Закон переносу кількості руху

Рівняння , що описується цим законом є узагальненням 2-го закону Ньютона для суцільного середовища. Його можна записати як і для лінійних так і для нелінійних законів фільтрації. Запишемо рівняння переносу кількості руху для лінійного закону фільтрації(Дарсі).

;

Об’ємна витрата рідини через породу прямо пропорційна втраті напору рідини на відстані і плоці фільтрації .

;

;

,

z - геометрична висота положення по відношенню до деякої точки;

- п’єзометрична висота положення по відношенню до деякої точки.

,

- зведений тиск (дальше в системі використовуємо тільки зведений тиск)

.

Знайдемо границю:

;

;

;

= _x i+ _y j+ _z k;

;

;

;

.

Ці рівняння властиві тільки для ізотропного середовища, тобто середовища, у якого фізичні властивості у всіх напрямках однакові. Для анізотропного середовища вектори не збігаються за напрямками .

Контрольні запитання

1) Виведемо рівняння нерозривності.

2) Виведемо рівняння переносу кількості руху.

Рівняння Ейлера стосовно до рідин , що рухаються виражає другий закон Ньютона згідно якого зміна кількості руху пропорційна силі , що викликає рух і діє в напрямку дії цієї сили

Рівняння Жуковського базується на рівнянні Ейлера з врахуванням сили опору потоку, що виникає при взаємодії рідини зі скелетом породи

Рівняння збереження енергії

Енергія – загальна кількісна міра руху і взаємодії всіх видів матерії. Енергія не виникає з нічого , а тільки переходить з однієї форми в іншу. Рівняння збереження енергії є наслідком одного з основних законів природи:енергія зберігається в ізольованій системі і може переходити з однієї форми в іншу при збереженні її кількості. Якщо система неізольовано , то її енергія може змінюватися: при одночасній зміні енергії навколишніх тіл на ту ж величину; при зміні енергії взаємодії з навколишніми тілами , або за рахунок зміни енергії взаємодії самих тіл на ту ж величину.

Для введення рівняння збереження енергії виділимо в поровому просторі деякий елементарний об’єм .

Зміна енергії dE деякого порового об’єму дорівнює роботі зовнішніх сил dA і притоку (відтоку) певної кількості теплоти dQ.

dE=dA+dQ;

;

,

де K- емпіричний коефіцієнт;

- термічна температура;

T- температура в системі.

Рівняння стану

Рівняння стану використовується для спрощення диференціальних рівнянь. При русі суцільного середовища спостерігається зміна параметрів стану (Р, Т), що впливає на фізичні властивості як самого середовища так і пластового флюїду, що його насичує.

a=a(T,P)

=m- коефіцієнт об’ємного розширення скелету.

- коеф. об’ємної пружності середовища

Крайові умови

Призначені забезпечувати існування і єдність розв’язку. Кількість крайових умов визначається типом диференціального рівняння, а їх вигляд: умовами на границях пластових систем і початковим станом.

Початкові умови – задаються у випадку , коли розглядається нестаціонарно задача, їх кількість рівна порядку похідної по часу шуканої функції.

Р(r=0)=P_m.

Граничні умови – як правило задаються на границі пласта (покрівля, підошва). З математичної точки зору граничні умови задають характер зміни в часі шуканої функції на границі S деякої області D. Існують різні способи задання граничних умов.

Статично на границі S задаються відповідні поверхневі сили.

Кінематично на границі S задаються швидкості точок, що умовно описують фільтраційний рух .

Змішано на одних ділянках статично, на цілих кінематично.

В задачах руху рідин і газів використовують змішані граничні умови.

Граничні умови поділяють на 1-го і 2-го роду.

1-го роду – це значення самої функції на границі пласта P_n=P_o

2-го роду- це значення похідної шуканої функції на границі пласта .

Контрольні запитання

1) Рівняння нерозривності фільтраційного потоку.

2) Рівняння переносу кількості руху.

3) Вивід лінійного закону Дарсі.

4) Рівняння збереження енергії.

5) Рівняння стану.

6) Поняття початкових і граничних умов.

7) Принципи моделювання пластових систем.

Лекція 4