I. Формулировка задачи и характеристики СМО
Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет то, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).
Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем выше, чем больше число обслуживаемых единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.
В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д.
Основными элементами СМО являются источники заявок; их входящий поток; каналы обслуживания и выходящий поток. Это изображено на рис.
Входящий каналы выходящий
поток очередь обслуживания поток
• • • • •
• •
•
В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:
1. системы с отказами, в которых при занятости всех каналов обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной;
2. системы с неограниченными ожиданиями, в которых заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты.
3. системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.
По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные.
В зависимости от расположения источника требований, системы могут быть разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми (источник находится в самой системе).
Рассмотрим в отдельности элементы СМО.
Входящий поток: на практике наиболее распространенным является простейший поток заявок, обладающий свойствами стационарности ординарности и отсутствия последействия.
Стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований (заявок) в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка.
Ординарность потока определяется невозможностью одновременного появления двух или более заявок.
Отсутствие последействия характеризуется тем, что поступление заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента. В этом случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t, равно k, определяется по закону Пуассона.
Pk(t)=( (λt)k / k! ) е-λt
где λ – интенсивность потока заявок, т.е. среднее число заявок в единицу
_ _
времени: λ=1/τ (чел/мин, р/ч, автом/дн, кВт/ч), где τ – среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками;
k – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.
Для такого потока время между двумя соседними заявками распределено экспоненциально с плотностью вероятности: f(t)= λ е-λt
Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания считают распределенным экспоненциально: f(t)=υе-υt
где υ – интенсивность движения очереди, т.е. среднее число заявок
_ _
приходящихся на обслуживание в единицу времени: υ=1/tоч, где tоч – среднее значение времени ожидания в очереди.
Выходящий поток заявок связан с потоками обслуживания в канале, где
_
длительность обслуживания tобс является случайной величиной и часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью
f(tобс)= μe-μt
где μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в ед. времени: μ=1/ tобс(чел/мин, р/дн, кг/ч, докум/дн)
где t – среднее время обслуживания.
Важной характеристикой СМО, объединяющей λ и μ, является интенсивность нагрузки ρ=λ/ μ
Рассмотрим n-канальные разомкнутые СМО.
СМО с отказами.
8.2.1 Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему необслуженной. Показателем качества обслуживания выступает вероятность получения отказа. Предполагается, что все каналы доступны в равной степени всем заявкам, входящий поток является простейшим, длительность (время) обслуживания одной заявки (tобс) распределена по показательному закону.
8.2.2 Формулы для расчета установившегося режима
1. Вероятность простая каналов обслуживания, когда нет заявок (k=0):
n
P0=1/(Σ ρk / k!)
k=0
2. Вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми (k=n):
Pотк= Pn =P0ρn / n
3. Вероятность обслуживания: Робс= 1- Pотк _
4. Среднее число занятых обслуживанием каналов: _ n3=ρ Робс
5. Доля каналов, занятых обслуживанием: k3= n3/n
6. Абсолютная пропускная способность СМО: A=λ Робс