Приклад дослідження структурної стійкості динамічної системи

Розглянемо систему нелінійних диференціальних рівнянь з двома параметрами

(2(2.11)

1. Знайти всі особливі точки.

2. Розглянути поведінку системи поблизу кожної особливої точки.

3. В залежності від значень параметрів, визначити тип особливої точки (фокус, сідло, вузол, центр) та її стійкість.

4. Побудувати біфуркаційну множину.

5. Побудувати фазові портрети системи для декількох точок з областей, на які розділила фазовий простір біфуркаційна множина (побудувати фазові портрети системи за деякими конкретними значеннями параметрів).

Розв’язання

Особливі точки. Знайдемо особливі точки системи (2.11):

(2.12)

А. Розглянемо систему:

Розіб'ємо особливі точки, отримані з цієї системи на 2 випадки:

1) (2.13)

2) (2.14)

Б. Розглянемо систему:

Піднесемо ліві частини до квадрату та підсумуємо:

Одержали особливі точки у вигляді

(2.15)

Лінеаризація

Розкладемо систему (2.12) в околі точки ( ) у ряд Тейлора та знехтуємо величинами порядків більших за . Для початку, обчислимо частинні похідні для та :

Виконаємо заміну та , отримаємо систему лінійних диференціальних рівнянь:

(2.16)

з матрицею коефіцієнтів .

Для подальшого дослідження нам знадобляться її визначник та слід:

; ,

або, використовуючи (2.12),

Побудова біфуркаційної множини

Будемо досліджувати залежність типу точки від параметрів ( ).

Відомо, що

1) для маємо особливу точку сідло

2) для маємо особливу точку вузол

3) для маємо особливу точку фокус

4) а також за :

· для маємо особливу точку центр

· для маємо нестійкий фокус або вузол

· для маємо стійкий фокус або вузол

Розглянемо особливі точки (2.13)

Тоді матриця коефіцієнтів прийме вигляд

; ; .

З’ясуємо, за яких значень параметрів точка вигляду (2.13) – сідло

.

З’ясуємо, за яких значень параметрів точка виду (2.13) – фокус

— фокуси відсутні

З’ясуємо, за яких значень параметрів (2.13) – вузол

Оскільки маємо для , вузол — нестійкий

Розглянемо особливі точки (2.41)

Тоді матриця коефіцієнтів, слід і детермінант приймають вигляд

; ; .

Дізнаємось при яких значеннях параметрів маємо сідло

Дізнаємось при яких значеннях параметрів маємо фокус

— фокуси відсутні

Дізнаємось при яких значеннях параметрів маємо вузол

. Оскільки маємо для , вузол – стійкий.

Розглянемо особливі точки (2.15). У даному прикладі не будемо досліджувати типи особливих точок (2.15), а розглянемо значення параметрів ( ), за яких особливі точки (2.15) — зникають. Це відбудеться якщо виконуються нерівності:

.

Очевидно, що друге рівняння не виконується завжди, а третє еквівалентне першому, тому

.

Тобто для , окрім особливих точок (2.13), (2.14), маємо ще не дослідженні на тип точки (2.15), а при особливі точки (2.15) зникають.