуска продукции будет максимальным.

Прирост выпуска продукции, млн. руб.

Средства х, млн. руб.	С1(х)	С2(х)	С3(х)	С4(х)
	A	D	G	M
	B	E	H	N
	C	F	R	P

Номер варианта

A
B
C
D
E
F
G
H
K
M
N
P

1. Нелинейное программирование.

А). Найти глобальный экстремум ( наибольшее и наименьшее значения) функции в области решения системы неравенств ( дать геометрическое решение ).

Задача 1.

Z = 3x1 + x2

x1 + x2 40

x1 + x2 4

x1 , x2

Задача 2.

Z = x1x2

0

2x1 + x2 8

В) Найти условный экстремум функции Z с помощью метода исключения ( сведения имеющейся задачи к задаче с одной переменной).

Задача 1.

Z = x1 + x2 при x1 + x2 = 1

Задача 2.

Z = x1x2 + x2x3 при x1 +x2 = 2, x2 +x3 = 2

Задача 3.

Z = x1x3 – x2x3 при x2 + 2x3 = 3, x1+x2 = 2

С). Найти условный экстремум функции Z с помощью метода множителей Лагранжа

Задача 1.

Z = x1 + x2 при 1/x1 + 1/x2 = 1

Задача 2.

Z = x1 + x2 при x1 + x2 = 2, x1 ., x2 .

Задача 3.

Z = 3x1 + 2x2 - x1 +1 при x1 + x2 = 4.

1. Теория игр.

А). Найти нижнюю и верхнюю цены игры с заданной платежной матрицей. А Определить, имеет ли игра седловую точку. Если игра имеет седловую точку, то выписать решение игры.

Задача 1.

А =

Задача 2.

А =

Задача 3.

А =

В). Найти смешанные стратегии игроков в игре 2х2.

Задача 1.

А =

Задача 2.

А =

Задача 3.

А =

Задача 4.

А =

Задача 5.

А =

Задача 6.

А =

С). Найти решение матричной игры с матрицей А = , используя методы линейного программирования.

Номера вариантов задач

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
b4
c1
c2
c3
c4

1. Системы массового обслуживания.

А). Найти предельные вероятности для следующей системы.

Оценить среднюю эффективность системы, если в состояниях S0, S1, и S2 система приносит g, h и k денежных единиц дохода соответственно.

Номер варианта.

a
b
c
d
e
f
g
h
K

В). Найти предельные вероятности для процесса гибели и размножения, размеченный граф состояний которого имеет следующий вид:

Номер варианта

a
b
c
d
e
f

7. Теория принятия решений

А) Компания рассматривает вопрос о строительстве нового завода, Возможны 3 варианта действий.

1-ый вариант. Построить большой завод стоимостью М1 тысяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос (годовой доход в размере К1 тысяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятностью р1 и низкий спрос (ежегодные убытки К2 тысяч долларов) с вероятностью р2.

2-ой вариант, Построить маленький завод стоимостью М2 тысяч долларов. Возможны большой спрос (ежегодный доход в течении 5 лет Т1 ) с вероятностью р1 и низкий спрос (ежегодные убытки Т2 тысяч долларов) с вероятностью р2.

3-й вариант. Отложить строительство завода на 1 год для сбора дополнительной информации, которая может быть позитивной или негативной с вероятностью р3 и р4 соответственно. В случае позитивной информации можно построить заводы по указанным выше ценам, а вероятности большого и низкого спроса меняются на р5 и р6 соответственно. Доходы на последующие 4 года остаются прежними. В случае негативной информации компания заводы строить не будет. Все расчеты выражены в текущей стоимости и не должны дисконтироваться. Нарисовать «дерево» решений. Определить наиболее эффективную последовательность действий компании, основываясь на ожидаемых доходах.

	М1	М2	р1	р2	р3	р4	р5	р6	К1	К2	Т1	Т2
			0,7	0,3	0,8	0,2	0,9	0,1
			0,65	0,35	0,75	0,25	0,91	0,09
			0,75	0,25	0,85	0,15	0,92	0,08
			0,7	0,3	0,85	0,15	0,93	0,07
			0,65	0,35	0,8	0,2	0,94	0,06
			0,75	0,25	0,75	0,25	0,95	0,05
			0,7	0,3	0,75	0,25	0,94	0,06
			0,65	0,35	0,85	0,15	0,93	0,07
			0,75	0,25	0,8	0,2	0,92	0,08
			0,7	0,3	0,75	0,25	0,91	0,09

В) Задача 1.

Шесть экспертов оценивали по 20-балльной шкале степень риска проезда на 7 видах транспорта. Оценки экспертов представлены в таблице.

	Экспертные оценки
Транспорт
Воздушный
Железнодорожный
Водный
Автомобильный
Мотоцикл
Велосипед
Метро

По этим оценкам выявить самые безопасные виды транспорта в соответствии с критериями Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа. Для критерия Гурвица взять к=0,4,

Задача 2.

На Новый год в детский сад хотят поставить наборы подарков, производимых пятью фабриками. При выборе фабрики руководствуются экспертными оценками стоимости подарков, приведенными в таблице. С какой из фабрик следует заключить договор, чтобы стоимость наборов была минимальной (к=0,5).

Номер фабрики	Экспертные оценки

Задача 3.

Автомобильная компания собирается поставлять автомобили на рынок. Составлена смета расходов на организацию продажи автомобилей в квартал и рассчитан ожидаемый доход в зависимости от спроса. В соответствии с принятым решением составлена таблица ежегодных финансовых результатов компании ( доход в тыс.у.ед.). Провести оценку с использованием всех критериев. Для критерия Гурвица к=0,3.. При использовании критерия Гурвица сделайте расчеты также при значениях к=0,5, к=0,7.

Доход компании в зависимости от оценки прогнозируемой величины

Спроса, %, тыс.ден.ед.

Количество автомашин, продаваемых в квартал,ед.

Задача 4.

Десять экспертов оценивали по 10-бальной шкале модели летних шин для автомобилей. Учитывались: длина тормозного пути, надежность управления на прямой и на поворотах, поперечные сцепные свойства и другие по минимуму затрат. Оценки экспертов представлены в таблице.

По этим оценкам выбрать наиболее удачную модель в соответствии с критериями Лапласа, Вальда, Гурвица (к=0,6) и Сэвиджа.

Экспертная оценка

Модель шины
Barum Bravoris
Continental PC
Danlop SP
Goodyear EV
Michelin Energy
Nokian NRH2
Pirelli P6

С). В задачах даны платежные матрицы Р игры с природой. Известны вероятности наступления состояния Пj природы и равны рj. Найти оптимальное поведение игрока, используя критерий максимизации среднеожидаемого выигрыша.

Задача 1.

Р = , р1=0,2, р2= 0,4, р3= 0,1, р4=0,3..

Задача 2.

Р = , р1=0,5, р2=0,2, р3=0,2, р4=0,1,.

Задача 3.

Р = , р1=0,1, р2=0,2, р3=0,5, р4=0,2.

Задача 4.

Р = , р1=0,43, р2=0,16, р3=0,41.

1. Задачи на графах.

А) Найти путь наименьшей длины между вершинами 1 и 8. Построить коммуникационную сеть минимальной длины.

Номер варианта задачи

A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N

Б) Найти максимальный поток в графе.

Построить минимальный разрез и доказать (по теореме Форда – Фалкерсона), что построенный поток является максимальным.

На каждом рисунке источник А и сток В в транспортной сети указан стрелками. Цифры над ребром графа обозначают пропускную способность ребра в соответствующем направлении.

В) Дана матрица А = расстояний между городами.

Решить задачу коммивояжера.

вариант
a
b
c
d
e
f
g
h
k
m
n
p
q
r
s
t
x
y
z
w

1. Построение прогнозов.

А) Необходимо рассчитать значение остатков вкладов населения в банках на начало 16-го месяца, исходя из предположения, что тенденция ряда может быть описана

а) линейной моделью y = a +bt?

б) параболической моделью y = a +bt + c

в) показательной моделью y = a /

Исходные данные сведены в таблице

t
y

В) Есть статистические данные о взаимосвязи 2-х показателей,

Число постояльцев в гостинице	Объем потребления основных продуктов питания
Коэффициент корреляции	0.82

Сделать прогноз потребления основных продуктов питания, если в гостинице будет 270, 285 или 350 постояльцев.

8. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Агальцов В.П., Волдайская И.В. «Математические методы в программировании».- М.: Форум – Инфра – М., 2006, 224 с.
2. Бережная Е.В., Бережной В.И. «Математические методы моделирования экономических систем».- М.: Финансы и статистика, 2008, 431 с.
3. Ильченко А.Н., Ксенофонтова О.А., Г.В. Канакина «Практикум по экономико-математическим методам».- М.: Финансы и статистика., 2009, 288 с.
4. «Исследование операций в экономике»/ Под ред. Н.Ш. Кремера. –М.: Юнити, 1997, 407 с.
5. Красс М. С., Чупрынов Б. П. «Математика для экономического бакалавриата». – М.: «Дело», 2005, 576 с.
6. Кузнецов Б.Т. «Математические методы и модели исследования операций».- М.: Юнити, 2005, 390 с.
7. Просветов Г.И. «Математические методы в экономике» - М.: Издательство РДЛ, 2007, 160 с.
8. Просветов Г.И. «Математические модели в экономике».- М.: Издательство РДЛ, 2006, 160 с.
9. Салманов О.Н. «Математическая экономика с применением MathCAD и MS EXCEL». – СПб.: БХВ, Петербург, 2005 .
10. Стерлигова А.Н. «Управление запасами в цепях поставок». - М.: Инфра-М., 2009, 421 с.
11. Фомин Г.П. «Математические методы и модели в коммерческой деятельности». - М.: Финансы и статистика, 2001, 543 с.
12. Шапкин А.С., Н.В. Мазаева. «Математические методы и модели исследования операций». - М.: Дашков и К, 2005, 396 с.
13. Под ред. В.В. Федосеева «Экономико-математические методы и прикладные модели» , М., Юнити, 2005 г., 390 с.
14. «Экономико-математические методы и модели. Задачник»/ Под ред. Макарова С.И., Севастьяновой С.А. - М.: Кнорусс, 2009, 208 с.