Пример прогноза количества контейнеров

Рассмотрим пример прогноза функции распределения вероятностей объема перевозок контейнеров для одного из клиентов АТП. Исходные данные о среднем количестве вывозимых контейнеров в месяц по годам приведены в табл.7.7 и на рис.7.8.

Определим коэффициенты уравнения тренда в виде

Q = а₁ + а₂ ·t + а₃ · t², (7.33)

где Q – среднемесячное количество контейнеров, шт;

а₁,а₂,а₃ – искомые коэффициенты;

t = Т – Т₀; Т – текущий год; Т₀ – базовый год.

Для определения коэффициентов а_i воспользуемся методом наименьших квадратов, согласно которому расчет а_i производится по формулам:

, , .

Приведенные в формулах определители 3-го порядка записываются в виде:

, .

Суммирование в формулах определителей производится для всех значений i от 1 до N, где N – количество точек динамического ряда. В рассматриваемом примере N = 5.

Известно, что для расчета величины определителя 3-го порядка можно воспользоваться «правилом Саррюса»,[1] согласно которому к определителю приписываются два столбца; произведение элементов на диагоналях, идущих «слева-направо-вниз» берутся со знаком плюс, соответственно «справа-вниз» – со знаком минус, т.е.

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₁ а₁₂

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₂ =

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₂

- - - + + +

= а₁₁·а₂₂·а₃₃ + а₁₂·а₂₃·а₃₁ + а₁₃·а₂₁·а₃₂ – а₁₃·а₂₂·а₃₁ – а₁₁·а₂₃·а₃₂ – а₁₂·а₂₂·а₃₃

Рассчитаем величину определителя Δ₀. В табл.7.7 приведены результаты расчетов сумм, входящих в Δ₀. При подстановке их значений находим

269225 + 185625 + 185625 – 166375 –
–253125 – 220275 = 700

Проведя аналогичные расчеты, получим

Δ₁ = 6720, Δ₂ = 2950, Δ₃ = 550.

Тогда величины искомых коэффициентов равны

а₁ = 9,60; а₂ = -4,21; а₃ = 0,78.

Таким образом, уравнение (7.33) запишется в виде:

Q = 9,60 – 4,21·(Т-1997) + 0,78·(Т-1997)².

При подстановке Т=2003 г. находим прогнозное среднее значение среднемесячного количества контейнеров:

= 9,60 – 4,21·(2003 – 1997) + 0,78·(2003 – 1997)² = 12,46

Округлив, примем для 2003 г. =12 штук.

Помимо среднего значения прогноза рассчитывается среднее квадратическое отклонение σ_Q:

(7.34)

Подставляя значения суммы (см. табл.7.7), находим, s_Q=0,72. Для дальнейших расчетов примем σ_Q = 1.

Таблица 7.7

Исходные данные и результаты расчета сумм для определения

коэффициентов уравнения тренда (7.33)

Год Тi	Количество контейнеров (Qфi)	ti*= Ti-T0	t2i	t3i	t4i	Qфiti	Qфit2i	Qi**	(Qфi- Qi)2
								6,1	0,017
								4,3	0,490
								4,0	0,980
								5,2	0,578
								8,0	0,002
Суммы	Σ = 28	Σti = 15	Σt2=55	Σt3= 225	Σt4= 979	ΣQt= 89	ΣQt2=349		= 2,07
Примечание: * Т0 – базовый год, Т0 = 1997; ** Среднее значение при расчете по формуле (7.33)

На рис. 7.8. приведены исходные данные и результаты прогноза количества вывозимых контейнеров в 2003 г.

1998 1999 2000 2001 2002 2003

Рис. 7.8. Динамика среднемесячного количества вывозимых контейнеров:1 – среднее значение прогноза на 2001 г.; 2 – интервальное значение прогноза (Q ± σ_Q)

Рассчитаем значения функций распределения прогнозируемого количества контейнеров F(Q) при условии, что она подчиняется нормальному закону

(7.35)

где Q_i – величина середины i-го интервала;

Например, для Q_i = 9 контейнеров, получим

Напомним, что

. (7.36)

Результаты расчетов F₁(Q_i) приведены в табл.7.8.

Таблица 7.8

Комбинированный прогноз вероятностей количества контейнеров

Количество контейнеров, Qi, шт.	Прогноз вероятностей (по динамическому ряду) F(Qi)	Экспертные оценки	Комбинированный прогноз вероятностей F*(Qi)
Ранжированный ряд	Прогноз вероятностей F(Qэi)
	0,004		0,238	0,082
	0,054		0,286	0,131
	0,242		0,190	0,224
	0,398		0,143	0,312
	0,242		0,095	0,192
	0,054		0,043	0,050
Суммы	0,994		0,995*	0,991*
Примечание: погрешности расчета (ΣF(Qi) < 1) связаны с тем, что учтены не все интервалы, а также из-за вычисления с округлением.

Для прогноза с помощью метода экспертного опроса составим ряд вероятного числа контейнеров. В качестве экспертов были привлечены пять менеджеров из автотранспортных и экспедиторских фирм. Наиболее предпочтительный вариант оценивался одним баллом, наименее – шестью баллами. Итоги опроса экспертов приведены в табл. 7.9.

С учетом суммы баллов присвоим новые ранжированные номера i каждому числу контейнеров (столбец 3, табл.7.8) и по формуле (7.30) рассчитаем соответствующие вероятности F(Q_эi).

Например, для первой строки табл. 7.8 при i = 2 находим

для второй строки i = 1, F(Q_э1) = 0,286 и т.д.

Плотности распределения прогнозного количества контейнеров для двух вариантов приведены на рис. 7.9.

Рис. 7.9. Вероятности прогнозного количества вывозимых контейнеров

Рассчитаем статистические параметры экспертного прогноза с использованием формул для среднего значения

, (7.37)

и среднего квадратического отклонения

(7.38)

Так, подставляя данные табл. 7.8, находим

Q_э=9·0,238+10·0,286+11·0,190+12·0,143+13·0,095+14·0,043=10,65

По формуле (7.38) находим σ_Qэ = 1,43.

Определим весовые коэффициенты комбинированного прогноза по формуле (7.31):

;

Таблица 7.9