Уравнение накопления капитала

По Солоу произведенная продукция может быть использована только на потребление C(t), и на сбережения, инвестируемые в расширение производства I(t),т.е

Y(t) = C(t) + I(t) . ( 4 .6)

Доля доходов, идущая на инвестиции (норма сбережения) s – является постоянной. Тогда

Y(t) = C(t) + I(t) = C(t) + s Y(t) . ( 4. 7)

С течением времени капитал изнашивается. Допустим, что норма амортизации (доля утраченного капитала за единичный интервал времени) также постоянна. Тогда валовые инвестиции за период времени dt будут равны сумме амортизационных расходов и чистого прироста капитала

. ( 4.8 )

Поделив обе части (4.8) на dt, получим

. ( 4.9 )

Допустим, что прирост трудовых ресурсов за единицу времени пропорционален имеющемуся объему этих ресурсов:

. ( 4.10)

Отсюда

(4.11)

Проинтегрируем это уравнение и получим:

. ( 4.12)

Константу C можно вычислить, если положить, что в начальный момент времени ( t₀ = 0), объем трудовых ресурсов составлял L₀.

Тогда:

,

.

откуда

или ( 4.13 )

Полученная закономерность соответствует модели Мальтуса, описывающей прирост населения (и пропорциональный ему рост объема трудовых ресурсов) в условиях отсутствия безработицы и неограниченного удовлетворения жизненных потребностей. Величина n называется темпомроста трудовых ресурсов.

Разделим (4.9) почленно на L. С учетом однородности производственной функции получим

. (4.14)

Величина η = K / L( 4.15)

представляет собой капиталовооруженность– величина капитала, приходящаяся на одного работника. Приведенная функция

( 4 .16 )

- это производительность труда, т.е. объем выпускаемой продукции в расчете на одного работника.

Рассмотрим скорость изменения капиталовооруженности.

С учетом правил дифференцирования можно записать:

. (4.17)

Но из (4.11) следует:

. ( 4.18)

Подставив (4.18) в (4.17). получаем

. ( 4.19)

Подставив в (4.19) вытекающее из (4.14) выражение

, ( 4.20)

получим уравнение накопления капитала:

. ( 4.21)

Рассмотрим статическое состояние системы, при котором капитал, приходящийся на одного работника, остается неизменным: η = η * = Сonst.

В этом случае производительность труда также постоянна:

σ* = f(η*) = Const.

Это означает, что запас капитала и выпуск продукции растут с тем же темпом, с которым растет население.

Из (4.21) следует, что стационарная величина капиталовооруженности может быть получена из выражения

. (4.21)

Это уравнение имеет графическое решение, показанное на рисунке 4.1

Рисунок 4.1- Графическое решение для статического состояния

Наклонная прямая показывает изменение объема инвестиций, необходимое для поддержания постоянной капиталовооруженности.

Кривая sf( η)показывает изменение размера сбережений на душу населения, а расстояние между производственной функцией f( η)и кривой сбережений sf(η )– объем потребления на душу населения.

Точка пересечения кривой сбережений и наклонной прямой необходимых инвестиций определяет стационарный уровень капиталовооруженности η*.

Из анализа графика следует, что решение уравнения (4.21), а следовательно, и стационарное состояние системы, существует.

Из уравнения (4.21) следует, что при изменении нормы сбережения s должна измениться и стационарная капиталовооруженность η*. Это наглядно отображено и на рисунке 4.1.

Увеличение или уменьшение нормы сбережения s приводит к смещению кривой сбережений соответственно вверх или вниз.

При одном и том же положении прямой необходимых инвестиций точка пересечения кривой сбережений и прямой инвестиций в этих случаях смещается соответственно вправо или влево, что соответствует увеличению или уменьшению капиталовооруженности.