Интервальная оценка генеральной средней нормально распределенной генеральной совокупности

Пусть - независимая повторная выборка объема из генеральной совокупности с нормальным распределением вероятностей .

Доверительный интервал для математического ожидания (генеральной средней) при известной дисперсии

Выбирается функция , имеющая распределение .

Следовательно, , где - функция Лапласа, т.е. функция распределения случайной величины не зависит от параметра .

Полагается, что .

Находятся и - квантили распределения уровней соответственно и :

; .

Из соотношения

вытекает, что

; .

Таким образом,

.

Поскольку - нечетная функция, то

.

Итак,

,

т.е. при известной дисперсии интервальная оценка математического ожидания заданной надежности представима в виде следующего двойного неравенства:

.

или (в других обозначениях)

.

Значение квантили может быть найдено:

Ø или по статистической таблице 1 (Значения функции Лапласа , где имеет стандартное нормальное распределение), исходя из соотношения:

,

Ø или с помощью встроенной в Microsoft Excel статистической функции НОРМСТОБР(вероятность):

= НОРМСТОБР( ).

Точность оценки .

Доверительный интервал для математического ожидания (генеральной средней) при неизвестной дисперсии

Используется функция , где - несмещенная оценка при неизвестном .

Выбранная функция имеет не зависящее от параметра распределениеСтьюдента счисломстепеней свободы, равным .

Обозначим символами , квантили t-распределения уровней , , соответствующие надежности и числу степеней свободы, равному .

Неравенство выполняется с вероятностью , следовательно,

.

РаспределениеСтьюдента симметрично, следовательно,

.

Таким образом, при неизвестной дисперсии интервальная оценка математического ожидания определенной надежности имеет вид:

;

эквивалентная форма:

.

В других обозначениях (краткая запись)

;

эквивалентная форма:

.

Значение квантили может быть найдено:

Ø или по статистической таблице 2 (Значения функции , где случайная величина распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы, равным ) на основании уравнения:

,

Ø или с помощью встроенной в Microsoft Excel статистической функции СТЬЮДРАСПОБР(вероятность;степени_свободы), определяющей по значению вероятности значение квантили уровня для распределения Стьюдента с числом степеней свободы, равным :

=СТЬЮДРАСПОБР( ; ).

Точность оценки .

Замечание

Как в случае известной, так и неизвестной дисперсии выборочное среднее является серединой доверительного интервала для математического ожидания . Длина интервала стремится к нулю при неограниченном увеличении объема выборки .

содержание