Точечный и интервальный прогноз на основе модели парной линейной регрессии

Точечный прогноз результативной переменнойуна базе линейной модели парной регрессии при заданном значении факторной переменной хm будет осуществляться по формуле:

ym=β₀+β₁xm+εm

Точечный прогноз результативной переменной ym с доверительной вероятностью γ или (1–а) попадает в интервал прогноза, определяемый как:

ym–t*ω(m)≤ ym≤ ym+t*ω(m), t – t-критерий Стьюдента, кᴏᴛᴏᴩый определяется в зависимости от заданного уровня значимости a и числа степеней ϲʙᴏбоды (n-2) для линейной модели парной регрессии; ω(m) – величина ошибки прогноза в точке m.

Для линейной модели парной регрессии величина ошибки прогноза определяется по формуле:

где S2(ε) – несмещённая оценка дисперсии случайной ошибки линейной модели парной регрессии.

Процесс определения величины ошибки прогноза β(m).

На базе выборочных данных была построена линейная модель парной регрессии вида:

Задача состоит в расчёте прогноза результативной переменной у при заданном значении факторной переменной хm, т. е.

Математическое ожидание результативной переменной у в точке m рассчитывается по формуле:

Дисперсия результативной переменной у в точке m рассчитывается по формуле:

где D(β₀) – дисперсия оценки параметра β₀ линейной модели парной регрессии, кᴏᴛᴏᴩая рассчитывается по формуле:

Следовательно, точечная оценка прогноза результативной переменной у в точке m имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием

и дисперсией

В случае если в формулу дисперсии результативной переменной у в точке m вместо дисперсии G2 подставить её выборочную оценку S2, то получим доверительный интервал для прогноза результативной переменной у при заданном значении факторной переменной хm:

где выборочная оценка генеральной дисперсии S2 для линейной модели парной регрессии рассчитывается по формуле:

В ϶ᴛᴏм случае прогнозный интервал можно преобразовать к виду:

что и требовалось доказать.

40. Экономическая сущность коэффициентов прямых и полных материальных затрат и их свойства. Коэффициенты прямых и полных материальных затрат – инструментальные понятия межотраслевого баланса производства и распределения продукции. Межотраслевой баланс в стоимостном выражении представляет собой таблицу из трех разделов: Раздел первый – это квадратная матрица межотраслевых потоков. Элемент z_ij (i, j = 1, …, n), который показывает объем поставки продукта отрасли i в отрасль j в течение некоторого фиксированного периода времени (обычно одного года). Второй раздел – это вектор конечного спроса, элемент (координата) v_i (i = 1, …, n), которого показывает объем продукта отрасли i, который идет на текущее потребление и накопление. Третий раздел – вектор валовой добавленной стоимости, элемент (координата) w_j (j = 1, …, n), которого складывается из заработной платы и амортизации отрасли j. Сумма z_i = z_i1 + … + z_in + v_i1 (i = 1, …, n) равна выпуску (валовому выпуску) z_i отрасли i, сумма z_j = z_1j + … + z_nj + w_j (j = 1, …, n) также равна выпуску z_j отрасли j. Условие сбалансированности межотраслевого баланса имеет вид: v₁ + … + v_n = w₁ + … + w_n Межотраслевой баланс – структурный (в отраслевом разрезе) портрет хозяйственной системы.Дробь z_ij/z_j = a_ij – коэффициент прямых затрат отрасли i в отрасли j, он показывает, сколько единиц продукта отрасли i следует затратить в отрасли j для того, чтобы обеспечить выпуск отрасли j в объеме одной единицы. Матрица из элементов a_ij является квадратной, она называется матрицей прямых затрат. Все элементы матрицы А неотрицательны и сумма элементов каждого столбца матрицы А меньше единицы. Этих условий достаточно для обращения матрицы I – A (I единичная матрица). Матрица (I - A)^{- 1} называется матрицей коэффициентов полных затрат. Она позволяет относительно просто решить сложную содержательную задачу определения вектора выпуска, если известен вектор конечного спроса. Матрица А прямых затрат позволяет оценить эффективность моделируемой хозяйственной системы и при этом элементы прямых затрат не сильно меняются с переходом от одного периода времени к другому, что очень важно для решения задач прогнозирования на основе матриц полных затрат.

Переходя к анализу модели межотраслевого баланса, необходимо прежде всего рассмотреть основные свойства матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А. Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно, матрица А в целом может быть названа неотрицательной: . Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы матрицы А меньше единицы: . Система уравнений межотраслевого баланса является отражением реальных экономических процессов, в которых содержательный смысл могут иметь лишь неотрицательные значения валовых выпусков; таким образом, вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонентов и называется неотрицательным: . Встает вопрос, при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям. Ответ на этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор , что (11). Очевидно, что условие означает существование положительного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межотраслевого баланса . Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий: 1) матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица ; 2) матричный ряд сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - А)^-1; 3) наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, то есть решение характеристического уравнения строго меньше единицы; 4) все главные миноры матрицы (Е - А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны. Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы. Наибольший по модулю корень характеристического уравнения, приведенного в условии 3) продуктивности матрицы А (обозначим его через Я.*), может служить оценкой общего уровня коэффициентов прямых материальных затрат, а следовательно, величина 1-Я.* характеризует остаток после затрат, т.е. продуктивность. Чем больше 1-Я.*, тем больше возможности достижения других целей, кроме текущего производственного потребления. Другими словами, чем выше общий уровень коэффициентов матрицы А, тем больше наибольшее по модулю собственное значение Я.* и ниже уровень продуктивности, и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов матрицы А, тем меньше наибольшее по модулю собственное значение и выше продуктивность. Перейдем к анализу матрицы коэффициентов полных материальных затрат, т.е. матрицы . Согласно определению 2 коэффициент этой матрицы показывает, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли, чтобы получить единицу конечной продукции j-й отрасли. Дадим другое определение коэффициента полных материальных затрат исходя из того, что кроме прямых затрат существуют косвенные затраты той или иной продукции при производстве продукции данной отрасли. Рассмотрим в качестве примера формирование затрат электроэнергии на выпуск стального проката, при этом ограничимся технологической цепочкой «руда-чугун-сталь-прокат». Затраты электроэнергии при получении проката из стали будут называться прямыми затратами, те же затраты при получении стали из чугуна будут называться косвенными затратами 1-го порядка, а затраты электроэнергии при получении чугуна из руды будут называться косвенными затратами электроэнергии на выпуск стального проката 2-го порядка и т. д. В связи со сказанным выше имеет место следующее определение. Определение 3. Коэффициентом полных материальных затрат называется сумма прямых затрат и косвенных затрат продукции i-й отрасли для производства единицы продукции j-й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства. Если коэффициент косвенных материальных затрат k-го порядка обозначить через то имеет место формула , (12) а если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов полных материальных затрат и матрицы коэффициентов косвенных материальных затрат различных порядков , то поэлементную формулу можно записать в более общем матричном виде:

(13) Исходя из содержательного смысла коэффициентов косвенных материальных затрат можно записать ряд матричных соотношений: с использованием которых матричная формула может быть переписана в следующем виде:

Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А является продуктивной, то из условия 2) продуктивности существует матрица , являющаяся суммой сходящегося матричного ряда:

Из сопоставления соотношений:

и устанавливается следующая связь между двумя матрицами коэффициентов полных материальных затрат:

, или, в поэлементной записи:

Данная связь определяет экономический смысл различия между коэффициентами матриц В и С: в отличие от коэффициентов матрицы С, учитывающих только затраты на производство продукции, коэффициенты матрицы В включают в себя кроме затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сферу производства. Перейдем теперь к вычислительным аспектам решения задач на основе модели межотраслевого баланса. Основной объем расчетов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат В. Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А задана и является продуктивной, то матрицу В можно находить либо по формулам обращения матриц, рассматриваемым в курсе матричной алгебры, либо приближенным способом, используя разложение в матричный ряд :

.

Рассмотрим первый способ нахождения матрицы В. Находят матрицу (Е - А), а затем, применяя один из прямых методов обращения невырожденных матриц, вычисляют матрицу . Одним из наиболее употребительных методов обращения матриц является метод Жордана. Часто применяется также метод, основанный на применении формулы матричной алгебры

где в числителе матрица, присоединенная к матрице (Е -А), элементы которой представляют собой алгебраические дополнения для элементов транспонированной матрицы (Е -А)', а в знаменателе — определитель матрицы (Е - А). Алгебраические дополнения в свою очередь для элемента с индексами i и j получаются умножением множителя на минор, получаемый после вычеркивания из матрицы i-й строки и j-го столбца.

При втором способе вычисления матрицы коэффициентов полных материальных затрат используется формула . Обязательным условием корректности этих расчетов является условие продуктивности матрицы А, и при расчетах ограничиваются учетом косвенных материальных затрат до некоторого порядка включительно, например до 2-го, 3-го порядков. В этом способе используется процедура умножения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты полных материальных затрат получаются с известным приближением (с недостатком).

41. Эластичность функции.

Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин. Однако в некоторых случаях оказывается необходимым более детальное исследование с учетом предельных значений. Если зависимость между двумя показателями v и x задана аналитически: v = f(x) - то средняя величина представляет собой отношение v/x, а предельная - производную . В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x, то f '(x) называют предельным продуктом; если g(x) есть функция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x, то g'(x) называют предельными издержками. С помощью производной можно вычислить приращение функции, соответствующее приращению аргумента. Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста (относительное приращение) зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. Это приводит нас к понятию эластичности функции (иногда ее называют относительной производной)- отношения относительного приращения функции y (зависимой переменной) к относительному приращению независимой переменной x когда Δx и Δy→ 0. Обозначается символом E_x(y) и выражается следующей формулой:

Итак, пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y^' = f^' (x). Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел . Эласт. ф. является, таким образом, мерой реагирования одной переменной величины на изменения другой, и из практических соображений ее в ряде экономико-математических моделей интерпретируют как приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%. Различают дуговую эластичность, т. е. среднюю на каком-то отрезке кривой, и точечную эластичность (значение производной в заданной точке). Показатели эластичности применяются в аппарате производственных функций, при анализе спроса и потребления и др.