До практичних занять і виконання розрахунково-графічного завдання з дисципліни

Міністерство освіти і науки України

Харківська національна академія міського господарства

К.А. Мамонов

Методичні вказівки

до практичних занять і виконання розрахунково-графічного завдання з дисципліни

«Економіко-математичне моделювання»

(для студентів денної форми навчання спеціальності 6.030509 «Облік і аудит»)

Харків ХНАМГ-2008

Методичні вказівки до практичних занять і виконання розрахунково-графічного завдання з дисципліни “Економіко-математичне моделювання” (для студентів денної форми навчання спеціальності 6.030509 «Облік і аудит»). Укл. Доля В.Т., Мамонов К.А. – Харків: ХНАМГ, 2008 – 70 с.

Укладач: В.Т. Доля

К.А. Мамонов

Рецензент: В.В. Димченко

ЗМІСТ

Вступ
Зміст практичних занять
Заняття 1. Тема 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки
Заняття 2, 3. Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі
Заняття 4, 5, 6. Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування
Заняття 7, 8. Тема 4. Теорія достовірності та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач
Заняття 9, 10. Тема 5. Цілочислове програмування
Заняття 11, 12. Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
Заняття 13. Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці
Заняття 14. Тема 8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику
Заняття 15-23. Тема 9. Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія. Тема 10. Лінійні моделі множинної регресії. Тема 11. Узагальнені економетричні моделі. Тема 12. Економетричні моделі динаміки
Методичні вказівки до виконання розрахунково-графічного завдання
Виконання розрахунково-графічного завдання
Список використаної літератури

ВСТУП

У сучасних економічних програмах підготовки бакалаврів з обліку і аудиту курс “Економіко-математичне моделювання” займає одно з ключових місць. Вивчення цього курсу дає можливість засвоїти інструментарій для оцінки економічних процесів, встановлення причинно-наслідкого зв’язку між показниками, розробки прогнозу діяльності підприємства, побудувати моделі, кількісно визначити виробничо-господарські аспекти діяльності суб’єктів господарювання. Без використання методів економіко-математичного моделювання неможливо добитися успіху в таких сферах, як банківська справа, фінанси, бізнес. Особливо слід відзначити важливість економіко-математичного моделювання для фінансових менеджерів, які приймають оперативні й стратегічні рішення і є, по суті, спеціалістами з обліку і аудиту. Встановлення достовірних причинно-наслідкових зв’язків дозволяє не тільки констатувати факт наявності економічних зв’язків і зміни показників в тому чи іншому напрямку, а й розробити управлінські дії щодо негативних явищ і побудувати моделі й прогнози стратегічного розвитку підприємства.

Слід зазначити, що в практичній діяльності вітчизняних підприємств економіко-математичне моделювання не здобуло широкого використання. Тому, на нашу думку, відсутність системного підходу до використання методів економіко-математичного моделювання, недооцінка їх важливості призвели до того, що більшість вітчизняних підприємств не можуть не тільки стабілізувати свою діяльність, але й продовжують “згасати”.

Предметом вивчення дисципліні є методологія та інструментарій побудови і розв’язування детермінованих оптимізаційних задач.

Метою курсу єформування системи знань з методології та інструментарію побудови і використання різних типів економіко-математичних моделей.

У структуру курсу включено 12 тем. Основний зміст їх полягає у визначенні концептуальних аспектів математичного моделювання економіки, оптимізаційних економіко-математичних моделей, у формуванні і вирішенні задач лінійного програмування, у визначенні аспектів цілочислового програмування і формуванні нелінійних оптимізаційних моделей економічних систем, в оцінці і управлінні ризиком в економіці, в економетричному моделюванні.

Перелік практичних занять і тем для студентів денної форми навчання спеціальності 6.030509 «Облік і аудит» представлено в табл. 1.1.

Таблиця 1.1 - Практичні заняття для студентів денної форми навчання спеціальності 6.030509 «Облік і аудит»

Зміст	Кількість годин за спеціальностями, спеціалізаціями (шифр, абревіатура)
6.030509 ОіА
1.Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки
2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі
3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування
4. Теорія достовірності та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач
5. Цілочислове програмування
6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
7. Аналіз та управління ризиком в економіці
8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику
9. Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія
10. Лінійні моделі множинної регресії
11. Узагальнені економетричні моделі
12. Економетричні моделі динаміки
Разом

ЗМІСТ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

Заняття 1

Тема 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки (2 год.)

Питання для розгляду:

1. Що таке економіко-математичне моделювання?

2. Назвіть етапи розвитку економіко-математичного моделювання?

3. Визначте поняття «Модель» і які види моделей Ви можете назвати.

4. Назвіть основні етапи моделювання?

5. Які види явищ Ви знаєте?

6. Визначте випадкову величину і її числову характеристику?

7. Назвіть і охарактеризуйте закони розподілу випадкової величини?

8. Як перевіряють статистичні гіпотези?

9. Назвіть етапи попередньої обробки інформації?

Практичні завдання:

Завдання 1.Встановити, при якому обсязі спостережень n вибірка є генеральною сукупністю, якщо Р=0,95 або 95%, ε=0,85 і σу=4,56?

Вирішення

Р=2Φ(ţ_α)=0,95 або Ф(ţ_α)= за нормованою інтегральною функцією Лапласа знаходимо ţ_α=1,96_. Звідси

спостережень

Завдання 2.Є вибірка обсягом n=150 спостережень. Середнє значення по вибірці =12,86; середнє квадратичне відхилення σ_у²=6,24; рівень значущості α =0,05; максимальне значення ознаки y_max =32,64, що вивчається; мінімальне – y_min =3,42. Визначити можливість використання в подальших дослідженнях y_max і y_min.

Вирішення

При заданому рівні , ţ_α =3,366.

Допустимий інтервал дорівнює

Всі спостереження можуть бути використані при подальшій обробці.

Завдання 3.По двох об’єктах зібрана інформація з наступними кількісними характеристиками: n₁=54; n₂=56; ₁=16,13; ₂=13,5; σ_y1²=65,3; σ_y2²=57,9. Визначте рівень значимості при формуванні гіпотези про однорідність сукупності вибіркових даних.

Вирішення

Визначаємо t_ij(max) для y₁ і y₂:

Звідси Р=2Φ(1,76)=0,92 або 92%.

Гіпотеза про однорідність сукупності вибіркових даних затверджується з рівнем значущості α =0,08 або 8%.

Завдання 4.Визначити закон розподілу витрат часу проходження рухомим складом маршруту між двома зупинками (хвил.) при n=180 спостережень і y_min=0,70, y_max1,57 хв. Розмір інтервалу складає 0,1. Побудуйте гістограму і полігон розподілу. Розрахуйте показники нормального закону розподілу.

Вирішення

Рис.1.1. Гістограма розподілу

Рис. 1.2. Гістограма і полігон розподілу

На підставі даних, представлених в табл. 1.1, отримуємо:

;

1)

;

2)

χ²_рас<χ²_табл. 5%.

Таким чином, теоретична крива розподілу зіставляється з емпіричним розподілом, що свідчить про наявність нормального розподілу.

Інтервал ∆y

Сере-днє зна-чення інтер-валу

Часто-та

Відносна частота

Умовні варіанти

Розра-хунок серед-нього значен-ня

Розрахунок дисперсії

Значення в стандарти-зованому масштабі

Значен-ня дифе-ренціа-льної функції

Емпірич-ні розраху-нки

Ординати теоретич-ного розподілу

Розрахун-кові частоти

yk-1-yk

ycp

mi

mi/n

Y’cp

miy’cp

f(t)

mi=yn∙n∆y

0,7 – 0,8 0,8 – 0,9 0,9 – 1,0 1,0 – 1,1 1,1 – 1,2 1,2 – 1,3 1,3 – 1,4 1,4 – 1,5 1,5 – 1,6

0,75   0,85   0,95   1,05   1,15   1,25   1,35   1,45   1,55

0,017   0,072   0,167   0,222   0,228   0,172   0,089   0,028   0,005

-4   -3   -2   -1

-12 -39   -60   -40

39,3132   89,2372   78,7320   15,3760     59,0364   90,6304   57,1220   19,1844

2,26   1,63   1,00   0,38   0,25   0,88   1,50   2,13   2,75

0,031   0,1057   0,2420   0,3712   0,3867   0,2709   0,1295   0,0413   0,0091

0,17   0,72   1,67   2,22   2,28   1,72   0,89   0,28   0,05

0,195   0,665   1,522   2,385   2,432   1,704   0,817   0,259   0,057

3,36   11,90   27,40   42,03   43,7   30,7   14,7   4,66   1,03

Таблиця 1.1 - Розрахунок показників нормального закону розподілу

Література:5, 13, 14, 22, 23, 24, 26, 27, 37, 38, 39, 40, 49, 53, 61, 63, 64, 65, 67, 70, 72, 74, 78, 79, 80.

Заняття 2, 3

Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі (4 год.)

Питання для розгляду:

1. Охарактеризуйте оптимізаційні моделі і назвіть їх види.

2. В чому полягають задачі умовної і безумовної оптимізації. Охарактеризуйте ці задачі.

3. Які методи використовуються для вирішення задач умовної і безумовної оптимізації і в чому вони полягають.

4. В чому полягають економіко-математичні моделі оптимізації випуску продукції, розподілу фінансових ресурсів по оптимізації зростання потужностей підприємства, розподілу капітальних вкладень по проектам.

Завдання 1. Задача про найкраще використання ресурсів. Хай деяка виробнича одиниця (цех, завод, об’єднання і т. п.), виходячи з кон'юнктури ринку, технічних або технологічних можливостей і наявності ресурсів, може випускати n різних видів продукції (товарів), відомих під номерами, які позначаються індексом j . Її позначатимемо .

Підприємстві при виробництві цих видів продукції необхідно обмежиться наявними видами ресурсів, технологій, інших виробничих чинників (сировини, напівфабрикатів, робочої сили, устаткування, електроенергії і т. п.). Всі ці види обмежуючих називаються називають інгредієнтами . Хай їх число дорівнює m; припишемо їм індекс i . Вони обмежені, і їх кількість дорівнює відповідно умовних одиниць. Таким чином, - вектор ресурсів.

Відома економічна вигода (міра корисності) виробництва продукції кожного вигляду, розрахована, скажімо, за відпускною ціною товару, його прибутковістю, витратами виробництва, ступенем задоволення потреб і т.п. Визначимо цю міру, наприклад, ціну реалізації , тобто - вектор ціни. Відомі також технологічні коефіцієнти , які вказують, скільки одиниць i-го ресурсу необхідно для виробництва одиниці продукції j-го виду.

Матрицю коефіцієнтів називають технологічною і визначають буквою А. Маємо . Позначимо через план виробництва, що показує, які види товарів потрібно виробляти і в яких кількостях, щоб забезпечити підприємству максимум об'єму реалізації при тих, що є ре­сурсах.

Оскільки - ціна реалізації одиниці j'-й продукції, ціна реалізованих одиниць буде дорівнювати , а загальний об'єм реалізації .

Цей співвідношення - цільова функція, яку потрібне мак­симізувати.

Оскільки - витрати i-го ресурсу на виробництво одиниць j-й продукції, то, підсумувавши витрату i-го ресурсу на випуск всіх n видів продукції, отримаємо загальну витрату цього ресурсу, який не повинен перевищувати одиниць:

. (2.1)

Щоб план був реалізований, разом з обмеженнями на ресурси потрібно накласти умову позитивності на об'єми випуску продукції:

. (2.2)

Таким чином, модель задачі про найкраще використання ресурсів має вигляд:

(2.3)

при обмеженнях:

(2.4)

(2.5)

Оскільки змінні входять у функцію і систему обмежень тільки в першому ступені, а показники є постійними в плановий період, то співвідношення (1.3)-(1.5) - задача лінійного програмування.

Задача 2. Задача на визначення оптимального плану виробництва або реалізації продукції при забезпеченні максимального результату.Фірма - булочно-кондитерський комбінат (БКК) випускає наступні види продукції, перераховані в табл. 2.1

Таблиця 2.1 - Види продукції

Номер продукції j
Найменування продукції	булки	тістечка	ватрушки	коржики	слойки

Для випуску цих видів продукції необхідні ресурси, які представлені в табл. 2.2 де також вказана кількість кожного виду ресурсу, що є на складі БКК.

Таблиця 2.2 - Види і кількість ресурсу для випуску продукції

Номер ресурсу i
Найменування ресурсу	мука	цукор	масло	сир	яйця
Кількість ресурсу	200 кг	50кг	50 кг	50 кг	500 шт.

В табл. 2.3 наведена рецептура, тобто необхідна кількість кожного виду ресурсу для вироблення кожного виду продукції.

Таблиця 2.3 - Кількість кожного виду ресурсу для вироблення кожного виду продукції

Продукція j Ресурси i	Булка	Тістечка	Ватрушка	Коржик	Слойка
1 Мука, кг	0,1	0,04	0,08	0,06	0,05
2 Цукор, кг	0,01	0,05	0,02	0,04	0,03
3 Масло, кг		0,05	0,01	0,02	0,02
4 Сир, кг			0,05	0,02	0,03
5 Яйця, шт.	0,1	0,2	0,2	0,2	0,3

В табл. 2.4 наведена відпускна ціна на одиницю кожного виду продукції.

Таблиця 2.4 – Відпускна ціна на одиницю кожного виду продукції

Вид продукції j	Булка	Тістечка	3 Ватрушка	Коржик	5 Слойка
Відпускна ціна на од. продукції Сj , грн.	0,84	3,2	1,6	1,5	2,1

Фірмі необхідно визначити такий оптимальний план випуску кожного виду продукції: чого і в якій кількості приготувати, щоб при тих, що є в БКК ресурсах отримати максимальний дохід від реалізації, тобто максимізувати наступну цільову функцію:

(2.6)

де Cj - ціна одиниці j - го виду продукції

xj - кількість виробленого j - го виду продукції.

Обмеження на ресурси задаються системою:

(2.7)

де a_ij - кількість i - го ресурсу для виробництва одиниці j - виду продукції (табл. 2.2)

b_i - кількість i - го виду ресурсу (табл. 2.1).

Завдання для самоконтролю:

1. Встановити, при якому обсязі спостережень n вибірка є генеральною сукупністю, якщо Р=0,95 або 95%, =0,80 і =4,18?

2. Є вибірка обсягом n=100 спостережень. Середнє значення по вибірці = 10,12; середнє квадратичне відхилення =5,12; рівень значущості =0,05; максимальне значення ознаки у_mах=26,16; мінімальне - у_mіn=3,09. Визначити можливість використання в подальших дослідженнях у_mах і у_mіn.

3. По двох об'єктах зібрана інформація з наступними кількісними характеристиками: n₁=45; n₂=46; ₁=15,17; ₂=12,5; σ_y1²=61,4; σ_y2²=55,6. Визначте рівень значимості при формуванні гіпотези про однорідність сукупності вибіркових даних.

4. Визначити закон розподілу витрат часу проходження рухомим складом маршруту між двома зупинками (хвил.) при n=190 спостережень і y_min=0,50 хв., y_max=1,46 хв. Розмір інтервалу складає 0,1. Побудуйте гістограму і полігон розподілу. Розрахуйте показники нормального закону розподілу.

5. Знайдіть екстремум функції випуску продукції у вигляді у = f(x) аналітичним методом.

6. Знайдіть екстремум функції у = х₁ + х₂ за умови х₁ + х₂ - 1 = 0 або розв’яжіть задачу на умовний екстремум методом Лагранжа.

Література:4,5, 12, 16, 23, 26, 37, 40, 61, 63.

Заняття 4, 5, 6

Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування (6 год)

Питання для розгляду:

1. В чому сутність задач лінійного програмування?

2. Які особливості задач лінійного програмування Ви можете виділити?

3. Розкрийте сутність симплексного методу?

4. Розкрийте алгоритм використання симплексного методу при вирішенні задач лінійного програмування.

5. Які методи використовуються при вирішенні задач лінійного програмування.

6. Розкрийте змістовну постановку транспортної задачі.

7. Сформулюйте математичну модель транспортної задачі?

8. Встановіть особливості вирішення закритої транспортної задачі.

9. Охарактеризуйте алгоритм визначення початкового опорного плану в транспортній задачі методом північно-західного кута.

10. Визначте напрями формування оптимального опорного плану транспортної задачі?

11. Назвіть види транспортних задач і охарактеризуйте їх.

Задача 1.Фірма виробляє дві моделі А і В збірних книжкових полиць. Їх виробництво обмежено наявністю сировини (високоякісних дощок) і часом машинної обробки. Для кожного виробу моделі А потрібен 3 м² дощок, а для моделі В - 4 м². Фірма може одержувати від своїх постачальників до 1700 м² дощок в тиждень. Для кожного виробу моделі А потрібно 12 хв. машинного часу, а для виробу моделі В - 30 хв. В тиждень можна використовувати 160 годин машинного часу. Скільки виробів кожної моделі слід випускати фірмі в тиждень, якщо кожний вироб моделі А приносить 2 грн. прибутку, а кожний виріб моделі В - 4 грн. прибутку?

Вирішення

Побудова математичної моделі.

Хай x₁ - кількість випущених за тиждень полиць моделі А, а x₂ - кількість випущених полиць моделі В.

Тоді: 3x₁ - кількість дощок, що необхідно на тиждень для виготовлення полиць моделі А

4x₂- кількість дощок, що необхідно на тиждень для виготовлення полиць моделі В

3x₁ + 4x₂- кількість дощок що вимагаються на тиждень для виготовлення книжкових полиць двох моделей, а за умовами задачі це число не повинно перевищувати 1700 м², отже, одержуємо перше обмеження:

3x₁+ 4x₂<=1700 (1)

Знайдемо обмеження на використання машинного часу.

12 хв. складають 0,2 години, а 30 хв. - 0,5 години, таким чином:

0,2x₁ - кількість часу, що вимагається на тиждень для виробництва полиць моделі А;

0,5x₂ - кількість часу, що вимагається на тиждень для виробництва полиць моделі В;

0,2x₁ + 0,5x₂ - кількість часу, що необхідно на тиждень для виробництва двох моделей, а по умові задачі це число не повинно перевищувати 160 годин, отже, одержуємо друге обмеження:

0,2x₁ + 0,5x₂<=160 або 2x₁ + 5x₂<=1600 (2)

Крім того, оскільки x₁ і x₂ виражають щотижневий обсяг виробів, що випускаються, то вони не можуть бути негативними, тобто

x₁>=0, x₂>=0 (3)

Ця задача полягає в тому, щоб знайти такі значення x₁ і x₂, при яких щотижневий прибуток буде максимальним. Складемо вираз для щотижневого прибутку:

2x₁ - щотижневий прибуток, який одержаний від продажу полиць моделі А.

4x₂ - щотижневий прибуток, який одержаний від продажу полиць моделі В

Тоді F=2x₁ + 4x₂ - щотижневий прибуток, який повинен бути максимальним. Таким чином, маємо наступну математичну модель для даної задачі.

F=2x₁ + 4x₂->max

Отримана модель є задачею лінійного програмування. Функція F - це цільова функція, вона є лінійною функцією своїх змінних(x₁ і x₂). Обмеження на ці змінні (1) і (2) теж є лінійними. Виконана умова позитивності для змінних x₁ і x₂.

Необхідно знайти значення змінних x₁ і x₂, при яких дана функція F приймає максимальне значення, при дотриманні обмежень, що накладаються на ці змінні.

Рішення, що задовольняють системі обмежень і вимогою позитивності, є допустимими, а рішення, що задовольняють одночасно і вимогою мінімізації (максимізації) функції в цілому є оптимальними.

Задача 2.Три заводи, що виготовляють бетоні конструкції, постачаються цементом з чотирьох складів. Попит заводів b_j відповідно дорівнює 280, 90 і 180 тис.т/міс. Пропускна здатність складів a_i,- відповідно становить 200, 150, 80 і 120 тис.т/міс. Відстані перевезень (у км)

із і-го складу на j-й завод подані в матриці C=[c_ij]=

Потрібно скласти план перевезень цементу зі складів на заводи, що задовольняв би пропускним спроможностям складів і потребам заводу, а сумарний пробіг вантажного транспорту був би мінімальним.

Вирішення

Позначимо через x_ij - кількість цементу, який щомісяця потрібно доставляти щомісяця на j-го завод з i-го складу. Тоді математична модель задачі має вигляд:

y=x₁₁+5x₁₂+3x₁₃+6x₂₁+8x₂₂+9x₂₃+2x₃₁+7x₃₂+4x₃₃+4x₄₁+x₄₂+11x₄₃→min; (3.1)

^xijÎΩ

Ω: x₁₁+x₂₁+x₃₁+x₄₁=280; (3.2)

x₁₂+x₂₂+x₃₂+x₄₂=90; (3.3)

x₁₃+x₂₃+x₃₃+x₄₃=180; (3.4)

x₁₁+x₁₂+x₁₃=200; (3.5)

x₂₁+x₂₂+x₂₃=150; (3.6)

x₃₁+x₃₂+x₃₃=80; (3.7)

x₄₁+x₄₂+x₄₃=120; (3.8)

x_ij³0. (3.9)

Тут (3.1) - цільова функція, (3.2) - (3.4) - обмеження задачі що визначають місячні запаси цементу на складах, (3.5) - (3.8) – обмеження задачі, що визначають місячну потребу в цементі на заводах (3.9) - обмеження, що визначає неможливість негативних значень для постачань цементу на заводи.

1-й крок. 1-й етап. Використовуючи метод північно-західного кута, знайдемо опорне рішення транспортної задачі (3.1)- (3.9).

Відповідно до цього методу заповнюємо таблицю, починаючи лівого верхнього квадрата. Порівнюємо запас вантажу в першому пункті відправлення (200 тис.т/міс.) із потребою першого пункту призначення (280 тис.т/міс.). Вибираємо меншу величину (200) і записуємо її в даний квадрат. Оскільки весь запас у першому пункті відправлення вичерпаний, то з подальшого розгляду виключаємо перший рядок і переходимо в сусідню клітку, що знаходиться нижче заповненої. У новій клітці для частини таблиці, що залишилася, повторюємо процедуру заповнення верхньої лівої клітки, але з урахуванням того, що потреба першого пункту призначення зменшилася на 200 тис.т/міс. і стала рівною 80 тис.т/міс. Тобто порівнюємо запас другого пункту відправлення (150 тис.т/міс.) із новою потребою першого пункту призначення (80 тис т/міс). Вибираємо меншу величину(80) і записуємо її в нову клітку Оскільки потреба у вантажі в першому пункті призначення повністю задоволена, то з подальшого розгляду виключаємо перший стовпець і переходимо в сусідню клітку, що знаходиться справа від тільки що заповненої. Для нової верхньої лівої клітки частини таблиці, що залишилася, повторюємо процедуру заповнення з урахуванням зміни запасу в другому пункті відправлення на 50 тис.т/міс. І так доти, поки не буде заповнено m+n-2 кліток.

Остання (m+n-2)-я клітка заповнюється механічно - у неї записується залишкова потреба останнього пункту призначення або залишковий запас останнього пункту відправлення. В умовах задачі це величина 120. Усі проміжні результати по знаходженню початкового опорного плану

Х₀ = відображені в табл. 3.1. Ці результати в таблиці виділені напівжирним шрифтом.

Для початкового опорного плану обчислюємо значення цільової функції (3.2):

y₀=1х200+6х80+8х70+7х20+4х60+11х120=2940 тис.т/міс.

Це значення буде використано на наступних кроках для контролю просування до оптимуму. Значення цільової функції повинно послідовно зменшуватися з кожним кроком.

Таблиця 3.1 - Проміжні результати по знаходженню початкового опорного плану

Пункт відправ-лення	Запас вантажу	Пункт призначення	Потенціал пункту відправлення ai
Потреба
					-5
			- 20	+ 60	-4
			+	- 120	-11
Потенціал пункту призначення bi

2-й етап. Знайдений опорний план перевіряємо на оптимальність. У зв'язку з там знаходимо потенціали пунктів відправлення і призначення із системи

b₁-a₁=1, b₂-a₂=8, b₃-a₃=4,

b₁-a₂=6, b₂-a₃=7, b₃-a₄=11.

що містить шість рівнянь із сімома невідомими. Вважаючи a₁=0, знаходимо b₁=1, a₂=-5, b₂=3, a₃=-4, b₃=0, a₃=-11. Записуємо знайдені потенціали в табл.3.2.

3-й етап. Для кожної вільної клітки обчислюємо числа α_ij=β_i-α_j-c_ij: α₁₂=-2, α₁₃=-3, α₂₃=-4, α₃₁=3, α₄₁=8, α₄₂=13.

Записуємо знайдені числа у відповідні вільні клітки табл.3.2 і вміщуємо їх у рамочки, щоб відрізняти їх від іншої інформації в таблиці Тому що серед чисел α_ij є позитивні, то опорний план Х₀ не є оптимальним.

4-й етап. Серед позитивних чисел α_ij вибираємо максимальне: α₄₂=13. Для відповідної вільної клітки будуємо цикл, а саму клітку позначаємо знаком «+». У табл. 3.1 зайняті клітки, що складають цикл, виділені сірим фоном. Потім позначаємо знаками «-» і «+» по черзі інші клітки циклу, слідуючи уздовж ломаної лінії циклу.

Найменшим із чисел x_ij у «мінусових» клітках є x₃₂ (20). Дана клітка стає вільною, а інші клітки циклу змінюють свої значення в такий спосіб: Х₄₂=20, х₄₃=120-20=100, х₃₃=60+20=80.

У результаті зроблених перетворень одержуємо новий опорний план

X₁=

При такому опорному плані функція цілі (3.1) стає рівною 2680 тис.т/міс, що менше вихідного значення 2940 тис.т/міс.

На цьому закінчується 1-й крок оптимізації. На наступному кроці процедура 1-го кроку повторюється, але без 1-го етапу.

2-й крок. Аналізуємо новий опорний план (табл. 3.2) на оптимальність. Знову знаходимо потенціали пунктів відправлення і пунктів призначення, для чого складаємо таку систему рівнянь:

b₁-a₁=1, b₂-a₂=8, b₂-a₄=1,

b₁-a₂=6, b₃-a₃=4, b₃-a₄=11.

Вважаючи a₁=0, знаходимо b₁=1, a₂=-5, b₂=3,a₄=2, b₃=13, a₃=9. Для кожної вільної клітки обчислюємо числа α_ij: α₁₂=-2, α₁₃=10, α₂₃=9, α₃₁= -10, α₃₂=-13, α₄₁=-5.

Тому що серед чисел α_ij є позитивні (α₁₃=10, α₂₃=9), то опорний план X₁ не є оптимальним.

Таблиця 3.2 - Новий опорний план

Пункт відправ-лення	Запас вантажу	Пункт призначення	Потенціал пункту відправлення ai
Потреба
		- 200		+
		+ 80	- 70		-5
			+ 20	- 100
Потенціал пункту призначення bi

Серед позитивних чисел α_ij вибираємо максимальне: α₁₃=10. Для відповідної вільної клітки будуємо цикл, а саму клітку позначає знаком «+». У табл. 3.2 зайняті клітки, що складають цикл, виділені рим фоном. Потім позначаємо вузлові клітки циклу по черзі знаками «-» і «+».

Найменшим із чисел x_ij у «мінусових» клітках є х₂₃ (70). Дана клітка стає вільною, а інші клітки циклу змінюють свої значення в так спосіб: x₁₁=200-70=130, x₁₃=70, х₂₁=80+70=150, x₄₂=20+70=90, x₄₃=100-70=30.

У результаті виконаних перетворень одержуємо новий опори план

Х₂=

При такому опорному плані функція (3.1) стає рівною 1980 тис.т/міс, що значно менше попереднього значення 2680 тис.т/міс.

3-й крок. Аналізуємо новий опорний план (табл. 3.3) на оптимальність. Знову знаходимо потенціали пунктів відправлення і пунктів призначення, для чого складаємо наступну систему рівнянь:

b₁-a₁=1, b₁-a₂=6, b₂-a₄=1,

b₃-a₁=3, b₃-a₃=4, b₃-a₄=11.

Вважаючи a₁=0, знаходимо b₁=1, b₃=3, a₂=-5, b₃=4, a₃=0, a₄=-8, b₂=-7. Для кожної вільної клітки обчислюємо числа α_ij: α₁₂=-12, α₂₂=-10, α₂₃=-1, α₃₁=-1, α₃₂=-14, α₄₁=5. Оскільки серед чисел α_ij одне позитивне (α₄₁=5), то опорний план Х₂ не є оптимальним.

Таблиця 3.3 - Новий опорний план

Пункт відправ-лення	Запас вантажу	Пункт призначення	Потенціал пункту відправлення ai
Потреба
		- 130		+ 70
					-5
		+		- 30	-8
Потенціал пункту призначення bi		-7

Для відповідної вільної клітки (нижньої, лівої) будуємо цикл, а саму клітку позначаємо знаком «+». У табл. 3.3 зайняті клітки, що складають цикл, виділені сірим фоном. Потім позначаємо вузлові клітки циклу по черзі знаками «-» і «+». Найменшим із чисел x_ij у «мінусових» клітках є х₄₃ (30). Дана клітка стає вільною, а інші клітки циклу змінюють свої значення в такий спосіб: x₁₁ =130-30=100, х₁₃ =70+30=100, x₁₄=30.

У результаті зроблених перетворень одержуємо новий опорі план

Х₄=

При такому опорному плані функція (3.1) стає рівною 1830 тис.т/міс, що менше попереднього значення 1980 тис.т/міс.

4-й крок. Аналізуємо новий опорний план (табл. 3.4) на оптимальність. Знову знаходимо потенціали пунктів відправлення і пунктів призначення, для чого складаємо наступну систему рівнянь:

b₁-a₁=1, b₁-a₂=6, b₁-a₄=4,

b₃-a₁=3, b₃-a₃=4, b₂-a₄=1.

Вважаючи a₁=0, знаходимо b₁=1, b₃=3, a₂=-5, a₃=-1, a₄= -3, b₂= -2. Для кожної вільної клітки обчислюємо числа α_ij: α₁₂=-7, α₂₂=-4, α₂₃=-1, α₃₁=0, α₃₂=-8, α₄₁=-5. Тому що серед чисел α_ij і немає строго позитивних, то опорний план Х₃ є оптимальним.

Таблиця 3.4 - Новий опорний план

Пункт відправ­лення	Запас вантажу	Пункт призначення	Потенціал пункту відправлення ai
Потреба
					-5
					-1
					-3
Потенціал пункту призначення bi		-2

Література:14, 26, 29, 47, 50, 56, 61, 63, 64, 67, 80.

Заняття 7, 8

Тема 4. Теорія достовірності та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач (4 год.)

Питання для розгляду:

1. Охарактеризуйте поняття «достовірність».

2. Назвіть напрями оцінки достовірності.

3. По яким напрямам відбувається аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач.

4. Охарактеризуйте область допустимих рішень і критерій оптимальності.

5. В чому полягає інтепритація отриманих економічних результатів, отриманих на основі лінійних оптимізаційних моделей.

Задача 1.Розроблена лінійна модель виду

, (4.1)

де - індикатор розвитку (відношення нового капіталу до інвестованого капіталу);

- рівень витрат;

- рівень матеріальних запасів.

Встановіть достовірність розрахунків моделі (4.1) на основі встановленої погрішності. Вихідні статистичні дані представлених економічних показників представлено в табл. 4.1.

Таблиця 4.1 - Вихідні статистичні дані економічних показників моделі (4.1)

№ спостереження		Рв	Рз
	0,113	0,957	0,042
	0,09	-1,052	0,057
	0,092	1,047	0,052
	0,083	1,075	0,066
	0,069	1,113	0,09
	0,067	1,123	0,099
	0,069	1,118	0,094
	0,08	1,085	0,071
	0,081	1,09	0,066
	0,009	1,354	0,137
	0,016	1,33	0,127
	0,024	1,302	0,118
	0,031	1,269	0,113
	0,048	1,198	0,108
	0,05	1,193	0,104
	0,055	1,174	0,099
	0,057	1,165	0,099

Продовження табл. 4.1

	0,063	1,146	0,094
	0,063	1,141	0,094
	0,074	1,113	0,075
	0,075	1,108	0,071
	0,08	1,09	0,066
	0,082	1,08	0,061

Вирішення

Визначення оцінок індикатора розвитку та помилки розрахунків моделі (4.1) представимо в табл. 4.2

Таблиця 4.2 - Розрахунок оцінок індикатора розвитку та помилки

№ спосте-реження		Параметри моделі (4.1)	(( )’- )
0,326	-(0,212 х Рв)	-(0,08 х Рз)	( )’
	0,113	0,326	-0,203	-0,009	0,114	0,001
	0,09	0,326	-0,223	-0,012	0,091	0,001
	0,092	0,326	-0,222	-0,011	0,093	0,001
	0,083	0,326	-0,228	-0,014	0,084	0,001
	0,069	0,326	-0,236	-0,019	0,071	0,002
	0,067	0,326	-0,238	-0,021	0,067
	0,069	0,326	-0,237	-0,020	0,069
	0,08	0,326	-0,230	-0,015	0,081	0,001
	0,081	0,326	-0,231	-0,014	0,081
	0,009	0,326	-0,287	-0,029	0,01	0,001
	0,016	0,326	-0,282	-0,027	0,017	0,001
	0,024	0,326	-0,276	-0,025	0,025	0,001
	0,031	0,326	-0,269	-0,024	0,033	0,002
	0,048	0,326	-0,254	-0,023	0,049	0,001

Продовження табл. 4.2

	0,05	0,326	-0,253	-0,022	0,051	0,001
	0,055	0,326	-0,249	-0,021	0,056	0,001
	0,057	0,326	-0,247	-0,021	0,058	0,001
	0,063	0,326	-0,243	-0,020	0,063
	0,063	0,326	-0,242	-0,020	0,064	0,001
	0,074	0,326	-0,236	-0,016	0,074
	0,075	0,326	-0,235	-0,015	0,076	0,001
	0,08	0,326	-0,231	-0,014	0,081	0,001
	0,082	0,326	-0,229	-0,013	0,084	0,002
	1,471	х	х	х	1,492	0,021

В результаті розрахунків встановлено, що помилка розрахунків складає 0,021 тис. грн./тис. грн. або 2,1%. Таке значення свідчить про високий рівень достовірності розрахунків параметрів лінійної моделі, оскільки значення помилки наближається до нуля.

З теорії статистики відомо, якщо рівень помилки складає від 0 до 5%, то результати розрахунків можна вважати достовірними.

Завдання для самоконтролю:

1. Підприємство випускає протягом планового періоду 2 виду продукції столи і стільці. При їх виробництві використовуються три виду ресурсів. Дані по їх витратам на випуск одного виробу, запаси ресурсів, а також прибуток від реалізації одиниці продукції наведено в табл. 4.3.

Таблиця 4.3 - Дані по витратам на випуск одного виробу, запасів ресурсів, прибутку від реалізації одиниці продукції

	Стіл	Стільці	Запас ресурсів
Ресурс 1
Ресурс 2
Ресурс 3
Прибуток

Необхідно спланувати кількість виробляємих столів і стільців таким чином, щоб при цих умовах виробництва прибуток був максимальним.

2. Припустимо, що денний раціон тварин повинно входити поживні речовини двох видів в кількості, яка представлена в табл. 4.4. Є можливість складати раціон із кормів двох видів, для яких задано змістопоживних речовин в одиниці корму і ціні однієї одиниці кожного з видів кормів.

Таблиця 4.4 - Дані про поживні речовини і вартість кормів на підприємстві

	Корм 1	Корм 2	Поживчі речовини в раціоні
Поживна речовина 1
Поживна речовина 2
Ціна корму

При задоволенні умов по необхідному змісту поживних речовин в цьому раціоні необхідно досягти його мінімальної вартості.

3. Фірма виробляє дві моделі А і В збірних книжкових полиць. Їх виробництво обмежено наявністю сировини (високоякісних дощок) і часом машинної обробки. Для кожного виробу моделі А потрібен 2 м² дощок, а для моделі В - 5 м². Фірма може одержувати від своїх постачальників до 1300 м² дощок в тиждень. Для кожного виробу моделі А потрібно 15 хв. машинного часу, а для виробу моделі В - 30 хв. В тиждень можна використовувати 180 годин машинного часу. Скільки виробів кожної моделі слід випускати фірмі в тиждень, якщо кожний вироб моделі А приносить 4 грн. прибутку, а кожний виріб моделі В - 2 грн. прибутку?

4. Скласти оптимальний план перевезень цегли між трьома заводами і п’ятьма об’єктами будівництва, якщо відстані (в км) між заводами і об’єктами будівництва визначаються матрицею

,

Відомі потужності заводів і об’єктів будівництва.

Дані про потужність заводів і об’єктів будівництва студентом вибираються із табл. 4.5 і табл. 5.6 відповідно до його варіанту. Варіант вибирається за останньою цифрою номеру залікової книжки студента.

Таблиця 4.5 - Потужність цеглових заводів (тис.шт. за добу)

№ заводу	Варіант
	3,4	3,0	4,2	3,1	1,9	0,9	1,0	2,5	3,3	1,8
	2,3	1,5	1,3	4,2	2,6	4,3	3,1	3,5	3,9	4,3
	2,8	4,0	3,0	1,2	4,0	3,3	4,4	2,5	1,3	2,4

Таблиця 4.6 - Потужність об’єктів будівництва (тис.шт. за добу)

№ об’єктів будівництва	Варіант
	1,5	0,9	1,1	1,0	2,7	2,1	1,2	2,5	2,8	1,3
	1,6	2,5	1,3	3,0	1,5	2,3	1,9	2,0	1,9	0,6
	2,1	3,0	2,2	0,6	1,0	1,4	1,8	1,7	1,1	2,4
	1,7	0,7	3,1	1,9	3,0	1,2	1,5	0,9	0,7	3,0
	1,6	1,4	0,8	2,0	0,3	1,5	2,1	1,4	2,0	1,2

5. Скласти оптимальний план забудови мікрорайону міста, якщо відомо, що він повинен забудовуватися житловими будинками трьох серій. Характеристики житлових будинків кожної серії подані в табл. 4.7. З огляду на демографічний прогноз населення проектування мікрорайону, необхідно, щоб кількість квартир відповідала проектному завданню, що представлено в табл. 4.8.

Дані про проектну кількість квартир вибираються із табл. 4.8 відповідно до варіанту студента. Варіант визначається за останньою цифрою залікової книжки студента.

Таблиця 4.7 - Склад квартир і кошторисна вартість житлових будинків різних серій (для всіх варіантів однакові)

Характеристика житлових будинків	Серія
Кількість квартир - усього
в тому числі на двох чоловік
на трьох чоловік
на чотири чоловіки
Кошторисна вартість житлового будинку, тис. грн.

Таблиця 4.8 - Проектна кількість квартир у мікрорайону на 2, 3 і 4 чоловіки

Склад сім’ї	Варіант
2 чол.
3 чол.
4 чол.

1. Встановіть достовірність розрахунків моделі:

, (4.2)

де - коефіцієнт оборотності матеріальних запасів;

- коефіцієнт оборотності дебіторської заборгованості.

на основі встановленої погрішності. Вихідні статистичні дані визначених економічних показників представлено в табл. 4.9.

Таблиця 4.9 - Вихідні статистичні дані економічних показників моделі (4.2)