Формулы для расчета показателей работы СМО

В задачах к разделу 2 рассматриваются четыре модели массового обслуживания. Ниже приводятся общие описания этих моделей и некоторые формулы, необходимые для расчета основных характеристик их функционирования. Во всех моделях р_n – вероятность того, что в системе находится n требований (заявок); ρ = λ/μ, где λ – интенсивность потока заявок (среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени), μ – интенсивность обслуживания (величина, обратная среднему времени обслуживания одной заявки ; среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени).

5.2.1. Системы с ожиданием при неограниченном входящем потоке

На n одинаковых каналов поступает простейший поток заявок интенсивностью λ. Если в момент поступления заявки все каналы заняты, то эта заявка становится в очередь и ждет начала облуживания. Время обслуживания каждой заявки является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ.

Расчетные формулы

Вероятность того, что все каналы свободны

Вероятность того, что занято k каналов, при условии, что общее число заявок, находящихся на обслуживании, не превосходит числа каналов,

Вероятность того, что в системе находится k заявок, в случае, когда их число больше числа каналов,

Вероятность того, что все каналы заняты,

Среднее время ожидания заявкой начала обслуживания в системе

Средняя длина очереди

Среднее число свободных от обслуживания каналов

Пример

Автозаправочная станция с двумя колонками обслуживает пуассоновский поток машин с интенсивностью λ=0,8 машин в минуту. Время обслуживания одной машины подчиняется показательному закону со средним значением 2 минуты. В данном районе нет другой АЗС, так что очередь перед АЗС может расти практически неограниченно. Найдите:

1) среднее число занятых колонок;

2) вероятность отсутствия очереди у АЗС;

3) вероятность того, что придется ждать начала обслуживания;

4) среднее число машин в очереди;

5) среднее время ожидания в очереди;

6) среднее время пребывания машины на АЗС;

7) среднее число машин на АЗС.

Решение. По условию задачи

Поскольку ρ/n=0,8<1, то очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы системы массового обслуживания.

Находим вероятности состояний СМО:

Среднее число занятых колонок:

Вероятность отсутствия очереди у АЗС:

Вероятность того, что придется ждать начала обслуживания равна вероятности того, что все колонки заняты:

Среднее число машин в очереди:

Среднее время ожидания в очереди:

Среднее время пребывания машины на АЗС:

Среднее число машин на АЗС:

5.2.2. Системы с ожиданием при ограниченном входящем потоке

Система состоит из n каналов обслуживания. Каждый из них может одновременно обслуживать только одну заявку. В систему поступает простейший поток заявок интенсивностью λ. Число источников заявок ограничено, так что в системе может находиться не более m заявок. Если все каналы заняты, заявка становится в очередь и ждет начала облуживания. Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ.

Расчетные формулы

Вероятность того, что занято k каналов, при условии, что общее число заявок, находящихся на обслуживании, не превосходит числа каналов,

Вероятность того, что в системе находится k заявок, в случае, когда их число больше числа каналов,

Вероятность того, что все каналы свободны

Средняя длина очереди (среднее число заявок, ожидающих начала обслуживания)

Среднее число заявок, находящихся в системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:

Среднее число свободных от обслуживания каналов

5.2.3. Системы с отказами

Отличительной особенностью модели является отсутствие блока ожидания. Это означает, что заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, покидает ее не обслуженной, т.е. теряется.

На вход n-канальной системы поступает простейший поток заявок интенсивностью λ. Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Если заявка застала все n каналов занятыми, она получает отказ.

Расчетные формулы

Вероятность того, что в системе находится k заявок

Вероятность того, что все каналы свободны

Вероятность отказа

Вероятность обслуживания заявки p_обс, или относительная пропускная способность системы q,

Абсолютная пропускная способность

А = λ∙q.

Среднее число свободных от обслуживания каналов

5.2.4. Системы с ограниченной длиной очереди

На вход n-канальной системы поступает простейший поток заявок интенсивностью λ. Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ. Каждая вновь поступившая заявка, застав все каналы занятыми, становится в очередь только в том случае, если в ней находится меньше m заявок. Если число заявок в очереди равно m, то заявка покидает систему не обслуженной: получает отказ.

Расчетные формулы

Вероятность того, что все каналы свободны,

Вероятность того, что в системе находится k ≤ n заявок,

Вероятность того, что в системе находится k > n заявок,

Вероятность отказа заявке в обслуживании, которая равна вероятности того, что в системе уже находится (n+m) заявок,

Среднее число свободных от обслуживания каналов