Глава 5. Средние величины и показатели вариации

Средние величины.

Средние величины — в статистическом понимании это обобщающие показатели совокупности однотипных явлений по какому-либо количественному признаку. Цели определения средних величин следующие:

§ ослабить влияние случайных факторов на изучаемый показатель;

§ получить сводный показатель, описывающий данную совокупность в целом.

Иначе говоря, средние величины — это концентраторы информации: вместо совокупности признаков получается один показатель, используемый для дальнейшего анализа.

Важнейшим условием определения достоверности средних величин является однородность изучаемой совокупности. Нарушение этого требования приводит к появлению фиктивных средних, искажающих статистические выводы. Совокупность считается однородной по какому-либо признаку, если все составляющие ее единицы относятся к одному и тому же типу и значения признака формируются под влиянием общих, систематически действующих факторов.

Средняя арифметическая исчисляется для сгруппированных данных по формуле:

, (6.1)

где x_i — варианты значения признака; f_i — частоты.

При вычислении средней арифметической возможные типичные ошибки заключаются в следующем.

1. Засоренность выборки нетипичными значениями.

Пример 6.4.

Уставный фонд АО разделен акциями 1000 шт. по 1000 руб. следующим образом.

460 акционеров владеют 1 акцией, 10 — 2, 5 — 4, 1 — 500.

Какова будет величина капитала, приходящегося на 1 акционера?

К = (460 × 1 + 10× 2 + 5 × 4 + 1 × 500) / (460 + 10 + 5 + 1) = 2,1 тыс. рублей.

2. Изменение состава усредняемой совокупности.

3. Маскировка или взаимная компенсация отклонения.

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда известны варианты признака, его объемное значение, но не известны частоты.

Средняя геометрическая — это показатель, используемый при расчете индексов.

Структурные средние.

Мода — наиболее типичное, чаще всего встречаемое значение признака. В случаях интервальных рядов с равными интервалами, модальным интервалом считается интервал с наибольшей частотой, а при неравных интервалах — интервал с наибольшей плотностью.

(6.2)

Пример 6.5. Вычисление моды вариационного интервального ряда

Интервал	Частота
70—80
80—90
90—100
100—110
110—120

M_o = 100 + 10 × (45 - 30) / ((45 - 30) + (45 - 13)) = 103,2.

Медиана — значение варьирующего признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности. При исчислении медианы интервального ряда сначала находится интервал, содержащий медиану. Медианному интервалу соответствует первый из интервалов, для которых накопленная сумма частот превышает половину общей совокупности наблюдений.

. (6.3).

Внутри найденного интервала расчет медианы производится по формуле Ме = xl_е , где второй множитель в правой части равенства показывает расположение медианы внутри медианного интервала, а х — длина этого интервала.

Медиана делит вариационный ряд пополам по частотам. Определяют еще квартили, которые делят вариационный ряд на 4 равновеликие по вероятности части, и децили, делящие ряд на 10 равновеликих частей.