Обьективно-обусловленные оценки

Рассмотрим опять пример 2.2.1.

Оптимальное решение было найдено в точке С с координатами х₁=4.5; х₂=3. Существенными оказались ограничения (I) и (II), они в точке оптимального плана обращаются в равенство:

2´4.5 + 1´3 = 12,

2´4.5 + 3´3 = 18,

т.е. эти ресурсы используются полностью, тогда как третий ресурс (несущественное ограничение (III)) оказывается в избытке:

1´4.5 + 3´3 < 15

(избыток составляет 15 – (1´4.5 + 3´3) = 1.5).

Попробуем теперь ответить на следующий вопрос:

На сколько изменится значение целевой функции (в данном примере увеличится прибыль), если ограничение увеличить на одну единицу?

Или, другими словами, какова ценность для нашей задачи каждого ресурса? Для третьего ресурса (который и так в избытке) ответ очевиден – значение целевой функции не изменится (F = 40.5). Посчитаем эти изменения целевой функции для ограничений (I) и (II), для чего решим две системы (используя также метод Крамера).

Увеличим сначала на одну единицу количество первого ресурса:

2 х₁ + 1 х₂ = 12+1, (I)

2 х₁ + 3 х₂ = 18. (II)

D не изменилось ( D=2´3 – 1´2 = 4), тогда как

D1 = (12 +1) ´3 – 1´18 = 18 + 3 = 21,

D2 = 2 ´18 – (12 + 1) ´2 = 12 –2 =10,

откуда координаты новой точки будут х₁ = 21/4 =5.25, х₂ =10/4 = 2.5.

Вычислим значение целевой функции в этой новой точке:

F₁ = 5 ´ 5.25 + 6 ´2.5 = 41.25,

откуда y₁ = F₁ - F = 41.25 – 40.5 = 0.75.

Аналогично, увеличивая на одну единицу количество второго ресурса, решаем систему:

2 х₁ + 1 х₂ = 12,

2 х₁ + 3 х₂ = 18 + 1.

D1 = 12´3 – 1´ (18 + 1) = 18 – 1 = 17,

D2 = 2 ´ (18 + 1) – 12 ´2 = 12 + 2 =14,

откуда х₁ = 17 / 4 = 4.25, х₂ = 14 / 4 = 3.5

Вычислим значение целевой функции в этой новой точке:

F₂ = 5 ´ 4.25 + 6 ´3.5 = 42.25,

откуда y₂ = F₂ – F = 42.25 – 40.5 = 1.75.

Таким образом, мы нашли объективно обусловленные оценки всех ресурсов (ограничений): у существенных ограничений y₁=0.75, y₂= 1.75, у третьего несущественного ограничения y₃= 0.