Примеры типовых макроэкономических моделей

Модель межотраслевого баланса (модель В. Леонтьева).Каждая из nотраслей производит свой (обобщенный) продукт. Выпуск распределяется в заданной пропорции между конечным потреблением, другими отраслями и внутренними потребностями отрасли. Кроме того, описывается прирост производственных мощностей. Модель описывается уравнениями:

,

где - поток выпуска продукта i в момент времени t (единица измерения = единица продукта / единица времени);

- мощность i- го производства или максимальный выпуск;

- поток конечного (непроизводственного) потребления;

- коэффициенты прямых сырьевых затрат (количество продукта i, необходимое для производства продукта j);

- количество фондообразующего продукта i , идущее на единичный прирост мощности в отрасли j;

- продолжительность строительства мощности в отрасли j .

Таким образом, выпуск расходуется на покрытие сырьевых и фондообразующих затрат и конечное потребление.

Эконометрические модели народного хозяйства (типа Брукингской и Уортоновской). В основе этих моделей лежат: 1) балансовые соотношения; 2) функциональные зависимости - производственная функция и функция потребительского спроса.

Производственная функция F задает зависимость национального дохода Yот стоимости основных фондов (капитала) K и от используемых трудовых ресурсов L:

Функция спроса P=S(c,q) задает зависимость вектора Р конечного потребления, т.е. набора потребляемых товаров, от вектора с цен на эти товары и дохода q.

Паутинообразные моделиимеют дело с динамикой спроса и предложения. Пусть D - спрос, S - предложение, P - цена, P* - равновесная цена, X - объем производства, X* - равновесный объем производства. Равновесные P* и X* находят из условия совпадения спроса и предложения .

Однако более реалистичной является гипотеза запаздывания предложения. Например, пусть при цене в прошлый период объем предложения в данный период есть . Считаем, что цена устанавливается на рынке так, чтобы был куплен весь объем выпущенной продукции . Следовательно,

Пусть спрос и предложение достаточно точно описываются линейными функциями от цены

;

.

Такое предположение вполне естественно, если в модели рассматривается окрестность точки равновесия, а функции спроса и предложения гладкие. Тогда

. (1)

Равновесие наступает, когда

. (2)

Вычитая (1) из (2), получаем, что

. (3)

Обозначим ; - отклонения от равновесия. Из (3) получим , откуда . Решение этого уравнения имеет вид .

В зависимости от того, чему равно , получим либо затухающие колебания ( ) , сходящиеся к и , либо колебания c возрастающей амплитудой ( ). В промежуточном случае a=bамплитуда колебаний постоянна.

Тот же результат справедлив и в модели с непрерывным временем. Будем считать, что спрос меняется не только в зависимости от цены, но и в зависимости от ее динамики, т.е.

.

Тогда аналогом (1) является уравнение , решением которого является .

В рассматриваемых моделях считалось, что производители ожидают, что цена останется, как в предшествующий период (и устанавливают объем изготавливаемого товара исходя из этих ожиданий). Модель может быть усовершенствована. Для установления объема изготавливаемого товара производителям более реалистично считать, что в момент времени t цена на товар будет равна , где , т.е. цена изменится в направлении, обратном тому, в котором она изменялась в прошлый период. Тогда , следовательно, .

Дальнейшее развитие модели состоит во введении в нее запасов. Ожидая повышения цен, продавцы создают запасы товара.

Запасы в момент времени t обозначим . Тогда изменение запасов за период времени от t-1 до t есть . В модели цену можно устанавливать различными способами, например, или , где - запасы в точке равновесия. В первом случае получим , где , а во втором - .

Модель экономического цикла.Сначала рассмотрим простую модель без учета запаздывания, а также без учета экспорта-импорта, налогов и государственных расходов.

, (4)

, (5)

, (6)

где - символ операции дифференцирования; Y - реальный чистый доход, C - реальное потребление, K - объем основного капитала, - положительные константы. Более точно, Y - сумма всех видов доходов, полученных в народном хозяйстве, деленная на индекс инфляции (т.е. реальный валовой национальный продукт за вычетом затрат на возмещение основного капитала); C - общие затраты на потребительские товары конечных покупателей в народном хозяйстве, деленные на индекс инфляции; K - объем основного капитала всего народного хозяйства (в сопоставимых ценах).

Уравнение (4) вытекает из теории Кейнса, а именно, из соотношения: потребление = национальный доход - сбережения + автономное потребление. Значит, sY- часть дохода, идущая на сбережения, s - предельная склонность к сбережениям, A - автономное потребление (та доля потребления, которая не зависит от дохода, своеобразный прожиточный минимум).

Уравнение (5) допускает несколько интерпретаций. Рассмотрим две из них.

1. В первой интерпретации DK - это норма капитальных вложений в основной капитал. Допустим, существует оптимальный объем основного капитала и он равен некоторой доле от национального дохода - , где - оптимальное соотношение «капитал-выпуск». Тогда уравнение (5) означает, что норма капитальных вложений в основной капитал пропорциональна превышению оптимального объема основного капитала над действительным.

2. Основное соотношение, описывающее капитальные вложения, имеет вид:

,

где P - реальная прибыль, r - норма процента, c - премия за риск. Из соотношения (7) легко получить (5).

В уравнении (6) - рост производства (поскольку все производство = всему доходу = Y). Рост производства зависит от избытка спроса. Потребление (С) + накопление (оно превращается в капитальные вложения DK) - чистый национальный доход (Y) - это и есть избыток спроса (то, что потребляется и накопляется, может быть не равно чистому доходу).

Для равновесной системы все производные по времени равны 0. Равновесные значения Y, C и K таковы:

, (8)

. (9)

Этот результат не предназначен для непосредственного практического использования, т.к. в модели не учитываются ограничения на выпуск, накладываемые рабочей силой и объемом основного капитала. Однако он нужен, чтобы найти отклонения от равновесия - решение системы (4)-(5)-(6)-(8)-(9), где зависят от . В зависимости от и получим согласно теории линейных дифференциальных уравнений следующие четыре варианта траекторий Y: 1) незатухающие колебания (экономические циклы); 2) затухающие колебания; 3) взрывоподобные колебания; 4) взрывоподобная, но не колебательная траектория.

Обычно в экономике реально осуществляется приближение к первому варианту - экономические циклы.

Усложним модель, введем запаздывание. В модели (4)-(6) предполагается мгновенная реакция потребления на изменение дохода. На самом деле это неверно. Вместо уравнения (4) напишем

, (10)

где - параметр, определяющий быстродействие системы.

Теперь добавим запасы. Вместо уравнения (6) получим

, (11)

, (12)

, (13)

где - оптимальный уровень запасов, равен некоторой постоянной величине + часть потребления и капитальных вложений, S - фактический уровень запасов. Уравнение (11) отражает тот факт, что рост производства зависит от избытка спроса и от превышения оптимальных запасов над фактическими. (Уравнения (10) и (11) аналогичны соответствующим соотношениям для паутинообразных моделей.)

Добавим в систему экспорт-импорт, налоги и государственные расходы. Теперь с учетом (11)-(13) получим модель в виде системы уравнений

где I - реальный импорт, T - реальный объем налогов за вычетом государственных трансфертных платежей, E - реальный экспорт, G - реальные государственные расходы на товары и услуги.

В уравнении (14) национальный доход, идущий на потребление и накопление, уменьшился на сумму налогов, т.е. по сравнению с (10) произошла замена .

Далее заметим, что теперь C- общее потребление товаров как отечественного, так и импортного производства, а DK теперь есть рост основного капитала частного сектора. Накопление основного капитала частного сектора входит в G.

Уравнение (16) отличается от (11) на величину G+E-I, т.к. DY - рост производства зависит от избытка спроса, который теперь равен тому, что общество расходует (т.е. потребляет (C) + вкладывает (DK) + экспорт (E) + государственные расходы (G)) за вычетом того, что общество получает (национальный доход (Y) + импорт (I)).

Уравнение (17) предполагает, что желаемый уровень запасов есть линейная функция валового сбыта, а валовой сбыт это: 1) сбыт потребительских товаров отдельным потребителям C; 2) сбыт капитальных благ фирмам (капитальные вложения) DK; 3) сбыт товаров в государственном секторе G; 4) сбыт иностранным производителям E.

Уравнение (18) означает, что изменение запасов равно всем товарам (Y+I) минус весь сбыт (C+DK+G+E).

Уравнение (19) предполагает, что импорт - это доля всего сбыта.

Уравнение (20) предполагает, что налоги - линейная функция доходов, тогда - аналог процентной ставки. То, что в уравнении имеется отрицательная константа B, говорит о том, что - возрастающая функция , т.е. чем больше доход, тем больше налог.

При решении системы (14)-(20) выяснилось, в частности, что введение налогов и импорта оказывает на экономику стабилизирующее воздействие.

Модель экономического роста.В этой модели, в отличие от модели экономического цикла, считается, что предложение денег пропорционально , и предложение труда пропорционально , т.е явно учитываются процессы инфляции и изменение численности необходимой рабочей силы, причем и в том, и в другом случае предполагается экспоненциальный рост.

Без учета бюджетной политики модель выглядит так:

где L- численность используемой рабочей силы;

- предложение труда;

p- уровень цен;

w- ставка заработной платы;

r- норма процента;

- спрос на деньги;

- предложение денег;

m - темп роста предложения денег;

s- склонность к сбережениям.

Остальные переменные определены выше при рассмотрении модели экономического цикла.

Уравнение (21) означает, что «доход = сбережение + потребление». Уравнение (22) - формула для нормы прироста основного капитала, аналогичная (7). Уравнение (23) означает, что рост производства равен избытку спроса. Уравнение (24) отражает тот факт, что количество рабочей силы, требуемой для выпуска одного и того же количества продукции, все время убывает благодаря НТР. Таким образом, уравнение учитывает технический прогресс. Уравнение (25) описывает изменение цен на рынке труда. Уравнение (26) утверждает, что уровень цен равен предельным издержкам (издержки на рабочую силу wL, предельные издержки ) плюс некоторая добавка. В уравнении (27) - те активы, которые население желает держать в денежной форме. Реальный спрос на деньги тем выше, чем выше доход Y и ниже норма процента r. Уравнение (28) означает, что спрос на деньги равен предложению денег. Это возможно, если считать, что норма процента все время подстраивается так, чтобы выполнялось это равенство. В уравнении (29) зафиксировано, что предложение труда растет со временем. В уравнении (30) предполагается, что предложение денег растет со временем.

При решении этой системы выяснилось, что, как и раньше, чем больше s, тем стабильнее K и Y, но в отличие от модели экономического цикла, равновесные K и Y теперь растут при увеличении m - темпа роста и предложения денег.

Теперь отразим в модели экономическое регулирование. Существование денежной политики можно выразить заменой уравнения (30) на

где - положительные константы, - оптимальная траектория занятости, - оптимальное предложение денег при оптимальном уровне занятости.

Чтобы отразить существование государственных расходов и налогов, изменим в системе уравнений (21)-(29), (31) значения некоторых переменных:

C- личное потребление и государственные расходы;

K- сумма государственного и частного основного капитала;

sY- сумма частных и государственных сбережений.

Государственные сбережения - это налоги минус государственные расходы, поэтому, чтобы отразить налоги, сделаем s переменной величиной:

где - параметры бюджетной политики. В параметре s учитывается: 1) отношение личного потребления к личному доходу; 2) отношение поступлений от налогов к доходу; 3) отношение текущих государственных расходов к поступлениям от налогов. Все это можно учесть с помощью параметров , которые являются управляющими.

Модель межотраслевых взаимодействий.Рассмотрим типичную макроэкономическую модель открытого типа (незамкнутую) - модель межотраслевых взаимодействий. Ее формируют две группы математических зависимостей: 1) система уравнений - баланс объема производства каждого вида продукции и его распределение между потребителями (другими производителями и конечными потребителями); 2) система неравенств, которые описывают зависимость между производственными возможностями каждой отрасли и ограничивающими наличными ресурсами (основные фонды и живой труд).

В эту модель нужно ввести извне вектор Y - конечный продукт и учесть его деление на потребление, накопление, экспорт, государственные резервы, налоги. Далее, следует задать вектор F - производственные фонды и вектор L - ресурсы живого труда. Это означает, что “вокруг” модели межотраслевых взаимодействий необходимо построить модель доходов и потребления населения - для определения Y, модель формирования национального дохода - для определения F, модель “демография - трудовые ресурсы” для определения L и.т.п., то есть создать т.н. макромодельный комплекс.