Понятие и назначение индексов. Виды индексов
Тема 10. ИНДЕКСЫ
В данной теме рассмотрены виды, особенности и назначение таких статистических показателей, как индексы. Представлен в общем виде алгоритм факторно-индексного анализа, а также особенности его применения для изучения динамики средней величины.
1. Понятие и назначение индексов. Виды индексов.
2. Факторно-индексный анализ.
3. Факторно-индексный анализ динамики средней величины.
Понятие и назначение индексов. Виды индексов
Индекс – показатель сравнения двух состояний одного и того же процесса или явления.
Примеры:
– цепной темп роста показателя «Выбросы в атмосферу загрязняющих веществ» в 2002 году по Челябинской области составил 0,918; этот показатель является индексом, сопоставляющим значения двух состояний (2002 и 2001 годы) одного и того же процесса или явления (показателя «Выбросы в атмосферу загрязняющих веществ» по Челябинской области):
– отношение объема выбросов в 2002 году по Челябинской области к аналогичному показателю по Свердловской области составляет 0,740; этот показатель является индексом, сопоставляющим значения двух состояний (в Челябинской области и в Свердловской области) одного и того же процесса или явления (показателя «Выбросы в атмосферу загрязняющих веществ» в 2002 году):
;
– отношение объема выбросов в 2002 году по Челябинской области к средней по РФ величине составляет 4,086; этот показатель является индексом, сопоставляющим значения двух состояний (в Челябинской области и в среднем по РФ) одного и того же процесса или явления (показателя «Выбросы в атмосферу загрязняющих веществ» в 2002 году):
.
Основное назначение индексов – это сравнение явлений во времени, в пространстве и с нормативами (средними), а также анализ изменения явлений по факторам.
Различают следующие виды индексов: 1) базисные и цепные; 2) индивидуальные, сводные, агрегатные.
Рассмотрим подробнее первую группировку. Базисные и цепные индексы различаются базой сравнения: первые сопоставляют изучаемое состояние явления с предшествующим, а вторые – с некоторым, выбранным за базу для сравнения. И те и другие индексы могут оценивать изменения как во времени, так и в пространстве. Примерами базисных и цепных индексов сопоставления значений показателей во времени могут служить базисные и цепные темпы роста показателей (см. 9.2. «Ряды динамики»). Базисные и цепные индексы сопоставления значений показателей в пространстве – это соотношения характеристик объектов в ранжированном ряду (соответственно с первым в ряду значением и с предыдущим). Индексы показывают, во сколько раз данное значение превышает значение единицы, принятой за базу, или значение предыдущей в ряду единицы.
Пример 1. В ранжированном (по возрастанию признака) ряду 89 административно-территориальных единиц Российской Федерации по признаку «Выбросы в атмосферу загрязняющих веществ» в 2002 году на первом месте находится Кабардино-Балкарская республика со значением признака 1 тыс. т (минимальное значение в ряду). Челябинская область (со значением 903 тыс. т) в этом ряду непосредственно следует за Ямало-Ненецким автономным округом (со значением 725 тыс. т). Таким образом, базисный и цепной индексы для показателя Челябинской области равны соответственно 903 и 1,25:
; 
.
Пример 2. Ежегодно студенты V курса факультета «Экономика и управление» сдают государственный экзамен по специальности. Экзамен представляет собой тест из заданий по разным дисциплинам финансово-экономического блока. По результатам экзамена определяются рейтинги студентов в соответствии с количеством набранных ими баллов (процентом правильно выполненных заданий). По формируемым спискам можно подсчитать отставание конкретного студента от предыдущего в списке (цепной индекс) и от лучшего в списке (базисный индекс). Например, по данным представленного списка результат Санниковой О. на 28,6 % слабее лучшего в группе и на 6,2 % отстает от предыдущего.
Результаты государственного экзамена по специальности
1. Кузьмина К. – 5 (84 %).
2. Антонова М. – 5 (76 %).
3. Реутова Ю. – 5 (76 %).
4. Чернышев Е. – 5(75 %).
5. Ясина О. – 5 (75 %).
6. Аверченко В. – 4 (70 %).
7. Коновалова В. – 4 (64 %).
8. Санникова О. – 4 (60 %);
базисный индекс: 
; цепной индекс: 
.
9. Яровой Д. – 4 (60 %).
10. Ипатов А. – 4 (60 %).
11. Зайцев Е. – 4 (60 %).
Для более подробного изучения индексов введем следующие обозначения:
| i | – | индивидуальный индекс; |
| I | – | агрегатный (сводный) индекс; |
| p0 | – | цена продукции в базисном периоде; |
| p1 | – | цена продукции в отчетном периоде; |
| q0 | – | объем отдельного вида продукции в базисном периоде; |
| q1 | – | объем отдельного вида продукции в отчетном периоде; |
| Q0 | – | суммарный (по видам, способам или каналам продаж и т. д.) объем продукции в базисном периоде; |
| Q1 | – | суммарный (по видам, способам или каналам продаж и т. д.) объем продукции в отчетном периоде; |
| dq0 | – | доля отдельного вида (или выделенной по какому-либо признаку части) продукции в общем объеме в базисном периоде; |
| dq1 | – | доля отдельного вида (или выделенной по какому-либо признаку части) продукции в общем объеме в отчетном периоде; |
| z0 | – | себестоимость единицы продукции в базисном периоде; |
| z1 | – | себестоимость единицы продукции в отчетном периоде; |
| R0 | – | рентабельность продукции в базисном периоде; |
| R1 | – | рентабельность продукции в отчетном периоде; |
| P0 | – | прибыль в базисном периоде; |
| P1 | – | прибыль в отчетном периоде. |
Индивидуальный индекс – это результат сопоставления характеристик отдельных единиц статистической совокупности. Сводный индекс– это результат сопоставления обобщенных характеристик явления по группам единиц. Агрегатный индекс– это результат сопоставления обобщенных характеристик явления по группам единиц, приведенных к обобщенному виду путем взвешивания.
Примеры индивидуальных, сводных и агрегатных индексов:
– все рассмотренные выше индексы – индивидуальные (сопоставляются характеристики одного или отдельных регионов, одного или отдельных студентов);
– индивидуальные индексы цены отдельного товара в разные периоды времени:
;
где первая цифра индекса обозначает номер периода: 0, 1; вторая – номер товара: 1, 2, … , n;
– сводный индекс: соотношение суммарной по всем регионам величины выбросов в атмосферу в 2003 году к аналогичной характеристике 2002 года;
– агрегатные индексы цены:
· индекс Ласпейерса (1864 г.) 
;
(для удобства работы с данными вторую цифру индекса, указывающую номер единицы совокупности, как правило, опускают);
· индекс Пааше (1874 г.) 
;
– агрегатный индекс физического объема:
;
– сводный индекс стоимости:
Значения базисных и индивидуальных индексов связаны следующим соотношением:
Данные соотношения можно использовать либо для выполнения, либо для проверки расчетов.
Факторно-индексный анализ
Факторно-индексный анализ – это метод измерения влияния изменения значений отдельных факторных признаков на изменение значений результативного признака.
Процедура факторно-индексного анализа включает в себя следующие 5 этапов:
1. Построение формулы, определяющей зависимость результативного признака и факторных признаков:
.
Например: показатель суммы прибыли от производства и реализации продукции может быть представлен как функция 4 переменных: цены на продукцию (p), себестоимости продукции (z), структуры реализации продукции (dq), объема реализации (Q):
,
или 
.
2. Определение последовательности подстановок:
x1– x2 – … – xn .
В отечественной практике принято начинать подстановки с количественных факторов, поэтому последовательность подстановок для показателя «сумма прибыли» начинается с показателя объема:
Q – dq – z – p.
3. Расчет общего относительного и общего абсолютного изменения.
Общий индекс и абсолютное изменение отражают изменение индексируемого показателя под влиянием всех факторов соответственно в относительном и абсолютном выражении:
4. Расчет частных относительных и частных абсолютных изменений.
Частные индексы и частные абсолютные изменения показывают, как изменилось значение индексируемого показателя под влиянием одного отдельно взятого фактора. Расчет выделенного влияния одного из факторов достигается за счет того, что в формуле частного индекса значение фактора, влияние которого измеряется, представлено разными периодами в числителе и знаменателе. Таким образом, числитель отражает такое значение изучаемого признака, которое имело бы место при значении факторного признака отчетного периода, а знаменатель – значение изучаемого признака, которое имело бы место при условии, что значение факторного признака такое же по величине, как в базисном периоде, при прочих равных условиях:
Например, частный индекс влияния фактора объема реализации на величину объема прибыли показывает, во сколько раз увеличилась бы сумма прибыли в отчетном году при условии, что объем реализации продукции в отчетном году был бы таким, как в отчетном году, а цена, себестоимость и структура выпуска остались бы такими же, как в базисном, и рассчитывается по формуле
или 
при этом частное абсолютное изменение рассчитывается по формуле
Аналогично рассчитывают частные изменения по всем другим факторам.
…
5. Проверка соотношений общего и частных изменений:
Примечание. По этому же алгоритму можно проводить факторный анализ на основе уравнения регрессии. Различие будет состоять лишь в том, что анализу подвергаются признаки, связанные корреляционно, поэтому и рассчитанное влияние будет носить вероятностный характер.
Пример. Определить, как повлияло на изменение объема производства за год изменение производительности труда и численности.
Таблица 10.1
Показатели деятельности предприятия
| Показатели | Обозначение | 2002 г. (0) | 2003 г. (1) |
| Объем производства, тыс. шт. | Q | ||
| Численность, чел. | T | ||
| Производительность труда, тыс. шт./чел. | W |
Решение.
1) Запишем формулу, определяющую зависимость результативного признака и факторных признаков:
Q = WT.
2) Определим последовательность подстановок: T – W.
3) Рассчитаем общее относительное и общее абсолютное изменения:
; 
Объем производства за год увеличился в целом (под влиянием всех факторов) в 1,5 раза, или на 100 тыс. шт.
4) Рассчитаем частные относительные и абсолютные изменения.
4.1. Частный индекс и частное абсолютное изменение в результате влияния динамики численности на объем производства:
; 
За счет сокращения численности работающих объем производства за год уменьшился в 2 раза, или на 100 тыс. шт.
4.2. Частный индекс и частное абсолютное изменение в результате влияния динамики производительности труда на объем производства:
; 
За счет роста производительности труда объем производства за год увеличился в 3 раза, или на 200 тыс. шт.
5) Проверим соотношение общего и частных изменений:
– 100 + 200 = 100.
Выводы. Общее изменение объема производства продукции за год составило +100 тыс. шт. (увеличение на 50 %), при этом за счет показателя производительности труда изменение составило +200 тыс. шт. (увеличение на 200 %) и за счет показателя численности – –100 тыс. шт. (уменьшение на 50 %).