Невласний інтеграл по нескінченному проміжку

Невласні інтеграли

Перейдемо до узагальнення поняття визначеного інтеграла у напрямку, коли: проміжок інтегрування є нескінченним.

Невласний інтеграл по нескінченному проміжку

Нехай функція Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru є інтегрованою на довільному проміжку Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru . Покладемо за означенням

Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru . (11.1)

Невласний інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru назвемо збіжним, якщо границя існує і скінченна (величина цієї границі приймається за значення невласного інтеграла). У протилежному разі цей невласний інтеграл називається розбіжним.

Цілком аналогічно визначаються невласні інтеграли:

Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru , Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .

Приклад 1. Дослідити на збіжність інтеграли:

1) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru ; 2) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .Розв’язання:1) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .

Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru     Рис.11.1 Оскільки Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru , то невласний інтеграл збігається і Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru . З геометричної точки зору площа нескінченної криволінійноїтрапеції Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru дорівнює Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru (рис. 11.1).

б) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru . Оскільки границя Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru не існує (не існує числа до якого прямує Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru при Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru ), то невласний інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru є розбіжним.

Приклад 2. Дослідити на збіжність інтеграл

Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru . (11.2)

Розв’язання.Нехай Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru . Тоді при Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru та інтеграл (11.2) є

розбіжним. Якщо Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru , то Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru . Звідки при Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru маємо

Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru і, таким чином, інтеграл (11.2) збігається, причому

Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .

У тому разі, коли Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru , то Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru та інтеграл (11.2) є розбіжним. Отже, інтеграл (11.2) збігається при Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru і розбігається при Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .

У розібраних вище прикладах відповідь на питання про збіжність або розбіжність інтеграла знаходили за допомогою первісної Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru підінтегральної функції Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru . При цьому у разі збіжності невласного інтеграла знаходили і його значення. Проте часто потрібно лише відповісти на питання, збігається чи розбігається невласний інтеграл, а для цього необов’язково знаходити Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru . А саме, наприклад, невласний інтеграл (11.1) від додатної функції Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru збігається тоді і тільки тоді, якщо при зростанні Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru є обмеженим зверху (див. теорему 4 підрозд. 3.6 посібника). У випадку, якщо інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru не є обмеженим, то інтеграл (11.1) розбігається (дорівнює Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru ). На цьому заснована наступна ознака порівняння.

Теорема.Нехай Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru , тоді:

1) інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru є збіжним, якщо інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru збігається;

2) інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru є розбіжним, якщо інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru розбігається.

Наслідок.Якщо для додатних функцій Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru та Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru існує скінченна границя

Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru ,

то обидва інтеграли Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru , Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru збігаються або розбігаються одночасно. Зокрема, якщо

Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru ,

то інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru збігається при Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru і розбігається при Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .

Приклад 3. Дослідити на збіжність інтеграли:

1) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru ; 2) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .

Розв’язання.Відзначимо, що елементарної первісної Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru в обох випадках не існує.

1) Оскільки Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru , а Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru збігається, то на підставі теореми збігається і інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru ;

~
2) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru . Отже, на підставі наслідку з теореми випливає, що інтеграл збігається при Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru і розбігається при Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .

Збіжний інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru назвемо абсолютно збіжним, якщо збігається інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru . У випадку, коли інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru збігається, а інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru розбігається, будемо казати, що інтеграл Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru збігається умовно. Слід зазначити, що із збіжності інтеграла Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru випливає збіжність інтеграла Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .

Приклад 4. Дослідити на збіжність інтеграли: а) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru ;б) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru ;в) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru ;

г) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru ;д) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .

Розв’язання.а) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru = Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru , тобто, збігається.

а.1) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru

б) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru , збігається.

б.1) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru

в) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru , збігається.

в.1) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .

г) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru ,збігається.При

обчисленні границі Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru була використана формула Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru (див. посібник,с.145) , зміст якої в тому, що показникова функція Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru зростає швидше степеневої функції Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .

г.1) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru =

Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .

д) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru ,збігається.

д.1) Невласний інтеграл по нескінченному проміжку - student2.ru .

Наши рекомендации