Экономико–математическим методам для студентов экономического факультета заочного отделения
1. Этапы составления моделей оптимизации.
2. Понятие и классификация задачи математического программирования.
3. Понятия допустимого и оптимального решения задачи математического программирования.
4. Задачи линейного программирования.
5. Примеры задач линейного программирования: задача планирования производства.
6. Примеры задач линейного программирования: задача о диете.
7. Примеры задач линейного программирования: транспортная задача.
8. Примеры задач линейного программирования: задача об оптимальном раскрое.
9. Примеры задач линейного программирования: задача о назначениях.
10. Стандартная, общая и каноническая формы задачи линейного программирования. Эквивалентность различных форм задачи линейного программирования.
11. Выпуклые множества. Теорема о выпуклости множества допустимых решений задачи линейного программирования.
12. Выпуклые многогранники. Связь между оптимальным решением задачи линейного программирования и крайними точками выпуклого многогранника.
13. Графический метод решения задач линейного программирования.
14. Метод Жордана – Гаусса решения систем линейных уравнений.
15. Опорные решения.
16. Табличный симплекс – метод.
17. Метод искусственного базиса.
18. Двойственная задача линейного программирования и ее экономическая интерпретация.
19. Простейшие связи между прямой и двойственной задачами.
20. Теорема двойственности и ее экономическая интерпретация
21. Анализ решения задачи линейного программирования.
22. Постановка транспортной задачи, математическая модель задачи.
23. Методы нахождения опорных решений транспортной задачи.
24. Методы решения транспортных задач: метод потенциалов.
25. Задачи транспортного типа.
26. Понятие о задаче целочисленного линейного программирования.
27. Понятие о задаче многокритериальной оптимизации.
28. Методы решения задач многокритериальной оптимизации.
29. Понятие о задаче нелинейного программирования.
30. Понятие об игровых методах принятия решений.
Задачи для контрольной работы по экономико–математическим методам для студентов экономического факультета заочного отделения
Задача № 1
На предприятии имеется возможность выпускать 2 вида продукции P1 и P2. При её изготовлении используются ресурсы R1, R2 и R3. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2 и b3. Расход ресурса i–го вида (i=1, 2, 3) на единицу продукции j–го вида составляет aij единиц. Цена продукции j–го вида равна cj ден. ед. Найти план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход. Требуется:
1) составить математическую модель задачи линейного программирования;
2) найти оптимальное решение задачи линейного программирования графическим методом;
3) найти оптимальное решение задачи линейного программирования симплексным методом;
4) записать двойственную задачу и дать ее экономическую интерпретацию;
5) используя оптимальное решение исходной задачи, найти оптимальное решение двойственной задачи;
6) указать наиболее и наименее дефицитный ресурс;
7) установить, целесообразно ли выпускать новую продукцию P3, на единицу которой ресурсы R1, R2 и R3 расходуются в количествах d1, d2и d3единиц, а цена продукции составляет z денежных единиц.
Все необходимые числовые данные приведены в таблице 17.
Таблица 17 – Исходные данные
| Номер варианта | ||||||||||
| b1 | ||||||||||
| b2 | ||||||||||
| b3 | ||||||||||
| a11 | ||||||||||
| a12 | ||||||||||
| a21 | ||||||||||
| a22 | ||||||||||
| a31 | ||||||||||
| a32 | ||||||||||
| c1 | ||||||||||
| c2 | ||||||||||
| d1 | ||||||||||
| d2 | ||||||||||
| d3 | ||||||||||
| z |
Задача № 2
В пунктах Ai (i=1, 2, 3) производится однородная продукция в количествах ai единиц. Готовая продукция поставляется в пункты Bj (j=1, 2, 3, 4), потребности которых составляют bj единиц. Стоимости cij перевозки единицы продукции из пункта Ai в пункт Bj известны. Найти план перевозок продукции между пунктами Ai и Bj, для которого общие транспортные затраты были бы минимальными.
Требуется:
1) записать математическую модель транспортной задачи;
2) найти начальное опорное решение методом «северо – западного угла»;
3) найти оптимальное решение методом потенциалов;
4) вычислить наименьшие суммарные транспортные затраты fmin;
Все необходимые числовые данные приведены в таблице 18.
Таблица 18 – Исходные данные
| Номер варианта | ||||||||||
| a1 | ||||||||||
| a2 | ||||||||||
| a3 | ||||||||||
| b1 | ||||||||||
| b2 | ||||||||||
| b3 | ||||||||||
| b4 | ||||||||||
| c11 | ||||||||||
| c12 | ||||||||||
| c13 | ||||||||||
| c14 | ||||||||||
| c21 | ||||||||||
| c22 | ||||||||||
| c23 | ||||||||||
| c24 | ||||||||||
| c31 | ||||||||||
| c32 | ||||||||||
| c33 | ||||||||||
| c34 |
Задача № 3
Две компании, занимающиеся производством антивирусного программного обеспечения, практически полностью делят рынок некоторого региона. Разрабатывая новую версию программного продукта для мобильных телефонов, каждая из компаний может использовать один из трех вариантов продвижения нового программного продукта на рынок, который влияет на конечную стоимость продукции.
В зависимости от сделанного выбора компании могут установить цену реализации единицы продукции на уровне 25, 22 и 19 условных единиц соответственно. Соотношение цен реализации и себестоимость представлены в таблице 19:
Таблица 19 – Исходные данные
| Вариант продвижения нового продукта | Цена реализации единицы продукции, ден..ед. | Полная себестоимость единицы продукции, ден..ед. | |
| Компания А | Компания В | ||
| 21 – 0,1*N | |||
| 10 + 0,1*N | |||
| 10 + 0,1*N |
N – номер варианта.
N – номер варианта.
В результате маркетингового исследования рынка была определена функция спроса на программные продукты:
Y = 11 –5X,
где Y – количество продукции, которое будет реализовано в регионе (тыс. ед.), а X – средняя цена продукции компаний, ден. ед.
Значения долей продукции, реализованной компанией А, зависят от соотношения цен на продукцию компании А и компании В. Маркетинговое исследование позволило установить эту зависимость:
Таблица 20 – Исходные данные
| Цена реализации 1 ед. продукции, ден. ед. | Доля реализованной продукции компании А | |
| Компания А | Компания В | |
| 0,31 | ||
| 0,33 | ||
| 0,25 | ||
| 0,4 | ||
| 0,35 | ||
| 0,32 | ||
| 0,52 | ||
| 0,48 | ||
| 0,4 |
1. Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при выборе варианта продвижения продукта на рынок обоими компаниями?
2. Существуют ли варианты, которые компании заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности?
3. Сколько продукции будет реализовано в ситуации равновесия? Какая компания получит больше прибыль в ситуации равновесия? Какая компания будет иметь большую долю рынка в ситуации равновесия? Дайте краткую экономическую интерпретацию результатов решения задачи.
Литература
1. Линейное программирование: методические указания и задания для практических работ по курсу «Экономико–математические методы»/ Кузнецов В. Б.; Мин – во сел. хоз-ва РФ, ВГМХА, кафедра экономической кибернетики. Вологда – Молочное: [ИЦ: ВГМХА], 2004.
2. Пинегина М. В. Математические методы и модели в экономике – М.: Издательство Экзамен, 2004.
3. Просветов Г. И. Математические методы в экономике – М.: РДА, 2005.
4. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике – СПб: Питер, 2002.
5. Орехов Н. А. Математические методы и модели в экономике. М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2004.
6. Экономико – математические методы и модели/ под редакцией Федосеева В. В./. – Москва: Юнити, 2000.
7. Экономико – математические методы и модели/ под редакцией Кузнецова А. В./. – Минск, БГЭУ, 1999.
8. Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программирование. – М: Высшая школа, 1980.
9. Кузнецов А. В. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Минск: Высшая школа, 1978.
10. Гуревич Т. Ф., Лущук В. О. Сборник задач по математическому программированию. – М.: Колос, 1977.