Статистическое изучение связей социально-экономических явлений

Статистические показатели находятся между собой в определенных соотношениях. Знание характера и силы связей позволяет управлять социально-экономическими процессами и предсказывать их развитие.

Связь между количественными показателями признаков может быть функциональной и стохастической.

Связь между переменными является функциональной, когда определенному значению одной переменной строго соответствует одно или несколько значений другой переменной функциональные связи в статистике изучаются с помощью индексного метода.

Уравнение функциональной связи:

,

где – результативный признак; – известная функция связи результативного и факторного признаков; – факторный признак.

В области массовых социально-экономических явлений количественная закономерность чаще проявляется как зависимость распределения значений результативного признака от значений признаков-факторов и называются стохастическими.

Корреляционная связь является частным случаем стохастической связи.

При корреляционной связи, в отличие от функциональной, обычно не известен ни полный перечень всех признаков-факторов, влияющих на результативный признак, ни точный механизм их взаимосвязи.

На практике часто анализ начинают с расчета коэффициента корреляции (ч): при ; ; .

Коэффициент корреляции r может принимать значения от –1 до +1,

при r = 1 – функциональная прямая зависимость;

при r = 0 – отсутствует линейная зависимость;

при r = –1 – обратная связь функциональная.

Изменение r от 0 к 1 характеризует степень приближения корреляционной зависимости в изменении у и х к функциональной (линейной).

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует связь:

,

где – коэффициент регрессии в уравнении связи.

– уравнение связи.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины (результата) обусловлено влиянием факторных величин (одной или множеством).

Уравнение регрессии: .

В случае зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует степень приближения связи к функциональной и определяется по формуле

,

где – межгрупповая дисперсия; σ² – общая дисперсия.

Теоретическое корреляционное отношение (индекс корреляции) определяется по формуле

,

где – остаточная дисперсия, которая отражает вариацию у за счет всех факторов, кроме х.

РЕШЕНИЕ ТИПОВОЙ ЗАДАЧИ

Задача 1

Имеются данные по десяти однородным предприятиям:

Номер предприятия
Электровооруженность труда на 1 работающего, тыс. дол.
Выпуск готовой продукции на 1 работающего, тыс. дол.

Определить параметры уравнения связи и линейный коэффициент корреляции.

Решение:

Из таблицы видно, что зависимость электровооруженности труда с выпуском продукции на одного работника – линейная и выражается уравнением прямой

,

где у_х – выпуск готовой продукции на 1 работника; х – электровооруженность труда на 1 работника; а₀ и а₁ – параметры уравнения регрессии.

Параметры уравнения прямой а₀, а₁определяются путем решения системы нормальных уравнений, полученных по методу наименьших квадратов:

(1)

а также по следующим формулам: ; .

Для определения параметров уравнения регрессии строим расчетную таблицу:

№ завода	Электровооруженность труда на 1 работающего, КВт/ч, х	Выпуск готовой продукции на 1 работающего, тыс. дол. у
					3,61
					6,0
					4,41
					7,59
					3,61
					6,80
					5,20
					9,19
					8,38
					5,20
Итого					60,0
в среднем

Подставим фактические данные из таблицы в систему (1) нормальных уравнений и получим:

10а₀ + а₁50 = 60, (1)

50а₀ + 304а₁ = 343. (2)

Решаем систему нормальных уравнений и умножаем каждый член первого уравнения на 5 и получаем:

50а₀ + 250а₁ = 300

50а₀ + 304а₁ = 343.

Вычитаем из второго уравнения первое и получаем 43 = 54а₁, отсюда .

Подставляем значение а₁ в уравнение (1)

10а₀ + 50а₁ = 60

10а₀ + 50 ∙ 0,7963 = 60

.

Уравнение корреляционной связи примет вид:

у_х = 2,02 + 0,796х.

Параметры уравнения регрессии можно определить и по формулам:

,

.

После определения параметров уравнения регрессии рассчитаем теоретическую линию регрессии у_х путем подстановки значений х в уравнения корреляционной связи:

у₁ = 2,02 ∙ 0,796 ∙ 2 = 3,61

у₂ = 2,02 ∙ 0,796 ∙ 5 = 6,0 и т. д.

Если параметры уравнения определены правильно, то .

И окончательно проверку правильности расчета параметров уравнения связи произведем подстановкой а0 и а1 в систему (1) нормальных уравнений:

10 ∙ 2,02 + 0,796 ∙ 50 = 60,

2,02 ∙ 50 + 0,796 ∙ 304 = 343.

Используя уравнение корреляционной связи у_х = а₀ + а₁х₁, можно определить теоретическое значение у_х для любой промежуточной точки (теоретическое значение выпуска готовой продукции на 1 работника для любого значения электровооруженности труда на 1 работающего).

Коэффициент регрессии а₁ уточняет связь между х и у. Он показывает, на сколько единиц увеличивается результативный признак при увеличении факторного признака на единицу. И в нашем примере а₁ =0,796. Это значит, что при увеличении электровооруженности труда на 1 работающего на 1 кВт/ч выпуск продукции увеличится на 0,796 тыс. дол.

А сейчас из данных расчетной таблицы рассчитаем линейный коэффи­циент корреляции по формуле: и по формуле: .

Вывод: r приближается к 1 – связь линейная.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Задача 1

По десяти однородным семьям имеются следующие данные о доходах и расходах на промышленные товары за месяц:

Номер семьи
Доход на душу, дол.
Расходы на промышлен­ные товары, дол.

Найти уравнение корреляционной связи между доходами и расходами на промышленные товары (связь линейная). Проанализировать параметры уравнения связи. Изобразить корреляционную связь на графике.

Задача 2

На основе выборочных данных о деловой активности однотипных коммерческих структур оценить тесноту связи между прибылью (у) и затратами на 1 рубль продукции (х).

№ коммерческих структур	Прибыль, млн р. (у)	Затраты на 1 р. продукции (х)
Итого:
Средние показатели	744,33	83,67

Задача 3

По данным о стоимости оборудования х и производительностью труда у методом наименьших квадратов получено уравнение: .

Объясните, что это означает.

Задача 4

Имеются следующие данные по 10 участкам о глубине вспашки – х (см) и величине урожая – у (ц/га):

х
у	9,0	8,5	9,2	9,6	9,4	10,5	11,2	10,8	11,0	11,5

Определите уравнение связи и линейный коэффициент корреляции.

Объясните смысл коэффициента регрессии.

ТЕСТЫ

1. Корреляционная связь – это:

а) жестко детерминированная связь между явлениями;

б) факторная связь;

в) это связь между величинами, при которой одна величина реагирует на другую;

г) признак, характеризующий следствие.

2. Балансовый вид взаимосвязей выражается:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Эмпирическое корреляционное отношение, выражаемое формулой:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Линейный коэффициент корреляции выражается формулой:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Тема 11