Лекция 11. Элементы теории игр
План.
11.1. Основные понятия теории игр.
11.2. Примеры игр.
11.3. Классификация игр.
Основные понятия теории игр
Теория игр – это математическая дисциплина, исследующая ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников.
Интересы участников могут быть антагонистическими (полностью противоположными) и неантагонистическими. В последнем случае исследуют вопрос о наиболее эффективных совместных действиях (кооперативные игры).
Игра – это упрощенная формализованная модель реальной ситуации, описывающая действия двух или более участников. Предполагается, что известны варианты действий сторон (стратегии), исход игры для каждого участника случае выбора конкретных действий всеми участниками, степень и порядок информированности каждого участника игры о поведении всех других участников.
Математическая теория игр ведет свое начало от анализа салонных, карточных, спортивных игр. Впервые теория игр была систематически изложена Дж. Фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1944 г. Их публикация содержала экономическую ситуацию, которую легко описать в численной форме. Уже во время Второй мировой войны теория игр была применена в военном деле для исследования стратегических решений.
В бизнесе главный вопрос: как осуществить сделку с максимальной пользой для себя? Например, какую цену установить на товар, учитывая, что на рынке работают еще несколько продавцов, но не известно при этом, какую цену они установят за аналогичный товар. Очевидно, что если установить цену выше, чем у конкурентов, это приведет к потере покупателей, если ниже— возможен риск разорения.
Когда экономический агент, называемый часто в подобных задачах лицом, принимающим решение (ЛПР), не знает, какой информацией обладает и как поступит конкурент, и даже не знает вероятность того или иного его поведения, нужен логико-аналитический механизм, который позволит учесть возможность того или иного исхода и предложить оптимальный вариант при определенном уровне риска.
В разных ситуациях каждый участник имеет свои интересы и возможности выбирать те или иные доступные для них действия в соответствии с этими интересами, но каждый участник лишь частично контролирует ситуацию. Каждый участник имеет свою цель и использует собственную стратегию, разработанную с учетом представлений этого участника о других участниках, их ресурсах и их возможных стратегиях.
Если принятие решения зависит от нескольких участников, то, как правило, неизбежен конфликт, так как крайне редко все участники имеют одинаковые цели и интересы. В этом случае конфликт понимается как ситуация, которую формируют различные участники, имеющие несовпадающие цели (но и не обязательно противоположные).
Один из способов изучения и анализа таких ситуаций — моделирование на основе теории игр. Теория игр рассматривает ситуации, в которых результаты действий каждого участника зависят от действий других и участники принимают решения, учитывая эту взаимосвязанность.
Если интересы участников не совпадают (или даже прямо противоположны), игровая ситуация становится конфликтной. Конфликтность и неопределенность тесно связаны. В условиях конфликта стремление противника скрыть свои предстоящие действия порождает неопределенность в его поведении. И наоборот, фактор неопределенности при принятии решений (возникающий, например, из-за недостаточности данных, ошибок измерений, отсутствия знаний, неконтролируемости ряда параметров и т.п.) можно интерпретировать как конфликт принимающего решения субъекта с окружающей средой.
Таким образом, можно сказать, что в теории игр неопределенность, взаимосвязанность и конфликтность рассматриваются в качестве главных признаков игры.
Примеры игр
Для объяснения и иллюстрации основных принципов теории игр обычно используют прототипные игры — простейшие игровые модели. Несмотря на их простоту, эти модели могут успешно применяться для описания и анализа многих реальных бизнес-ситуаций. Одной из прототипных игр является классическая игровая модель, называемая «Борьба за рынки».
Пример игры «Борьба за рынки».
Некая крупная компания (Монополист) контролирует рынок (или отрасль). Оцениваемая прибыль, получаемая от этого рынка, составляет, скажем, 3 млн ден. ед. Небольшая фирма (Аутсайдер) намерена войти в этот рынок (отрасль) со своим товаром. Монополист может воспрепятствовать этому, ответив, например, снижением цен или предприняв другие предупредительные меры для поддержания «потребительской лояльности». В этом случае оцениваемые затраты Монополиста составят 2 млн, а потери Аутсайдера — 1 млн. Если Монополист не будет предпринимать никаких специальных действий и позволит Аутсайдеру работать на этом рынке, они поделят прибыль, т.е. получат по 1,5 млн. Важно, что Монополист и Аутсайдер должны принять решение заранее, не зная о решениях и действиях друг друга. Несмотря на кажущуюся простоту, первое приходящее на ум решение Монополиста — не пускать конкурента на свой рынок — оказывается для него не самым лучшим. «Разумный» игрок понимает, что в данной ситуации стратегия «войны» для Монополиста дает худший результат при любых действиях Аутсайдера (3 > 1, если Аутсайдер не входит на рынок, и 1,5>1, если Аутсайдер примет решение входить на рынок). Поэтому Аутсайдер, проанализировав ситуацию с точки зрения Монополиста, поймет, что стратегия «войны» — это неоправданная угроза (incredible threat) и невыгодна Монополисту, а стратегия «мир» является лучшей (в теории игр такая стратегия называется доминирующей или доминантной). Ситуация, представленная данной схемой, достаточно часто встречается на практике.
Рассмотренный пример показывает, что с помощью анализа на основе теории игр предприятие получает возможность предусмотреть действия своих конкурентов на рынке. В качестве других примеров можно назвать решения по поводу проведения принципиальной ценовой политики, вступления на новые рынки, кооперации и создания совместных предприятий, определения лидеров и исполнителей в области инноваций, вертикальной интеграции, переговоров с партнерами и т.д. Положения данной теории, в принципе, можно использовать для всех видов решений, если на их принятие влияют другие действующие лица. Этими лицами необязательно должны быть рыночные конкуренты; в их роли могут выступать субпоставщики, ведущие клиенты, сотрудники организаций, а также коллеги по работе.
Пример игры «Дилемма узников», или «Дилемма заключенных» (Prisoners’ Dilemma).
В некой стране двое подозреваемых в совершении преступления взяты под стражу и размещены в разных камерах. Оба подозреваемых знают, что улик против них недостаточно для вынесения приговора, и если каждый из них будет хранить молчание, то их освободят через год. Следователь сообщает каждому из них, что в случае, если один из подозреваемых сознается в преступлении, в то время как другой будет хранить молчание, то сознавшийся будет немедленно освобожден, а другой будет осужден на 15 лет. Если оба подозреваемых расскажут о своем преступлении, то они будут осуждены на пять лет.
Данная игра в нормальной форме представлена в табл. 11.1. Игра моделирует возможности и ограничения совместных действий при отсутствии возможностей для переговоров. Очевидно, что «некооперативные» («эгоистические») стратегии не могут быть одинаково полезны для обоих игроков. У игроков есть «кооперативные» стратегии («молчать» — «молчать» и «говорить» — «говорить»), но они неравнозначны по платежам (морально-этические аспекты здесь не принимаются во внимание).
Таблица 11.1
Игра «Дилемма узников»
| Подозреваемый 2 | |||
| «Молчать» | «Говорить» | ||
| Подозреваемый 1 | «Молчать» | (-1; -1) | (-15; 0) |
| «Говорить» | (0; -15) | (-5; -5) |
Казалось бы, стратегии «молчать» могут дать больший платеж обоим игрокам, но эти стратегии не являются оптимальными. Не имея возможности для общения и выработки общей стратегии в виде совместного отказа от признания в совершенном преступлении, что позволило бы добиться минимального срока тюремного заключения, каждый заключенный руководствуется только своими собственными интересами, состоящими в желании избежать максимального срока заключения, который вероятен для того заключенного, который не признается первым. В случае же дачи признательных показаний заключенным грозит нечто среднее — между минимальным и максимальным наказанием. Когда заключенные не обладают всей полнотой информации относительно намерений друг друга, им лучше сознаться. Причем никому не выгодно изменять этот выбор при текущем выборе другого, т.е. игроки «вышли» на равновесие. Даже если бы у одного из заключенных было право сделать выбор первым, он, зная, что наилучшей реакцией другого заключенного на любой выбор первого будет стратегия «говорить», также выберет эту стратегию.
Любой «некооперативный» исход в игре такого рода выглядит парадоксально неудачным: не выбирая лучшее для себя по отдельности, оба игрока получили бы меньшие наказания, если бы смогли скооперироваться и верили в выполнение партнером достигнутого соглашения. Но такие ситуации не всегда возможны. Структуру данной игры можно увидеть в очень многих конфликтных ситуациях.
Такая игра может, например, описывать простейший вариант дуополии, где возможны три варианта:
1)если компании договорятся продавать товар по высокой цене, они получат большую прибыль;
2) если одна компания снизит цену, а конкурент будет продолжать продавать по высокой цене, тогда он останется в проигрыше;
3) если обе компании торгуют по низким ценам, прибыли незначительные.
Экономические ситуации, которые могут моделироваться игрой типа «Дилемма узников»
Каждая из фирм, продающих однородный товар, может запустить рекламную кампанию, что увеличит ее прибыль и уменьшит прибыль конкурентов, если они не будут рекламировать свой товар. Если все фирмы рекламируют товар, прибыль всех фирм уменьшается из-за затрат на рекламу. Предположим, что в случае дуополистического рынка каждая из двух компаний, производящих однородный товар повседневного спроса, имеет прибыль по 50 млн ден. ед. Затраты каждой фирмы на рекламу составляют 20 млн ден. ед. Реклама может дать дополнительно 30 млн ден. ед. за счет привлечения клиентов конкурента, если тот не будет рекламировать свой товар. Платежи игроков приведены в табл. 11.2.
Таблица 11.2
Вариант игры «Дилемма узников»
| Компания 2 | |||
| Торговля без рекламы | Торговля с рекламой | ||
| Компания 1 | Торговля без рекламы | (50; 50) | (20; 60) |
| Торговля с рекламой | (60; 20) | (30; 30) |
Получается, что торговля с рекламой дает компаниям худший результат, чем торговля без рекламы, но отказываться от рекламы нельзя, поскольку в этом случае компания может получить еще меньше. Это приводит к ситуации, когда каждой компании приходится заниматься рекламированием своей продукции главным образом для того, чтобы удержать клиентов и не пустить в свои рыночные ниши конкурентов. То есть реклама в данном случае — это не «наступательные операции», а «окопные сражения» за удержание своих позиций, и в этом случае реклама снижает прибыль, но обойтись без нее нельзя.
Обобщением игры «Дилемма узников» считается трагедия общин (Tradegy of the commons). Этим термином обозначается род явлений, связанных с противоречием между личными интересами и общественным благом. В основном под этим имеется в виду проблема переиспользования общественного блага. Исходная формулировка этой ситуации заключается в следующем. Существует пастбище, на котором крестьяне пасут свой скот. Выпас скота уменьшает количество травы, растущей на нем. Каждый член общины может увеличить поголовье своего скота и тем самым увеличить свой доход, но при этом плодородие пастбища сократится, хотя и незначительно. Но если все члены общины сделают то же самое, пастбище станет уже намного хуже. Если же член общины уменьшит свой выпас, плодородие поля увеличится, но его личный выигрыш от этого будет намного меньше, чем потерянный доход. Получается, что всем членам общины выгодно только увеличивать использование пастбища. Трагедия общин показывает, как свободный доступ к ресурсу, например пастбищу, полностью уничтожает ресурс из-за чрезмерного его использования. Это происходит потому, что все пользующиеся им получают выгоду (или доход) непосредственно для себя, а издержки содержания ресурса ложатся на них всех равномерно.
Пример игры «Семейный спор» (Battle of the sexes).
Семейная пара решает, где провести выходной день: пойти на футбол или в театр. Муж предпочитает футбол, жена — театр, но оба предпочитают провести день вместе, а не по одному. Платежная матрица игры представлена в табл. 11.3.
Таблица 11.3
Игра «Семейный спор»
| Муж | |||
| Футбол | Театр | ||
| Жена | Футбол | (1; 2) | (-3; -3) |
| Театр | (-1; -1) | (2; 1) |
Это один из вариантов так называемой координационной игры, в которой «кооперативные» стратегии дают обоим игрокам лучший платеж, чем «эгоистические» стратегии.
Другим примером является решение об инвестировании инновационного проекта, который может принести 150 ден. ед., но требует инвестиций в размере 100 ден. ед.: каждая компания может инвестировать 50 ден. ед. и получить 75 ден. ед., однако проект будет успешным только в случае инвестирования обеими компаниями (табл. 11.4).
Таблица 11.4
Игра «Инвестиции»
| Компания 2 | |||
| Инвестировать | Не инвестировать | ||
| Компания 1 | Инвестировать | (25; 25) | (-50; 0) |
| Не инвестировать | (0; -50) | (0; 0) |
Классификация игр
Рассмотрим классификацию игр в зависимости от различных параметров.
Количество игроков. Различаются игры двух лиц (два участника игры) и игры n лиц (число участников более двух).
Количество стратегий. Если каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий в игре, то игра называется конечной. Если число стратегий хотя бы одного из участников игры бесконечно, то игра называется бесконечной.
Соотношение интересов участников. Игры с нулевой суммой – сумма выигрышей участников всегда равна нулю (антагонистические интересы – антагонистические игры). Игры с ненулевой суммой.
Возможности взаимодействия участников. С этой точки зрения можно рассматривать коалиционные (допускается образование коалиций между участниками), бескоалиционные (коалиции не допускаются) и кооперативные игры (коалиции определены заранее).
Тип функции выигрыша. По данному критерию выделяют матричные игры (игра 2-х лиц, выигрыш одного из игроков (соответственно проигрыш другого) задается в виде матрицы), биматричные игры (игра 2-х лиц, выигрыш каждого из игроков задается своей матрицей). Непрерывные игры (функция выигрышей является непрерывной функцией на множестве стратегий каждого из игроков), выпуклые игры (функция выигрышей есть выпуклая функция на множестве стратегий) и др.
Количество ходов. Если после одного хода каждого игрока игра заканчивается и происходит распределение выигрышей, то игра называется одношаговой. В противном случае игра называется многошаговой (позиционной, например, шахматы).
Кроме этого выделяют различные классы игр по иным признакам (статистические, дифференциальные и многие другие). В частности рассматривают так называемые «игры с природой», т.е. игры, когда в качестве второго игрока выступает не игрок с противоположными интересами, а некоторая сторона с «неопределенными» интересами (природа). В этом случае для поиска оптимальных стратегий наряду с принципом гарантированного результата используются и другие критерии, например Максимакса, Вальда, Сэдвиджа, Гурвица.