Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития

Основные понятия

Динамический ряд – это размещенные в хронологической последовательности значения определенного статистического показателя. Составляющими динамичного ряда являются признак времени t(момент или интервал) и числовые значения показателя – уровни yt. В соответствиис классификацией показателей по признаку времени динамичные ряды делят на моментные и интервальные. Вмоментных рядах уровни фиксируют состояние явления на определенные моменты времени, винтервальных – агрегированный результат за определенный промежуток времени. Примеры указанных рядов динамики приведены в табл. 7.1: где поквартальные объемы экспорта товаров – это интервальный ряд, а суммы резервов иностранной валюты на конец квартала – моментный ряд

Таблица 7.1.

Год, квартал Объем экспорта товаров в ценах ФОБ, млн. дол. США Сумма резервов иностранной валюты на конец квартала, млн. дол. США
1998 IV 4,7
1999 I 2,8 6,3
II 3,5 14,1
III 3,9 9,9
IV 4,2 9,1

Уровни динамичных рядов меняются, варьируют. Обобщающей их характеристикой есть средний уровень, который в интервальном ряду рассчитывается по формуле средней арифметической простой, а в моментном – по формуле средней хронологической. По данным табл. 7.1 среднеквартальный объем экспорта товаров составлял

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru млн. долл. США,

а среднеквартальный резерв иностранной валюты

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru млн. долл. США.

Изучая особенности развития социально-экономических явлений, определяют абсолютные и относительные характеристики динамики: абсолютный прирост и абсолютное значение 1% прироста; темп роста (индекс) и темп прироста. Расчет их основывается на сравнении уровней динамичного ряда. Если база сравнения постоянная, характеристики динамики называют базисными, если база сравнения переменная, в качестве которой используют предшествующий уровень – цепными.

Абсолютный прирост (уменьшение) Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru –это разница уровней динамичного ряда

цепные Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru , базисные Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

Очевидно, что сумма цепных абсолютных приростов равно конечному базисному:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

Темп роста Tpрассчитывается как отношение уровней ряда; выражается коэффициентом или процентом:

цепные Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru , базисные Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

Произведение цепных Tp равно конечному базисному:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

Темп прироста Тпрпоказывает, на сколько процентов уровень ytбольше (меньше) уровня, взятого за базу сравнения. Его можно определить как отношение абсолютного прироста к базе сравнения или непосредственно на основании темпа роста. Так, для цепных характеристик:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

Аналогично взаимосвязаны и базисные характеристики динамики.

Абсолютное значение 1% приростапоказывает, чего стоит один процент; рассчитывается как отношение абсолютного прироста и темпа прироста. Алгебраическое это отношение равно 0,01 уровня, взятого за базу сравнения:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

Для базисных темпов прироста значения А%одинаковые.

Порядок расчета характеристик динамики рассмотрим на примере объема экспорта товаров (табл. 7.2).

За II–IV кварталы экспорт товаров из региона увеличился на 1,4 млн. долл. США, или на 50% по сравнению с І кварталом. Поквартальные абсолютные приросты и темп прироста уменьшались, однако абсолютное значение 1%прироста росло.

Таблица 7.2.

Квартал Объем экспорта, млн. долл. США Абсолютный прирост, млн. дол. США Темп роста, % Темп прироста, % Абсолютное значение 1% прироста, тыс. дол. США
цепной базисный цепной базисный цепной базисный
І 2,8 -- -- -- -- --  
ІІ 3,5 0,7 0,7
ІІІ 3,9 0,4 1,1
IV 4,2 0,3 1,4

Обобщающими характеристиками интенсивности динамики являются средний абсолютный прирост Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru и средний темп роста Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru . Средний абсолютный прирост рассчитывается как средняя арифметическая простая цепных абсолютных приростов:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

Средний темп роста рассчитывают по формуле средней геометрической:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

По данным табл. 7.2 Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru млн. долл. США, Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru , т.е. ежеквартально объем экспорта рос в среднем на 460 тыс. долл. США, или на 14,5%.

Если абсолютная или относительная скорость динамики в границах изучаемого периода неодинакова, сравнением одноименных характеристик за различные интервалы времени измеряется ускорение (замедление) динамики. Разница абсолютных цепных приростов Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru характеризует абсолютное ускорение (+) или замедление (-) динамики. Для положительных абсолютных приростов можно определить относительное ускорение ( Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru ). Если интервалы времени неодинаковые, используют средние абсолютные приросты соответствующих интервалов.

На основании темпов роста (базисных или средних) проводят сравнительный анализ интенсивности динамики параллельных рядов, например, грузооборота железнодорожного и автомобильного транспорта. Соотношение темпов роста типа Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru называют коэффициентом опережения.

Если ряды динамики взаимосвязаны, т.е. их уровни представляют фактор хи результат y, из соотношения темпов прироста этих признаков определяют, на сколько процентов меняется yс изменением х на 1%. По содержанию отношение темпов прироста является коэффициентом эластичности Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru . Например, цены на товар выросли на 5%, а спрос уменьшился на 3%. Темпы прироста цен и снижения спроса составляют, соответственно, Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru = -3%, Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru = +5%. Следовательно, Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru , т.е. с ростом цен на 1% спрос уменьшается на 0,6%.

Предпосылкой анализа динамичных рядов является сравнимость данных, которая обеспечивается на этапах их сбора и обработки. Однако возможна ситуация, когда через изменение в методологии расчета показателя, структурные или территориальные сдвиги, изменение цен и тому подобное данные окажутся несравнимыми. Тогда используют специальные приемы соединения прерывистых рядов – "статистические ключи". Например, имеем прерывистый ряд:

Период
Уровень ряда:      
до изменений --
после изменений -- 22,5

Преодолеть прерывистость такого ряда можно двумя способами:

а) скорректировав одну из частей ряда на отношение уровней во 2-м периоде, например, 12•18/15= =12•1,2=14,4;

б) для каждой части ряда определить базисные темпы роста, приняв уровень 2-го периода за базу сравнения, т.е. Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

Тенденция – это основное направление развития. В рядах с четко определенной тенденцией ее описывают аналитически при помощи определенной функции:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru ,

где t=0, 1, 2,. .,. n – переменная времени; Yt – теоретические уровни ряда.

Указанную функцию называют трендовым равенством. Выбор функционального вида тренда зависит от характера динамики. Так, при относительно стабильных абсолютных приростах используют линейный тренд Yt=a+bt, при стабильных темпах прироста – показательную функцию Yt=abt ит.д. Соответственно параметр b влинейной функции характеризует средний абсолютный прирост, в показательной – средний темп роста. Параметр а вобеих функциях – это теоретическое значение уровня при t=0.

Рассчитываются параметры уравнений тренда методом наименьших квадратов, при этом нелинейные функции приводятся к линейному виду, например, логарифмированием lgYt = lga + t lgb. Система нормальных уравнений имеет вид:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

Если начало отсчета времени (t=0)перенести в середину ряда, то Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru =0, а следовательно,

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

где Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

Пример. Расчет линейного тренда показан в табл. 7.3 на примере экспорта сахара. По данным таблицы Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

Таблица 7.3

Год Экспорт сахара, тыс. т yt t tyt Yt yt-Yt (yt-Yt)2
- 2 - 74 36,0 - 1,0 1,00
- 1 - 39 39,9 - 0,9 0,81
43,8 - 0,8 0,64
47,7 0,3 0,09
51,6 0,4 0,16
Всего -- 2,70

Параметры уравнения тренда составляют:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

Следовательно, Yt=43,8+3,9 t, т.е. средний уровень экспорта сахара составлял 43,8 тыс. т. Ежегодно экспорт сахара растет в среднем на 3,9 тыс. т. При условии, что комплекс причин, который формирует тенденцию, вскоре не изменится, можно продолжить тенденцию за границы динамичного ряда (экстраполировать тренд). Ожидаемый объем экспорта сахара в 1997 г. (t=3) составляет:

Y1997=43,8+3,9•3=55,5 или Y1997=51,6+3,9=55,5 тыс.т.

Этоточечная оценка прогноза. Интервальная оценка прогноза, т.е. доверительные границы, определяется с определенной вероятностью Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru , где sp – погрешность прогноза;

t – доверительное число для принятого уровня вероятности;

v – период прогнозирования.

Погрешность прогноза spрассчитывается по формуле:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

где Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru – оценка остаточной дисперсии.

По данным табл. 7.3 Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru , а следовательно, Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

Подкоренное выражение равно 2,1, а Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru . Критическое значение двухстороннего t-критерия для а=0,05и числа степеней свободы (n-2)=5-2=3 составляет t0,95(3)=2,57 (Приложение).

Таким образом, sp=2,57•0,95•1,45=3,5, а доверительные границы прогнозного уровня 55,5±3,5.

Если в ряду динамики тенденция четко не проявляется, то прибегают к сглаживанию ряда. Суть его заключается в укрупнении интервалов времени и замене уровней первичного ряда средними по интервалам. Интервалы длиной mможно сформировать двояко:

а) последовательно, например, при m=3 уровни объединяются: 1-3, 4-6 и т.д; рассчитанные средние называют ступенчатыми;

б) скользящим способом, когда первый уровень i-го интервала заменяется следующим уровнем за границами интервала, например, 1-3, 2-4, 3-5 и т.д. Интервальные средние называют скользящими. Очевидно, что ряд скользящих средних короче первичного ряда на (m-1).

Для оценки вариации уровней динамичного ряда используют абсолютную меру – среднее квадратичное отклонение sp и относительную меру – коэффициент вариации Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru . Поданным табл. 7.3, se=0,95, Ve=100•0,95/43,8=2,2%. Разницу 100-Ve используют для оценки постоянства динамичного ряда.

Разновидностью колебаний динамичных рядов являются сезонные колебания, т.е. более-менее устоявшиеся колебания по месяцам или кварталам года. При изучении сезонных колебаний используют относительные величины – индексы сезонности Ic. При отсутствии тенденции Icрассчитываются как отношение фактических уровней ytк среднему Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru , т.е. Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru . При наличии тенденции базой сравнения служат теоретические уровни Yt, т.е. Ic=yt/Yt.

Таблица 7.4.

Месяц Зарегистрировано браков Ic Ic-100 (Ic-100)2
Январь - 3
Февраль -4
Март - 16
Апрель - 5
Май - 19
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь - 2
Всего --

Пример. Анализ сезонной волны представлен в табл. 7.4 на примере числа зарегистрированных браков. Первичный ряд динамики не выявляет четкой тенденции, а поэтому индексы сезонности рассчитываются на основании постоянной средней.

Абсолютной мерой сезонных колебаний является амплитуда колебаний R=Imax-Imin. Поданным табл. 7.4 R=122-81=41. Для сравнения интенсивности сезонных колебаний используют также среднее линейное отклонение Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru или среднее квадратичное Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

По данным табл. 7.4 среднее квадратичное отклонение составляет Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru пункта.

Для характеристики закономерных колебаний в рядах динамики с меньшими интервалами времени (декада, пятидневка, сутки) вычисляют коэффициенты неравномерности: Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

Тема 8. Индексы

Основные понятия и категории

Индекс – это относительная величина, которая характеризует изменение явления во времени, пространстве или степень отклонения от стандарта.

Как относительная величина индекс выражается в форме коэффициента, процента или промилле. Название индекса отражает его социально-экономическое содержание, а числовое значение – интенсивность изменения или степень отклонения. Например, региональный индекс преступности – 1,47, а отраслевой индекс производительности труда – 0,96.

Индексы выполняют две функции: синтетическую – это обобщающая характеристика изменения явления; аналитическую –изучение воздействия отдельных факторов на изменение явления. Большинство индексов выполняет обе функции одновременно.

В зависимости от цели сравнения индексы делятся на: динамичные – характеризуют изменение явления во времени; территориальные –отражают результат сравнения явления в пространстве (по различным объектам, регионам), межгрупповые – характеризуют отклонение от стандарта (эталонного, минимального, максимального) или от среднего уровня. Например, индекс превышения смертности мужчин по сравнению с женщинами.

В зависимости от вида величины, которая индексируется, различают индексы абсолютных и средних величин. По степени агрегированности информации индексы делят на индивидуальные и сводные. Индивидуальные индексы характеризуют соотношения уровней показателя для отдельных элементов совокупности или однородных групп, сводные – для определенного множества элементов. Основой построения сводных индексов является обобщение информации путем ее агрегирования (агрегатные индексы) или осреднения (средневзвешенные индексы). В структурируемой совокупности индексы могут быть групповыми (субиндексами) илиобщими. Например, индексы динамики заболеваемости по отдельным инфекционным болезням являются субиндексами, а динамики заболеваемости по инфекционным болезням в целом – общим индексом.

Показатель, который сравнивается во времени или пространстве, называют индексированной величиной. В международной статистике используют такую систему обозначений индексированных величин: р – цена; q – физический объем, а именно количество товаров, продукции и тому подобное; с – себестоимость единицы продукции; t – трудоемкость работы или производства продукции.

В динамичных индексах предыдущее значение величины, которое принимается за базу сравнения, обозначается подстрочной отметкой "0", а текущее, оценочное значение – "1". В территориальных индексах база сравнения произвольная. Например, индивидуальный индекс динамики цен Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru а территориальный индекс количества проданных товаров Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

Предпосылкой расчета индивидуальных индексов есть сопоставимость измерения числителя и знаменателя. При агрегировании совокупности элементов, которые имеют различные единицы измерения, их физические объемы Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru приводят к сравнимому виду посредством определенных соизмерителей. Используют соизмерителистоимостного характера (цена, себестоимость), тогда агрегатом будет Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru или трудового (трудоемкость) – агрегат принимает вид Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

В агрегированных данных индексироваться могут: отдельно соизмерители Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru отдельно "веса" Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru или агрегат в целом. Если индексируется соизмеритель, то весы фиксируют на неизменном уровне (базисном или текущем). Так же фиксируется соизмеритель, если меняются веса. Используют две равноправных индексных системы:

  базисно-взвешенную (Ласпереса) текуще-взвешенную (Пааше)
индекс цен Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru
индекс физического объема Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

Относительное изменение агрегата в целом оцениваетсясводным индексом стоимости товаров (товарооборота)

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

Принимая во внимание мультипликативную связь между соизмерителем Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru и весами Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru , указанные индексы связываются в систему:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

Эта связь обеспечивается, если один из индексов-сомножителей вычисляется по базисному весу, а второй – с текущим соизмерителем:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

Или наоборот, один индекс – по текущему весу, а второй – с базисным соизмерителем:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

Взаимосвязаны также индексы прямых и обратных показателей. Например, индекс трудоемкости Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru и производительности труда Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru или индекс потребительских цен Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru и покупательной способности денежной единицы Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

Например, если потребительские цены на товары выросли на 7,5%, то покупательная способность денежной единицы снизилась на 7%:

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru 1:1,075=0,930.

В рамках системы взаимозависимых индексов определяется роль каждого отдельного фактора в относительном или абсолютном изменении агрегата.

Абсолютное изменение определяется как разница между числителем и знаменателем соответствующего индекса. Например, абсолютное изменение товарооборота в целом Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru раскладывается на две составляющие:

за счет изменения цен Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

и за счет изменения физического объема товаров Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru .

Пример. Расчет сводных взаимозависимых индексов рассмотрим по данным рынка автобензина в регионе (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Марка бензина Продано за период, тыс. л Цена за 1 л в периоде, грн. Товарооборот, тыс. грн.
базисный Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru текущий Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru базисном Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru текущем Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru
А-76 0,46 0,48 45,6 43,7
А-92 0,55 0,58 63,8 60,5
А-95 0,60 0,66 82,5 75,0
Всего Х Х 191,9 179,2

Индекс товарооборота Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru =191,9/177,0=1,084 показывает, что стоимость проданного автобензина в целом по региону увеличилась на 8,4%.

Как свидетельствует индекс цен Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru =191,9/179,2=1,071, цены на бензин трех марок выросли в среднем на 7,1%.

Индекс физического объема составляет Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru =179,2/177,0=1,012, т.е. объем проданного автобензина увеличился в среднем на 1,2%.

Произведение взаимозависимых индексов Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru =1,071*1,012=1,084 подтверждает результаты расчета.

Абсолютный прирост стоимости проданного автобензина в целом составляет: Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru =191,9-177,0=14,9 тыс. грн., в том числе за счет повышения цен Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru =191,9 - 179,2=12, 7 тыс. грн., за счет увеличения объемов продажи – Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru =179,2-177,0=2,2 тыс. грн.

Сводные индексы могут определяться также как средние соответствующих индивидуальных индексов. Условиями применения средневзвешенных индексов являются однонаправленность изменений составляющих индивидуальных индексов и сравнимость элементов во времени или пространстве.

Средневзвешенный индекс – это среднее индивидуальных индексов, взвешенных на объемы, имеющие одинаковую размерность и зафиксированные на неизменном уровне.

Такими объемами являются известные уже агрегаты: Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru Уровень, на котором фиксируются объемы, выбирается, исходя из агрегатной формулы соответствующего индекса.

Средневзвешенный индекс цен определяют по тождественному агрегатному индексу

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

где условный товарооборот Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru вычисляется через индивидуальный индекс цен Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru , отсюда Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru , а Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

Следовательно, средневзвешенный индекс цен и любого другого соизмерителя определяется по формуле средней гармонической взвешенной

Тема 7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития - student2.ru

Наши рекомендации