Построение сетевых моделей и расчет их основных параметров

Построение сетевой модели предусматривает выполнение следующих четырех этапов:

определение целей и ограничений проекта. Цели и ограничения проекта обычно связаны с тремя сторонами реализации проекта (продолжительностью, стоимостью и качеством), а также наличием производственных ресурсов и другими особыми моментами;

определение перечня (совокупности) работ, входящих в проект, и оценку (прогнозирование, расчет) длительности каждой работы (операции);

установление и анализ отношений очередности работ и формирование сетевого графа, отражающего эти отношения;

построение календарного сетевого графика на основе полученного сетевого графа, оценок продолжительности работ, расчета временных параметров и привязки сетевого графика к календарю.

Экономико-математическая модель задачи СПУ имеет следующий вид:

1. Условные обозначения (исходные данные):

h, i, j, k, m - номера событий СГ;

i - номер начального события данной работы, i=1,2,...,m-1;

j - номер конечного события данной работы, j=2,3,...,m;

m - номер завершающего события СГ;

i-j - данная работа СГ;

h-i - работа, непосредственно предшествующая данной (i-j)-й работе;

j-k - работа, непосредственно следующая за данной (i-j)-й работой;

T_ij - трудоемкость (длительность) выполнения данной работы;

P_ij - потребность в ресурсе для выполнения данной работы;

S - располагаемый фонд ресурса s-го вида;

P_ijs - количество единиц ресурса s-го вида, необходимого для выполнения (i-j)-й работы;

T_k - k-й момент времени;

T_нач.ij, T_ок.ij - момент времени соответственно начала и окончания данной (i-j)-й работы;

P_ijsk - количество единиц ресурса s-го вида, необходимого для выполнения (i-j)-й работы в k-й момент времени (если T_нач.ij£T_k£T_ок.ij, то "k P_ijsk=P_ijs);

S_k - располагаемый в k-й момент времени фонд ресурса s-го вида;

S_ост.k - остаток фонда ресурса s-го вида, располагаемого в k-й момент времени;

{A} - множество работ СГ, ожидающих выполнения;

{A_k} - множество работ СГ, ожидающих выполнения в k-й момент времени;

{B_y} - совокупность работ, принадлежащих множеству работ {A_k};

T^РН_ij, T^РО_ij - моменты времени самого раннего начала и окончания данной (i-j)-й работы соответственно;

T^ПН_ij, T^ПО_ij - моменты времени самого позднего начала и окончания данной (i-j)-й работы соответственно;

T_кр. - длина критического пути СГ;

r¹_ij, r²_ij - частный резерв времени данной (i-j)-й работы соответственно первого и второго вида;

R_ij - полный (общий) резерв времени данной (i-j)-й работы;

- независимый (свободный) резерв времени (i-j)-й работы;

T - продолжительность выполнения всего комплекса работ данного сетевого графика;

T_дир. - директивный срок выполнения всего комплекса работ данного сетевого графика.

Пример исходных данных (о составе, взаимосвязи и трудоемкости работ некоторого комплекса) для расчета временных параметров сетевого графика и формирования расписания выполнения его работ приведены в таблице 8.7.

Определение продолжительности работ сетевого графика

Для недетерминированных работ СГ, продолжительность выполнения которых определить точно не возможно, определяется ожидаемая продолжительность их выполнения ( ) и дисперсия ( ) одним из следующих способов:

Первый способ

(8.4.1)

Таблица 8.7 - Исходные данные для расчета параметров сетевого графика

Работа, непосредственно предшествующая данной (i-j)-й работе	Работа процесса (проекта)	Трудоемкость (продолжительность) данной работы, рабочий день	Потребность в ресурсе для выполнения данной работы, человек
h-i	i-j	Tij	Pij
-	а
-	б
а	в
а	г
а, б	д
а, б	е
в	ж
г, д	з
Ежедневно располагаемый фонд ресурса s-го вида равен 6 единицам, то есть S=6 человек

Второй способ

(8.4.2)

где – минимальная (оптимистическая) продолжительность выполнения данной работы (продолжительность данной работы при самых благоприятных условиях ее выполнения), i=1,2,...,m-1, j=2,3,...,m;

– максимальная (пессимистическая) продолжительность выполнения данной работы (продолжительность данной работы при самых неблагоприятных условиях ее выполнения), i=1,2,...,m-1, j=2,3,...,m;

– наиболее вероятная продолжительность выполнения данной работы (продолжительность данной работы при наиболее часто встречающихся условиях ее выполнения), i=1,2,...,m-1, j=2,3,...,m;

– ожидаемая продолжительность данной работы, i=1,2,...,m-1, j=2,3,...,m.

2. Основные расчетные формулы (для расчета временных параметров сетевого графика):

(8.4.3)

(8.4.4)

(8.4.5)

(8.4.6)

(8.4.7)

(8.4.8)

(8.4.9)

(8.4.10)

(8.4.11)

Критерии оптимальности.

При формировании рационального варианта расписания выполнения работ сетевого графика в качестве критерия оптимальности может быть выбран один из приведенных ниже. Для одноресурсной модели в математически формализованном виде их можно записать следующим образом.

3.1. Минимизация общего времени выполнения всего комплекса работ:

(8.4.12)

3.2. Максимизация загрузки ресурсов:

(8.4.13)

3.3. Равномерность загрузки или потребления ресурсов:

(8.4.14)

3.4. Минимизация потребности в ресурсах (потребности в располагаемом фонде ресурса s-го вида) при соблюдении директивного срока выполнения всего комплекса работ:

(8.4.15)

Ограничительные условия.

Для выполнения каждой работы необходимыми условиями являются:

- завершение выполнения всех работ, непосредственно предшествующих рассматриваемой, то есть

(8.4.16)

- наличие в каждый k-й момент времени (T_k) для выполняемых работ требуемого количества ресурсов всех видов, а следовательно, в каждый k-й момент времени суммарный расход ресурса s-го вида не может превысить некоторой заданной величины S_k, то есть

(8.4.17)

Количество работ рассматриваемого комплекса может быть любым (то есть нет ограничения на количество работ сетевого графика).

На рисунке 8.14 представлен сетевой график, построенный по исходным данным таблицы 8.7.

Рисунок 8.14 - Сетевой график выполнения комплекса работ

На рисунке 8.15 представлена схема отображения значений параметров непосредственно на сетевом графике.

Рисунок 8.15 - Схема отображения параметров сетевого графика

Схема очередности (по этапам) расчетов временных параметров сетевого графика представлена на рисунке 8.16.

Первый этап Второй этап Третий этап Четвертый этап

Рисунок 8.16 - Принципиальная схема очередности расчетов

временных параметров сетевого графика

Из схемы следует, что сначала рассчитываются для каждой работы сетевого графика пара ранних временных параметров (сначала раннее начало, а затем раннее окончание) в очередности от первой работы к последней (от работ с меньшим кодом к работам с большим кодом, а на графике соответственно слева направо). Далее определяется величина (длина) критического пути. Затем рассчитываются для каждой работы пара поздних временных параметров (сначала позднее окончание, а затем позднее начало) в очередности от последней работы к первой (от работ с большим кодом к работам с меньшим кодом, а на графике соответственно справа налево). После этого можно рассчитать в любой очередности частный резерв времени первого и второго вида, полный резерв времени и независимый (свободный) резерв времени для каждой работы сетевого графика.

В таблице 8.8 представлены результаты расчета временных параметров сетевого графика (в табличной форме) для рассматриваемого примера (см. таблицу 8.7, рисунок 8.14).

Таблица 8.8 - Результаты расчета временных параметров сетевого графика

Работа i-j	Временные параметры сетевого графика
1-2
1-4
2-3
2-4
2-5
3-6
4-5
4-6
5-6
Длина критического пути
Работы критического пути: 1-2, 2-5, 5-6

Модели и методы сетевого планирования позволяют на основе исходной информации определить самые ранние и самые поздние возможные сроки начала и окончания каждой работы комплекса, представленного сетевой моделью, рассчитать время, необходимое для выполнения всего комплекса работ, выявить критические работы, несвоевременное выполнение которых влечет за собой изменение общего времени выполнения всего комплекса, а также некритические работы, небольшие задержки в выполнении которых не сказываются на общей продолжительности комплекса.

При анализе полученных результатов расчета временных параметров сетевого графика длина критического пути сравнивается с директивным (или желаемым) сроком выполнения всего комплекса работ данного сетевого графика. При этом оцениваются резервы времени работ с целью последующей оптимизации сетевого графика по критерию минимизации времени выполнения всего комплекса работ. Работы, не лежащие на критическом пути, имеют определенные резервы времени, что позволяет наиболее эффективно их использовать и распределять ресурсы по работам как на этапе оптимизации СГ, так и в процессе мониторинга и регулирования хода выполнения комплекса работ. При этом следует учитывать, что использование резерва времени одной работы может уменьшить резервы последующих или предшествующих работ СГ. В некоторых случаях продолжительность времени выполнения работы может быть увеличена без изменения резервов времени предшествующих и последующих работ СГ. Такое увеличение времени работы возможно за счет использования независимого (свободного) резерва времени (i-j)-й работы ( ).

Свободный (независимый) резерв времени определяет, на сколько по времени мы можем удлинить выполнение данной работы, т.е. увеличить длительность ее выполнения по сравнению с нормативом (плановой длительностью), что не приведет к увеличению длины критического пути (а, следовательно, и к увеличению минимально возможного времени выполнения всего комплекса работ СГ). При этом сохраняются (не затрагиваются) резервы времени у других работ СГ (в частности полный резерв времени работы), которыми можно воспользоваться (например, для оптимизации выполнения работ СГ) и это не приведет к увеличению длины критического пути. Положительная величина независимого (свободного) резерва времени характеризует работу СГ, которая не принадлежит максимальным полным путям, проходящим через ее начальное и конечное событие.

Полный (или общий) резерв времени работы характеризует на сколько максимально по времени мы можем задержать начало ее выполнения (при сохранении нормативной (плановой длительности)) или завершение ее выполнения (в том числе из-за увеличения длительности по сравнению с нормативной (плановой длительностью)) при условии соблюдения плановой длительности для всех работ, которые лежат вместе с данной работой на самом длинном (по времени) из всех полных путей, которым принадлежит рассматриваемая работа, и отсутствия перерывов между выполнением смежных работ на указанном пути, что не приведет к увеличению длины критического пути (а, следовательно, и к увеличению минимально возможного времени выполнения всего комплекса работ СГ).

Использование частного резерва времени второго вида данной работы не нарушает ранних сроков начала выполнения последующих работ СГ, рассчитанных на этапе определения временных параметров СГ и следовательно, не приведет к увеличению длины критического пути и минимально возможного времени выполнения всего комплекса работ СГ.

Выполним краткий анализ сетевого графика (см. таблицу 8.8, рисунок 8.14). Сетевой график (см. рисунок 8.14) содержит шесть полных путей, один из которых критический. Критическим (наиболее продолжительным) является путь: 1-2, 2-5, 5-6. Его продолжительность равна 21 дню (7+8+6).

Продолжительность критического пути характеризует минимально возможное время выполнения всего комплекса работ, т.е. 21 день.

Задержка при выполнении любой работы на критическом пути (на рисунке 8.14 выделен жирной линией) приведет к нарушению срока наступления соответствующего события критического пути, и, следовательно, к срыву всего комплекса работ. Остальные пять полных путей короче критического и поэтому имеют некоторый резерв времени, например, путь 1-2, 2-3, 3-6 имеет резерв в 8 дней (38%), путь 1-4, 4-6 имеет резерв в 9 дней (43%). Следовательно, напряженность последнего пути равна 0,57, что означает допустимость задержки при выполнении работ 1-4 и 4-6, принадлежащих данному пути, в сумме не более чем на 9 дней. Но поскольку работа 1-4 принадлежит также другому полному пути (1-4, 4-5, 5-6) с продолжительностью 14 дней, который обладает резервом времени в 7 дней (21-14=7), то можно допустить задержку в выполнении работы 1-4 не более чем на 7 дней, иначе не удастся выполнить весь комплекс работ за 21 день.