Невласний інтеграл по нескінченному проміжку
Невласні інтеграли
Перейдемо до узагальнення поняття визначеного інтеграла у напрямку, коли: проміжок інтегрування є нескінченним.
Невласний інтеграл по нескінченному проміжку
Нехай функція є інтегрованою на довільному проміжку . Покладемо за означенням
. (11.1)
Невласний інтеграл назвемо збіжним, якщо границя існує і скінченна (величина цієї границі приймається за значення невласного інтеграла). У протилежному разі цей невласний інтеграл називається розбіжним.
Цілком аналогічно визначаються невласні інтеграли:
, .
Приклад 1. Дослідити на збіжність інтеграли:
1) ; 2) .Розв’язання:1) .
Рис.11.1 | Оскільки , то невласний інтеграл збігається і . З геометричної точки зору площа нескінченної криволінійноїтрапеції дорівнює (рис. 11.1). |
б) . Оскільки границя не існує (не існує числа до якого прямує при ), то невласний інтеграл є розбіжним.
Приклад 2. Дослідити на збіжність інтеграл
. (11.2)
Розв’язання.Нехай . Тоді при та інтеграл (11.2) є
розбіжним. Якщо , то . Звідки при маємо
і, таким чином, інтеграл (11.2) збігається, причому
.
У тому разі, коли , то та інтеграл (11.2) є розбіжним. Отже, інтеграл (11.2) збігається при і розбігається при .
У розібраних вище прикладах відповідь на питання про збіжність або розбіжність інтеграла знаходили за допомогою первісної підінтегральної функції . При цьому у разі збіжності невласного інтеграла знаходили і його значення. Проте часто потрібно лише відповісти на питання, збігається чи розбігається невласний інтеграл, а для цього необов’язково знаходити . А саме, наприклад, невласний інтеграл (11.1) від додатної функції збігається тоді і тільки тоді, якщо при зростанні інтеграл є обмеженим зверху (див. теорему 4 підрозд. 3.6 посібника). У випадку, якщо інтеграл не є обмеженим, то інтеграл (11.1) розбігається (дорівнює ). На цьому заснована наступна ознака порівняння.
Теорема.Нехай , тоді:
1) інтеграл є збіжним, якщо інтеграл збігається;
2) інтеграл є розбіжним, якщо інтеграл розбігається.
Наслідок.Якщо для додатних функцій та існує скінченна границя
,
то обидва інтеграли , збігаються або розбігаються одночасно. Зокрема, якщо
,
то інтеграл збігається при і розбігається при .
Приклад 3. Дослідити на збіжність інтеграли:
1) ; 2) .
Розв’язання.Відзначимо, що елементарної первісної в обох випадках не існує.
1) Оскільки , а збігається, то на підставі теореми збігається і інтеграл ;
|
Збіжний інтеграл назвемо абсолютно збіжним, якщо збігається інтеграл . У випадку, коли інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, будемо казати, що інтеграл збігається умовно. Слід зазначити, що із збіжності інтеграла випливає збіжність інтеграла .
Приклад 4. Дослідити на збіжність інтеграли: а) ;б) ;в) ;
г) ;д) .
Розв’язання.а) = , тобто, збігається.
а.1)
б) , збігається.
б.1)
в) , збігається.
в.1) .
г) ,збігається.При
обчисленні границі була використана формула (див. посібник,с.145) , зміст якої в тому, що показникова функція зростає швидше степеневої функції .
г.1) =
.
д) ,збігається.
д.1) .