Игровые модели в условиях риска

Риск определяется возможностью отклонения от желаемого результата в худшую сторону или выхода за пределы допустимого диапазона, интервала, что приводит к нежелательным, негативным последствиям.

Для принятия решений в условиях риска используют методы теории вероятностей в сочетании с другими математическими методами. В таком случае, факторы, например, состояния среды представляют собой либо случайные величины, либо случайные функции. Они описываются определенными статистическими характеристиками, например, математическим ожиданием и дисперсией и обладают статистической устойчивостью. При этом производят замену случайных факторов их средними значениями, математическим ожиданием и задача становится детерминированной. Тогда можно применять и методы линейного программирования, если по каждому состоянию среды y_j известна вероятность ее проявления p_j. принимающий решение ориентируется на средние, наиболее вероятные результаты, однако при этом не исключен риск получения не того результата, на который была рассчитана коммерческая стратегия, а значит и не существует однозначного соответствия. В таком случае мерой риска можно считать среднее квадратическое отклонение. Тогда путем сравнения на плоскости соответствующих каждому решению, например, среднего ожидаемого дохода и риска , можно выбрать доминирующие решение. Однако, если появляются несравнимые пары , то образуется, так называемое, множество оптимальности по Парето, среди которого и следует искать лучшее решение.

Случайность исходов игр в условиях риска обуславливается случайным состоянием среды или выбором действий противоположной стороны или определяется вероятностным характером проявления исхода при выбранной хозяйственной стратегии.

Следует заметить, что ситуации, в которых риск связан не с сознательным противодействием противоположной стороны (среды), а с недостаточной осведомленностью о ее поведении или состоянием лица, принимающего решение, называются «играми с природой».

Игры с природой

Пример. Дана таблица выигрышей в игре с природой

	П1	П2	П3	П4
А1		-5
А2
А3

Определим оптимальную стратегию первого игрока по различным критериям:

1) по критерию максимального среднего выигрыша, если экспертные оценки вероятностей составляют р₁, р₂, р₃, р_4,

где р₁=0,1, р₂=0,3, р₃ =0,4, р₄=0,2.

Следовательно, оптимальной является стратегия А₂.

2) по критерию Сэвиджа.

Найдем матрицу риска. Матрица риска строится следующим образом. По каждому столбцу находится элемент с максимальным значением . Каждый элемент матрицы риска в j-том столбце находится как разность r_ij = b_j – a_ij. Следовательно, матрицу риска R записываем следующим образом:

.

Оптимальной является третья стратегия А₃.

3) По критерию Гурвица с показателем пессимизма .

G₁ = (1/4) ´ (-5) + (1 – (1/4)) ´ 13 = 34/4,

G₂ = (1/4) ´ 0 + (1 – (1/4)) ´ 14=42/4,

G₃ = (1/4) ´ 4 + (1 – (1/4)) ´ 7=25/4,

G=max (34/4, 42/4, 25/4) = 42/4.

Оптимальная стратегия - А₂.

4) По критерию Вальда:

.

Оптимальная стратегия - А₃.

Биматричные игры

В биматричной игре игрок 1 имеет m чистых стратегий А_і, а игрок 2 имеет n чистых стратегий В_j, и в каждой ситуации (A_i, B_j) игрок 1 получает выигрыш a_ij, а игрок 2 – выигрыш b_ij. Теперь b_ij не обязано равняться (- a_ij ). Значение обеих функций выигрыша игроков естественно представить в виде пары матриц

Поэтому такие игры и называются биматричными. Используют также запись платежных матриц А и В в следующем виде:

а11 b11	.........	a1n b1n
, ........	.........	........
am1 bm1	.........	amn bmn

где верхнее число в каждой клетке обозначает выигрыш первого игрока, а нижнее – выигрыш второго игрока.

Равновесие по Нэшу
Ситуация в биматричной игре (A_i, B_j) называется равновесной по Нэшу, если стратегия A_i 1-го игрока является наилучшим ответом на стратегию B_j 2-го игрока, и, одновременно, стратегия B_j 2-го игрока является наилучшим ответом на стратегию A_i 1-го игрока.

Пример.

Определим ситуации равновесные по Нэшу в игре, заданной матрицами А и В.

Для этого в каждом столбце матрицы A найдем максимальный элемент. Эти элементы выделены в матрице A. Их положение соответствует наилучшим ситуациям для 1-го игрока, когда второй игрок выбрал стратегию j соответственно.
Затем в каждой строке матрицы B выберем наибольший элемент. Эти элементы выделены в матрице B. Их положение будет определять наилучшие ситуации 2-го игрока, когда первый игрок выбрал стратегию i, соответственно.
Платежная матрица игрока А:

		-2

Платежная матрица игрока B:

	-4
	-1

Таким образом, найдена равновесная ситуация (3;3). В равновесной ситуации (3,3) игрок 1 выигрывает 1 единицу, а игрок 2 выигрывает 3 единицы.

Эффективность по Парето

Ситуация в биматричной игре (A_i, B_j) называется эффективной по Парето, если не существует другой ситуации в этой игре, в которой оба игрока выигрывают не меньше, и хотя бы один из них выигрывает больше.
В рассмотренном выше примере эффективными по Парето являются ситуации (1,1), (2,2) , (3,1) , (3,2).