Математическое моделирование при принятии решений

МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТЕОРИИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ

Основы моделирования

Математическое моделирование при принятии решений

Математическое моделирование экономических явлений и процессов с целью обеспечения принятия решений - область научно-практической деятельности, получившая мощный стимул к развитию во время и сразу после второй мировой войны. Эта тематика развивалась в рамках интеллектуального движения, связанного с терминами "кибернетика" (в нашей стране для ее развития много сделал Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика"), "исследование операций", а позже - "системный анализ", "информатика".

Впрочем, имелась и вполне практическая задача - контроль качества боеприпасов, вышедшая на первый план именно в годы второй мировой войны. Методы статистического контроля качества приносят (по западной оценке, обсуждаемой в [13], и по нашему мнению, основанному на опыте СССР и России, в частности, анализе организационно-экономических результатов работы служб технического контроля на промышленных предприятиях) наибольший экономический эффект среди всех экономико-математических методов принятия решений. Только дополнительный доход от их применения в промышленности США оценивается как 0,8 % валового национального продукта США, т.е. 24 миллиардов долларов (в ценах 2003 г.).

Для ориентации в практически необозримом море математических моделей экономических явлений и процессов (короче: экономико-математических моделей), необходима их классификация. Первым основанием для классификации служит отношение к практической деятельности. Экономико-математические модели делятся на:

1) ориентированные на практическое использование (примерами служат модели статистического контроля, с помощью которых принимается решение о приемке или забраковании партии конкретной продукции),

2) модели, которые практически использовать невозможно (примерами служат модели "основного уравнения количественной теории денег" или "спирали ЦЕНЫ - ЗАРПЛАТА" в учебнике макроэкономики [14]).

Экономико-математическое моделирование.Лучшее введение в проблемы построения экономико-математических моделей, особенно ориентированных на практическое использование в задачах принятия решений - это книги Н.Н.Моисеева [15] и В.А. Лотова [16]. Общие проблемы математического моделирования реальных явлений и систем рассматриваются в монографиях Н.П.Бусленко [17], Дж.Кемени и Дж.Снелла [18] , Н.Н.Моисеева [3, 19], Дж. фон Неймана и О.Моргенштейна [20] и многих иных монографиях. Имеется большое число сборников научных статей, посвященных математическим моделям в экономике. Отметим большое практическое значение моделей логистики или, в другой терминологии, управления запасами [7, 21]. В последние годы интерес вызывает моделирование финансового рынка.

Важная проблема - учет неопределенности. Основное место она занимает в вероятностно-статистических моделях экономических и социально-экономических явлений и процессов. Проблемы устойчивости (к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели) для социально-экономических моделей рассматриваются в [7].

Особое место занимают имитационные системы, позволяющие отвечать на вопросы типа: "Что будет, если...?" (Как подчеркнуто в [3, с.212], «любая модель, в принципе, имитационная, ибо она имитирует реальность».) Основа имитации (смысл которой мы будем понимать как анализ экономического явления с помощью вариантных расчетов) - это математическая модель. Согласно [3, с.213] имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты. Таким образом, под имитацией понимается численный метод проведения машинных экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительных периодов времени [5, с.9], при этом имитационный эксперимент состоит из следующих 6 этапов:

1) формулировка задачи,

2) построение математической модели,

3) составление программы для ЭВМ,

4) оценка пригодности модели,

5) планирование эксперимента,

6) обработка результатов эксперимента.

Несколько иной (более подробный) список этапов дан в [22]. Имитационное моделирование (simulation modelling) широко применяется в различных областях, в том числе в экономике [5]. Наиболее перспективным представляется синтез экспертных систем и математических моделей, впервые осуществленный в нашей стране еще в 70-е годы [23].

Математические методы в экономике.При построении, изучении и применении экономико-математических моделей принятия решений используются различные математические методы, именуемые в данном контексте экономико-математическими (хотя они, как правило, могут с успехом использоваться вне экономики, как, в частности, эконометрические методы анализа эмпирических экономических данных). По математическим методам в экономике имеются многочисленные монографии и сборники статей. Экономико-математические методы можно разделить на несколько групп:

- методы оптимизации,

- - методы, учитывающие неопределенность, прежде всего вероятностно-статистические,

- методы построения и анализа имитационных моделей,

- методы анализа конфликтных ситуаций (теории игр).

Во всех этих группах можно выделить статическую и динамическую постановки. При наличии фактора времени используют дифференциальные уравнения и разностные методы.

Рассмотрим перечисленные группы методов по отдельности.

Методы оптимизации.Со времен классических работ [24, 25] нобелевского лауреата по экономике академика АН СССР Л.В.Канторовича один из основных классов экономико-математических методов - это методы оптимизации. Оптимальному управлению на основе экономико-математических моделей посвящена обширная литература [22, 26], в ней используются такие термины, как оптимальное программирование и оптимальное планирование. В случае одного критерия принципиальных сложностей нет - применяют диалоговые компьютерные системы. Сложные проблемы - это выбор целевых функций [27], оценка устойчивости принципов оптимальности [7], многокритериальность [28]. Для построения моделей с целью принятия решений используют теорию полезности [29].

Вероятностно-статистические модели. Исходная научная база таких моделей - теория вероятностей и математическая статистика. Выделяют как самостоятельное направление прикладную статистику. Она включает в себя прикладную математическую статистику, ее программное обеспечение и методы сбора статистических данных и интерпретации результатов расчетов. Только первая из этих трех областей одновременно входит и в математическую статистику. Последняя включает в себя также чисто математическую область, в которой статистические структуры рассматриваются как математические объекты. Они изучаются внутриматематическими методами. Эту область научных исследований в ряде публикаций называют "аналитической статистикой". Таким образом, математическая статистика состоит из прикладной математической статистики, ориентированной на практическое применение, и ветви чистой математики под названием "аналитическая статистика", полезность которой для применений не подтверждена. Можно всю жизнь доказывать теоремы в аналитической статистике, ни разу не обработав реальные данные и даже не думая об этом. В настоящее время аналитическая статистика постепенно вытесняет прикладную математическую статистику из научных журналов и учебных курсов. Так, в основном в России журнале по теории вероятностей и математической статистике "Теория вероятностей и ее применения" уже почти не встретишь статей, имеющих отношение к работе с реальными данными (см. ниже критику т.н. "математической экономики").

Статистические методы активно применяются в различных областях экономики, причем в России - уже более 150 лет. Как известно, эконометрика (или эконометрия) - это статистические методы анализа эмпирических экономических данных [4]. Однако в нашей стране этот термин употреблялся почти исключительно в переводной литературе [30-38].

Имеются многочисленные публикации по различным конкретным разделам прикладной статистики и эконометрии:

- по регрессионному анализу (методам восстановления зависимости и построения моделей, прежде всего линейных);

- по планированию эксперимента;

- по методам классификации (дискриминантного анализа, кластер-анализа, автоматической классификации, распознавания образов, систематики и типологии, теории группировок);

- по многомерному статистическому анализу экономической информации;

- по методам анализа и прогнозирования временных рядов;

- по теории робастности (robustness), т.е. устойчивости статистических процедур к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок модели [4, 7],

- по использованию различных индексов [39], в частности, индекса инфляции [4].

Основной журнал в России, в котором публикуются исследования по прикладной статистике и особенно по планированию эксперимента - это "Заводская лаборатория" (секция "Математические методы исследования").

Статистика объектов нечисловой природы.С 1970-х годов все большее значение приобретает область статистических методов, посвященная анализу статистических данных нечисловой природы, т.е. результатов измерений по качественным и разнотипным признакам; бинарных отношений (ранжировок, разбиений (классификаций), толерантностей и др.); результатов парных сравнений; векторов из 0 и 1 (люсианов); множеств, нечетких множеств; текстов; как обобщение - элементов пространств произвольной природы, в которых нет линейной структуры, но есть метрика или показатель различия [4]. Сводка основных подходов и результатов статистики объектов нечисловой природы, или статистики нечисловых данных, дана в монографиях [4, 7, 40, 41], сборнике статей [42].

Большое значение для развития статистики объектов нечисловой природы в России имела монография Дж. Кемени и Дж.Снелла [18] и работы по теории измерений [43, 44]. В применении к теории средних удалось установить вид средних величин, адекватных тем или иным шкалам измерения [7], что имеет отношение также к социально-политическим исследованиям, в частности, к теории рейтингов. Теория измерений применялась в социологии (Ю.Н.Толстова) и других областях (подробнее см. главу 2.1 выше).

Одно из основных применений статистики объектов нечисловой природы - теория и практика экспертных оценок, связанные с теорией статистических решений [45-47] и проблемами голосования.

Большое значение придается различным способам описания неопределенности. Традиционное вероятностно-статистическое описание с интуитивной точки зрения применимо лишь к массовым событиям. Для единичных событий целесообразно применять теорию субъективных вероятностей и теорию нечетких множеств (fuzzy sets). которая развивалась ее основателем Л.Заде для описания суждений человека, для которого переход от "принадлежности" к множеству к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен. Первой монографией российского автора по теории нечеткости была книга А.И.Орлова [41]. По теории нечеткости сейчас уже имеется большое число публикаций. Давно обсуждаются связи между теорией нечеткости и теорией вероятностей. В [7] доказано, что теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств, однако эта связь носит, возможно, чисто теоретический характер.

В 1980-е годы стала развиваться интервальная статистика [4, 48, 49] - часть статистики нечетких данных, в которой функция принадлежности, описывающая размытость, принимает значение 1 на некотором интервале, а вне его - значение 0. Другими словами, исходные данные, в том числе элементы выборки - не числа, а интервалы. Интервальная статистика тем самым связана с интервальной математикой, в частности, с интервальной оптимизацией.

Теория конфликтных ситуаций (теория игр).Теория игр (более подходящее название - теория конфликта, или теория конфликтных ситуаций) зародилась как теория рационального поведения двух игроков с противоположными интересами. Она наиболее проста, когда каждый из них стремится минимизировать свой средний проигрыш, т.е. максимизировать свой средний выигрыш. Отсюда ясно, что теория игр склонна излишне упрощать реальное поведение в ситуации конфликта. Участники конфликта могут оценивать свой риск по иным критериям. В случае нескольких игроков возможны коалиции. Большое значение имеет устойчивость точек равновесия и коалиций.

В экономике еще 150 лет назад теория дуополии (конкуренции двух фирм) О.Курно была развита на основе соображений, которые мы сейчас относим к теории игр. Новый толчок дан классической монографией Дж. фон Неймана и О.Моргенштейна [20], вышедшей вскоре после второй мировой войны. В учебниках по экономике обычно разбирается "дилемма заключенного" и точка равновесия по Нэшу (ему присуждена Нобелевская премия по экономике за 1994 г.).

По теории игр имеется обширная литература, часть из которой непосредственно адресована экономистам. Однако в практической работе теория игр почти не используется. Если же это происходит, то она обычно выступает как часть более широкого подхода, ассоциированного с терминами "принятие решений" [45, 46], "конфликтная ситуация" [50].

Критика математической экономики.Второе из указанных во введении к подразделу направлений экономико-математического моделирования, т.е. посвященное моделям, которые непосредственно использовать в практической работе невозможно, обычно связывается с термином "математическая экономика". О нем акад. РАН Н.Н.Моисеев писал:

"...Имеется развитое направление исследований, получившее название математической экономики. В работах, относящихся к этому направлению, изучаются свойства математических моделей, построенных на основе формализации некоторых понятий экономической науки, таких как, например, конкурентное равновесие. Используя некоторые предположения о функциональных зависимостях (например, о выпуклости функций и множеств), исследователи анализируют общие свойства моделей - доказывают теоремы о существовании экстремальных значений тех или иных параметров, изучают свойства точек равновесия, траекторий равновесного роста и т.д. Эти исследования содействовали становлению экономико-математических методов, помогали и помогают отточить математические методы, используемые в прикладных исследованиях. Однако с развитием математической экономики рассматриваемые в ней проблемы все более уходили от экономической реальности и становились чисто математическими. В результате этого в настоящее время математическая экономика представляет собой своеобразный раздел математики, изучающий математические конструкции, которые лишь с большой степенью произвола можно назвать экономическими моделями..." (из предисловия к учебному пособию А.В. Лотова "Введение в экономико-математическое моделирование" [16, с.6]).

В чем причины отмеченных акад. Н.Н.Моисеевым недостатков в развитии математической экономики? Одна из них такова. В теоретическую и практическую экономику устремилось большое число людей из других сфер деятельности, которые хотят получать деньги как экономисты, но не хотят становиться ими по существу. В частности, большой вред наносят математики, выдающие себя за экономистов. Чтобы подтвердить свои претензии, они используют экономические термины для обозначения математических понятий, а затем доказывают свои любимые теоремы и требуют того же от студентов, а также добиваются финансирования, заявляя о своих достижениях в экономической науке. Беда, однако, в том, что эти теоремы не нужны для практической деятельности экономистов. Однако это не волнует математиков, выдающих себя за экономистов, как не волнуют и растрата денег налогоплательщиков и спонсоров, и судьбы студентов, которые потратят годы учебы на схоластику, никому не нужную.

Математическую экономику, т.е. математику, выраженную в псевдоэкономических терминах, мы вслед за акад. Н.Н.Моисеевым квалифицируем как псевдонауку. В то же время необходимо подчеркнуть, что методы математического моделирования реальных экономических явлений и процессов, разумеется, полезны и необходимы, в частности, для успешной работы менеджеров, экономистов и инженеров, как на предприятиях, так и на государственной службе. Но нужны только те математические результаты, которые помогают экономисту в работе, в частности, методы теории принятия решений, эконометрики, прикладной математической статистики, экспертных оценок (в частности, сценарный метод).

Нельзя не согласиться с тем очевидным утверждением, что некоторые теоретические работы, которые в настоящее время не удается связать с практикой, в будущем могут оказаться полезными для решения реальных задач. Лучший пример - история ядерной физики. Однако нельзя не указать на многочисленные монографии и сборники статей, в которых чисто математические рассуждения даны «под экономическим соусом».

Неправильное использование экономико-математических моделей.Экономико-математические модели иногда используются в качестве "дымовой завесы" для пропаганды сомнительных с научной точки зрения воззрений. В качестве примера рассмотрим некоторые западные курсы "экономикс".

Они построены, естественно, на обобщении западной экономической жизни. Так, потребитель предполагается совершенно рациональным, точно знающим, что он хочет максимизировать (т.е. знающим свою функцию полезности), а также полностью игнорирующим всех остальных потребителей, действующим совершенно самостоятельно. Общество состоит из эгоистичных индивидуумов-атомов, отстаивающих только свои интересы, т.е. живущих по принципу "человек человеку - волк". Законы правового государства удерживают такое общество от самоуничтожения.

Возможно, такая экономико-математическая модель годится для жителей западных стран, прежде всего США. Бесспорно совершенно, что она не годится для нас, для русских. Мы плохо знаем, что нам нужно, действуем под влиянием друзей, общественного мнения, моды, привыкли жить в коллективе, общине, семье, говорим о соборности, игнорируем экономические стимулы. Несмотря на снижение реальных доходов в несколько раз, пока нет бунтов. Хотя предприятия стоят, работники не уходят, а менеджеры (директора) их не увольняют. Сейчас зарплата профессора меньше зарплаты уборщицы в метро и в несколько раз меньше дохода продавца коммерческого киоска. Но, вопреки западным экономическим теориям, профессора не рвутся в продавцы. И рабочие выпускают продукцию, не получая зарплату. И потому Россия жива. Западные экономические теории не годятся не только для России. Они не подходят для исламских стран, для Индии и Китая, и т.д.

В некоторых публикациях с помощью экономико-математических моделей сознательно вводят читателей в заблуждение. В качестве примера возьмем учебник Р. Лэйарда [14]. В нем "доказывается", что "инфляционный налог" равен дефициту бюджета. Отсюда рекомендация - для снижения инфляции необходимо ограничивать поступление новых денежных масс в оборот (например, не выдавать зарплату). Однако это утверждение выводится в предположении, что суммарный выпуск постоянен, чего нет у нас - объем производства падает. При этом Р. Лэйарда отнюдь не смущает, что в другой главе, говоря о "мультипликаторе Кейнса", он рекомендует увеличивать государственные расходы в период спада производства.

Принципиально ошибочно рассмотрение Р. Лэйардом спирали "заработная плата - цены", основанное на математической ошибке (функция принимается за константу). Но вывод каков: чтобы снизить инфляцию, надо, якобы, увеличить безработицу!

Перечень примеров ошибочных рассуждений можно продолжать сколь угодно долго. И не так уж важно, являются ли ошибки следствием некомпетентности авторов или же сознательно ориентированы на "промывку мозгов" в интересах мирового капитала. Важно то, что эти ошибки дискредитируют применение экономико-математических моделей. С подобными ошибками надо бороться. Но это не так легко - требуется глубоко вникать в тексты. Следовательно, необходима организация соответствующих научно-исследовательских проектов.

Необходимо отметить, что название "Математическая экономика" носят и некоторые публикации, лишенные указанных выше недостатков, например, отличный учебник К.Ланкастера [51].

А.И. Орлов
Теория принятия решений
Учебное пособие. - М.: Издательство "Март", 2004.