Таралудың Вейбулл заңы

Таралудың Вейбулл заңы уақыт бойынша өзгеретін ағын тығыздығымен істен шығулардың стационарлық емес ағынын сипаттау үшін қолданылады. Мысалы, шаршаумен, тозу мен соққылық салмақтардың біріккен әсерімен сипатталатын ағындар. Бұл заң тербелумойынтіректерінің, берілісті ауыстыру қорабының, бұрғылау шығырларының, тракторлардың және басқа да тізбектей жалғанған қосарланған элементтерден тұратын нысандардың істен шығуын жақсы түсіндіреді.

6.5 сурет. Экспоненциалдық заңның негізгі сипаттамалары:

а – ықтималдылықтың тығыздығы f (t); б – істен шықпай жұмыс істеу ықтималдығы P(t); в – істен шығу қарқындылығы λ (t)

6.6-сурет. Әр түрлі t₀ және m параметрлері кезіндегі Вейбулл таратуының негізгі сипаттамалары:

а – ықтималдылықтың тығыздығы f (t); б – істен шықпай тоқырасыз жұмыс істеу ықтималдығы P(t); в – істен шығу қарқындылығы λ (t)

6.7-сурет. Орташа квадраттық ауытқудың әр түрлі мәндеріндегі тұрақты таратудың негізгі сипаттамалары:

а – ықтималдылықтың тығыздығы f (t); б – істен шықпай тоқырасыз жұмыс істеу ықтималдығы P(t); в – істен шығу қарқындылығы λ (t)

Вейбулл заңының екі параметрі бар. Біріншісі істен шығуға дейінгі атқаратын жұмыс көлемі ықтималдығының таралу тығыздығы, ол былай анықталады

(6.40)

және таралу функциясы

(6.41)

мұнда: a – масштаб параметрі (абсцисса өсі бойынша таралу сызығының масштабын береді); b – пішін параметрі (таралу тығыздығы сызығының асимметриясы мен үшкірлігін анықтайды).

Қорыта айтқанда a мен b – Вейбулл таралуының параметрлері.

Сенімділік функциясы

(6.42)

Істен шығу ықтималдылығы

(6.43)

Істен шығу қарқындылығы

(6.44)

A және b мәндері әрқашан да оң. b=1 болғанда Вейбулл таралуы экспоненциалдыққа көшеді, яғни экспоненциалдық таралу Вейбулл таралуында көп кездеседі. b<1 болғанда істен шығу қарқындылығы функциясы уақытқа байланысты төмендейді. Бұл өз кезегінде нысандардың ыңғайласу кезеңінде сенімділігін бағалауға мүмкіндік береді. b>1 болғанда таралу істен шығу қарқындылығының өсуіне сәйкес келеді, бұл жағдайда «қартайған» нысандардың сенімділігін бағалау мүмкін болады. Бұл жағдайда таралу тығыздығының сызығы қоңырау тәрізді формадаболады, бұл b=3.5÷4.0 сәйкес келеді.

Вейбулл заңы үшін таралу тығыздығының, істен шығу қарқындылығының және ІШЖІЫ сызығының түрі 6.6-суретте көрсетілген.

Алыпты таралу заңы

Қалыпты таралузаңын істен шыққанға әсері бойынша біртектес кездейсоқ факторлардың көп мөлшеріне тәуелді нысандардың істен шығуға дейінгі атқаратын жұмыс көлемі ықтималығының таралуын бағалауға қолданылады. Бұл заң нысанға бір уақытта әсер ететінжегіденің, тозудың, ескірудің себебінен болған істен шығуларды сипаттайды. Қалыпты таралуға көптеген қалпына келтірілетін және қалпына келтірілмейтін бұйымдардың істен шығуға дейінгі атқаратын жұмыс көлемдері жатады.

Нысады пайдалану моментінен бастап істен шығу қарқындылығының монотонды өсуі қалыпты заңның сипаттық белгісі болып болып табылады. (6.7-суретті қара).

Қалыпты таралудың тығыздығы

(6.45)

Таралудың екі тәуелсіз параметрі бар – істен шығуға дейінгі атқаратын жұмыс көлемінің математикалық күтуі m_t және орташа квадраттық ауытқу S. Сынау санын көбейткенде істен шығуға дейінгі орташа атқаратын жұмыс көлемінің бағасы оның математикалық күтуіне ұмтылады (S да соған ұқсас).

Таралу функциясы

(6.46)

мұнда: m_t – істен шығуға дейінгі атқаратын жұмыс көлемінің математикалық күтуі;

S – істен шығуға дейінгі атқаратын жұмыс көлемінің орташа квадраттық ауытқуы.

(6.47)

мұнда: t – істен шығуға дейінгі орташа атқаратын жұмыс көлемі; N – сыналатын нысандар саны.

Математикалық күтудің орташа квадраттық ауытқуы мен дисперсия былай анықталады:

немесе (6.48)

t параметрі абсцисса өсіндегі таралу топтасуы центрінің орналасу қалпын, ал S параметрі – таралу тығыздығы сызығының формасын сипаттайды. S көбейгенде t-ға сәйкес келетін сызықтың максималь ординатасыкемиді, ал сызықтың өзі абсцисса өсі бойымен созылып, жалпақ болады (6.7 суретті қара).

(0,t) аралықта нысанның істен шығу ықтималдығы:

(6.49)

Ал істен шықпай жұмыс істеу ықтималдығы (сенімділік функциясы)

(6.50)

Есептеулерді жеңілдету үшін нормаланған қалыпты таралуға көшеді. Мұнда топтастыру центрі координаттар басыменбеттескен, ал абсцисса мәндері S-тің үлесінде көрсетілген.

Қалыпты таралуды нормалаудың мәнісі t шамасынан көмекші сызықтық функцияға өтуінде:

(6.51)

Нормаланған таралудың тығыздығы:

. (6.52)

Нормаланған таратудың функциясы:

(6.53)

Ф(z) функциясы Лапластың нормаланған функциясы деп аталады.

z-тің теріс мәндерінде минус таңбасын функцияғакөшіреді: Ф(–z)=–Ф(z).

Лаплас функциясын есептеуге кесте құрылған, бұл кесте көбінесе анықтамалық әдебиеттерде беріледі.

Таралудың қалыпты функциясы F(t) Лаплас функциясы арқылы былай өрнектеледі:

(6.54)

ал істен шықпай жұмыс істеу ықтималдылығы

(6.55)

Қалыпты заңның ерекшелігі мынада: барлық кездейсоқ мәннің таралуы (99.73%) бөлігінде орналасады, яғни алты орташа квадраттық ауытқулар шегіндегі топтастыру центрі айналасында.

Кестені қолданғанда z шамасы тұрақты таралуды нормалау квантилі деп аталады және u_p деп белгіленеді.

Қалыпты заңға бағынатын істен шығуға дейінгі атқаратын жұмыс көлемін таратқанда, берілген істен шықпай жұмыс істеу ықтималдылығына сәйкес келетін атқаратын жұмыс көлемін жеңіл табуға болады

(6.56)

мұнда: u_p – тұрақтандырылған тұрақты бөлудің квантилі, бұл мәнді кестеден аламыз.

Мысалы:

	0.5	0.9	0.95	0.99	0.999	0.9999
		-1.282	-1.645	-2.326	-3.090	-3.719