Тема 5.4. Структурные характеристики вариационного ряда распределения

Студент должен:

знать:

- структурные средние величины в статистике;

- аналитический и графический способы определения структурных средних величин;

уметь:

- анализировать структуру вариационных рядов распределения.

Мода. Медиана. Квартили, децили и перцентили. Квартильные и децильные коэффициенты.

Методические рекомендации

Вспомогательными описательными характеристиками распределения варьирующего признака являются структурные средние – мода и медиана.

Модой в статистике называется величина ряда, которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.

В дискретном ряду моду определяют по таблице, а в интервальном определяют по формуле:

где - нижняя граница модального интервала;

h – величина интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Модальным интервалом, называется интервал, имеющий наибольшую частоту.

Медианой называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда.

Для дискретного ряда распределения медиана не вычисляется, а определяется по таблице.

Для определения медианы в интервальном ряду используют формулу:

где - нижняя граница;

h – величина интервала;

- сумма частот интервалов, предшествующих медианному;

- частота медианного интервала.

Прежде чем использовать эту формулу, необходимо определить медианный интервал. Таким интервалом будет интервал, кумулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот. Кумулятивные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная с интервала с наименьшим значением признака.

Пример 1. Определим моду в дискретном ряду (табл. 10)

Таблица 10

Группы рабочих по разрядам	Число рабочих	Кумулятивные частоты
Итого

Модой в данном ряду будет группа рабочих, имеющих 3-й разряд, так как имеет наибольшую частоту – 40.

Медианой в данном ряду будет также группа рабочих 3-го разряда, так как кумулятивная частота 80 > 55 (110 : 2).

Но ее можно найти и расчетным путем. Для этого нужно сумму частот разделить пополам и к полученному результату добавить ½. Медианой будет: 110 : 2 + ½ = 55 + 0,5 = 55,5, т.е. 55-я варианта, которая делит упорядоченный ряд пополам. Глядя на кумулятивные частоты, можно сказать, что медианой будет рабочий, имеющий третий разряд. Далее рассмотрим расчет моды и медианы в интервальном ряду.

Пример 2. Имеется ряд распределения рабочих по заработной плате (табл. 11)

Таблица 11

Группа рабочих по ср.мес. зарплате, руб.	1300 – 1400	1400 – 1500	1500 – 1600	1600 – 1700	1700 – 1800
Число рабочих
Кумулятивные частоты

Модальный интервал будет 1600 – 1700, так как имеет больше всего рабочих – 60.

Модальное значение среднемесячной заработной платы:

руб.

Далее определим медиану.

Медианным будет интервал 1500 – 1600, так как в этом интервале находится серединная варианта (210 : 2 + ½ = 105 + 0,5 = 105,5).

руб.

Таким образом, наибольшее количество рабочих получает заработную плату в размере 1616,7 руб., но при этом более половины работников имеют среднемесячную заработную плату – 1581,8 руб.

Дополнительно к медиане для характеристики структуры вариационного ряда исчисляют квартили, которые делят ряд по сумме частот на 4 равные части и децили, которые делят ряд на 10 равных частей. Второй квартиль равен медиане, а первый и третий ( и ) исчисляют аналогично расчету медианы, только вместо медианного интервала берется для первого квартиля интервал, в котором находится варианта, отсекающая ¼ численности частот, а третьего квартиля – варианта, отсекающая ¾ численности частот.

Исчислим для данного примера первый и третий квартили:

руб.

Этот показатель означает, что у трех четвертей всех рабочих заработная плата составляет 1486,4 руб.

руб.

Следовательно, зарплата каждого четвертого рабочего превышает 1624,3 руб.

[7, 8, 9]

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое мода?
2. Как определяется мода для дискретного ряда?
3. Что такое медиана?
4. Как определяется медиана и мода для интервального ряда?
5. Что характеризуют мода и медиана?
6. Как вычислить квартили?
7. Что означают децили?