Расчет параметров показательной парной регрессии

Поскольку показательная функция относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам, то построение показательной регрессии

=

предшествует, как и в случае степенной функции регрессии, процедура линеаризации переменных с помощью логарифмирования обеих частей функции регрессии. После логарифмирования получим следующее выражение:

Введя обозначение переменных и констант

; ,

получим линейное уравнение регрессии в новых переменных:

.

.

Для определения параметров все вычисления сведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Номер п.п.
	109,8	30,36	1,482	12056,04	2,197	162,76	31,07342	0,713421	2,34987
	119,2	28,95	1,462	14208,64	2,136	174,23	29,83978	0,889775	3,073489
	123,3	29,33	1,467	15202,89	2,153	180,92	29,31715	0,012848	0,043805
	117,8	29,36	1,468	13876,84	2,154	172,9	30,02036	0,660357	2,249173
	109,2	32,45	1,511	11924,64	2,284	165,02	31,15387	1,296126	3,994226
	93,5	32,82	1,516	8742,25	2,2987	141,76	33,33473	0,514732	1,568349
	102,7	32,19	1,508	10547,29	2,273	154,84	32,03891	0,151086	0,469357
	113,5	32,29	1,509	12882,25	2,277	171,28	30,58186	1,708136	5,289984
		30,92	1,490		2,221	166,91	30,7802	0,1398	0,452136
	110,8	31,53	1,499	12276,64	2,246	166,06	30,93979	0,590206	1,871888
	108,6	31,06	1,492	11793,96	2,227	162,05	31,23453	0,174535	0,561928
	108,9	30,37	1,482	11859,21	2,198	161,43	31,19418	0,824178	2,713791
Сумма	1329,3	371,63	17,887	147914,7	26,665	1980,169	-	-	-
Среднее значение	110,775	30,96917	1,491	12326,22	2.222	165,01	-	-	-

Значения параметров линейной регрессии вычисляются по формулам:

d= ( )/( ²) = -0,00187

c = – d = 1,698

a = = 49,877

b= = 0,996

Тогда уравнение регрессии, являющееся степенной моделью курса рубля в зависимости от цены на нефть, примет вид:

ŷ_x = 49,877 .

На рис.1.9 представлены опытные значения курса рубля в 2012 году, цена на нефть, а также теоретические значения курса рубля. На рис. 1.10 представлена построенная показательная функция регрессии.

Рис. 1.9

Рис.1.10

На рисунке 1.11 представлены все построенные функции регрессии, а на рис.1.12 их значения в отдельных точках.

Рис.1.11

Рис.1.12

Дисперсионный анализ линейной функции регрессии

Центральное место в дисперсионном анализе занимает разложение общей суммы квадратов отклонения результирующего показателя y от его среднего значения на две части, а именно объясненную (факторную) и остаточную:

, (*)

Разложение общей суммы квадратов отклонений на объясненную сумму квадратов и остаточную можно представить в следующем виде:

,

где - общая сумма квадратов отклонений;

– объясненная сумма квадратов отклонений;

– остаточная сумма квадратов отклонений.

Результаты расчетов представлены в табл.2.1.

Таблица 2.1

№ п/п
	30,36	-0,60917	0,371084	31,09854	0,12937	0,016737	-0,73854	0,545441
	28,95	-2,01917	4,077034	29,84881	-1,12036	1,255199	-0,89881	0,807859
	29,33	-1,63917	2,686867	29,30372	-1,66545	2,773729	0,026285	0,000691
	29,36	-1,60917	2,589417	30,03494	-0,93423	0,872779	-0,67494	0,455544
	32,45	1,480833	2,192867	31,17831	0,20914	0,043741	1,27169	1,617195
	32,82	1,850833	3,425584	33,26563	2,29646	5,273721	-0,445625	0,198582
	32,19	1,220833	1,490434	32,04249	1,07332	1,152012	0,147515	0,021761
	32,29	1,320833	1,744601	30,60663	-0,36254	0,131436	1,683375	2,833751
	30,92	-0,04917	0,002417	30,80605	-0,16312	0,026607	0,11395	0,012985
	31,53	0,560833	0,314534	30,96559	-0,00358	1,28E-05	0,56441	0,318559
	31,06	0,90833	0,008251	31,25808	0,28891	0,083471	-0,19808	0,039236
	30,37	-0,59917	0,359001	31,2182	0,24903	0,062015	-0,848195	0,719435
	-	-	19,26209	-	-	11,69146	-	7,571039

На основании выполненных расчетов имеем: 19,26209 = 11,69146 + 7,571039 = 19,2625. Погрешность равенства 0,002% следует отнести к вычислительной, а, следовательно, равенство (*) выполняется.

Если коэффициент b изменить в 1.1 раза, то измененное уравнений линейной регрессии будет иметь вид: 0,146245 x +45,69645, и приведенное выше соотношение (*) выполняться не будет, что следует из расчетов (табл. 2.2).

Таблица 2.2.

№ п/п
	30,36	-0,60917	0,371084	29,63875	-1,33042	1,770011	0,721251	0,520203
	28,95	-2,01917	4,077034	28,26405	-2,70512	7,317678	0,685954	0,470533
	29,33	-1,63917	2,686867	27,66444	-3,30473	10,92121	1,665559	2,774085
	29,36	-1,60917	2,589417	28,46879	-2,50038	6,251888	0,891211	0,794257
	32,45	1,480833	2,192867	29,7265	-1,24267	1,54423	2,723504	7,417474
	32,82	1,850833	3,425584	32,02254	1,053376	1,109601	0,797458	0,635938
	32,19	1,220833	1,490434	30,67709	-0,29208	0,08531	1,512912	2,288901
	32,29	1,320833	1,744601	29,09764	-1,87152	3,502603	3,192358	10,19115
	30,92	-0,04917	0,002417	29,31701	-1,65216	2,729622	1,60299	2,569577
	31,53	0,560833	0,314534	29,4925	-1,47666	2,180533	2,037496	4,15139
	31,06	0,90833	0,008251	29,81424	-1,15492	1,333849	1,245757	1,551911
	30,37	-0,59917	0,359001	29,77037	-1,1988	1,437115	0,599631	0,359557
	-	-	19,26209	-	-	40,18365	-	33,72497

Из таблицы следует: 40,18365 + 33,72497 19,26209, т.е.

.

На рис. 2.1 результаты дисперсионного анализа для линейной функции регрессии представлены графически.

Рис. 2.1.