Двухфакторные производственные функции.
В приведенном ниже списке функции располагаются в порядке возрастания сложности их записи и, соответственно, увеличения количества необходимых для этого параметров. Все они допускают возможность их модификации.
1. Функция с фиксированными пропорциями факторов (Функция Леонтьева):
, (1)
где Параметры.
Известно несколько альтернативных систем (гипотез), которые выделяют функции этого вида:
1. предельная производительность первого фактора является кусочно-постоянной невозрастающей функцией от отношения , предельная производительность второго фактора – неубывающей кусочно-постоянной функцией от ;
2. функция является решением задачи оптимизации:
,
Где Переменная, которую оптимизируют.
3. функция является однородной, а эластичность замещения факторов равна нулю;
4. функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью вида
Путем предельного перехода: .
Функция Леонтьева предназначена В основном для моделирования строго детерминированных технологий, которые не допускают отклонения от технологических норм и нормативов относительно использования ресурсов на единицу продукции. Как правило, она используется для формализованного описания мелкомасштабных или целиком автоматизированных объектов.
2. Функция Кобба-Дугласа:
, (2)
Здесь также используется несколько систем гипотез, которые выделяют класс функций Кобба-Дугласа среди дважды дифференцируемых функций двух переменных:
1. эластичности выпуска по факторам являются постоянными:
, .
Решение этой системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка принадлежит к классу функций Кобба-Дугласа;
2. эластичность функции по одному из факторов является постоянной, и функция является однородной;
3. функция является однородной, а эластичности уменьшения факторов по Алену и Михайловскому равны единице;
4. предельная производительность каждого фактора является пропорциональной его средней производительности;
5. функция является однородной функцией , и как функция от при любом фиксированном ;
6. функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью путем существования замены вида
И предельного перехода . Функция Кобба-Дугласа чаще всего Используется для формализованного описания среднемасштабных хозяйственных объектов и экономики страны в целом.
3. Линейная функция:
. (3)
Предпосылки и гипотезы:
1. предельные производительности факторов являются постоянными:
, ,
А в нуле функция равна нулю;
2. предельная производительность одного из факторов будет постоянной и однородной первой степени:
, ;
3. функция однородная, и эластичность замещения факторов по Алену является бесконечной;
4. эластичность выпуска по факторам обратно пропорциональна их средней производительности.
Линейная функция применяется для моделирования крупномасштабных систем (крупные отрасли, народное хозяйство в целом), в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования большого количества разнообразных технологий. Особую роль играет гипотеза постоянства предельных производственных факторов или их неограниченного замещения.
4. Функция Алена:
(4)
Определяется такими условиями:
· скорости роста предельных производительностей являются постоянными;
· функция является однородной.
Функция Аллена при Используется для формализованного описания производственных процессов, в которых чрезмерное возрастание любого из факторов отрицательно влияет на объемы выпуска продукции (мелкомасштабные производственные системы с ограниченными возможностями переработки ресурсов).
5. Функция постоянной эластичности замещения факторов (Функция CES):
(5)
Предпосылки и гипотезы:
1. функция является однородной;
2. эластичность замещения факторов – постоянна.
Функция CES Применяется в случае отсутствия точной информации относительно уровня взаимного замещения производственных факторов, и вместе с тем есть основания считать, что этот уровень существенно не изменится при изменении объемов привлеченных ресурсов. Функция CES может использоваться для моделирования систем любого уровня.
6. Функция Солоу:
(6)
Характеризуется тем, что величина процентного изменения предельной нормы замещения факторов, которая связана с изменением одного из факторов на один процент, не зависит от начального уровня факторов.
7. Многофакторные производственные функции.Один из наиболее рациональных способов перехода от двухфакторных к многофакторным ПФ состоит в следующем.
Рассмотрим двухфакторную ПФ:
. (8)
Аргумент этой функции рассмотрим как обобщенный показатель, который зависит также от двух факторов и :
,
Где Некоторая функция. Подставляя это выражение в (8) получим трехфакторную функцию
,
Этот процесс можно продолжать. В общем виде: если задано двухфакторных функций , ,…, , то получим Факторную функцию:
В результате последовательной их подстановки. Операция такой супервозиции имеет очевидный экономический смысл: второй аргумент, например, двухфакторной функции, последовательно представляется в виде зависимости от показателей низших (детализированных) уровней.
Нетрудно проверить такие Свойства операции суперпозиции:
1. если – неубывающие функции, Также неубывающая функция;
2. если Линейно-однородные функции, а Однородная функция степени однородности , то Однородная функция степени однородности ;
3. если Вогнутые неубывающие функции, то Вогнутая неубывающая функция.
Операция суперпозиции позволяет представлять многофакторные ПФ как суперпозицию двухфакторных функций.