Средние величины и показатели вариации

Средняя величина – это обобщающий показатель, выражающий типичный размер усредняемого признака у единиц изучаемой качественно однородной совокупности.

В статистике применяются различные виды средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая. Каждая из них может быть определена как простая (невзвешенная) или взвешенная.

Средняя арифметическая простая вычисляется путем деления суммы индивидуальных значений признака по единицам совокупности на их количество:

где - средняя арифметическая простая;

- индивидуальные значения величины признака;

- число индивидуальных значений признака (единиц совокупности).

Средняя арифметическая взвешенная применяется в тех случаях, когда одни и те же индивидуальные значения признака встречаются несколько раз. Она исчисляется по формуле

,

где - индивидуальные значения величины признака;

f - количество единиц, имеющих данную величину признака (частота).

Для вычисления средней взвешенной необходимо исходные данные сгруппировать по одинаковым значениям количественного признака и представить в виде вариационного ряда.

Если данные представлены в виде интервального вариационного ряда, в котором размер изучаемого признака дается группами в интервале “от” и “до”, расчет арифметической средней производится по средним значениям признака в каждой группе (по средним арифметическим крайних значений каждого интервала).

Средняя гармоническая - это величина, обратная средней арифметической, и определяется из обратных значений признака.

Средняя гармоническая простая исчисляется по формуле

.

Средняя гармоническая взвешенная исчисляется по формуле

,

где объем признака, выступающий в качестве веса.

Расчет средней по формулам средней арифметической и средней гармонической дает один и тот же результат. Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда известны значения числителя исходного соотношения средней (объемы признака по группам), но неизвестны значения знаменателя (частоты и частости).

Средняя геометрическая используется при изучении рядов динамики, а средняя квадратическая – при характеристике вариации.

Вариация – это различие значений признака по единицам совокупности.

Показатели, характеризующие колеблемость отклонения отдельных значений признака от средней в изучаемой совокупности, называются показателями вариации. К ним относятся размах вариации, среднее арифметическое (линейное) отклонение, средний квадрат отклонений, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации определяется как разность между наибольшим и наименьшим значениями признака по формуле

,

где - размах вариации;

- максимальное значение признака;

- минимальное значение признака.

Среднее линейное отклонение определяется по формуле

,

где - индивидуальные значения признака;

- средняя арифметическая величина;

f - частоты отдельных вариантов (групп единиц совокупности);

- значения отклонений от средней без учета знака.

Наибольшее распространение для измерения вариации признака получило среднее квадратическое отклонение, исчисляемое по формуле

,

где - дисперсия.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Различают общую дисперсию, среднюю из групповых дисперсий и межгрупповую дисперсию.

Общая дисперсия ( ) измеряет колеблемость признака, вызванную действием всех без исключения факторов и вычисляется по формуле

.

Средняя из групповых дисперсий ( ) измеряет колеблемость признака под действием специфических для групп факторов и исчисляется по формуле

,

где - групповая дисперсия по -й группе (т.е. средний квадрат отклонений значений признака, образующих данную группу, от групповой средней).

Межгрупповая дисперсия, или, иначе, дисперсия групповых средних ( ) измеряет вариацию за счет факторного признака, положенного в основание группировки и рассчитывается по формуле

,

где - групповая средняя по -й группе.

Между этими видами дисперсий существует связь, называемая правилом сложения дисперсий:

,

Сущность и правило сложения дисперсий используется также при измерении степени тесноты связи между результативным и факторным признаком (см. тему 10).

Среднее квадратическое отклонение всегда выражается в тех именованных числах, в которых выражены варианты и средние, т.е. дает абсолютную меру вариации.