ТЕМА №2 ФУНКЦІЇ В ЕКОНОМІЧНОМУ МОДЕЛЮВАННІ

Функції в економічному моделюванні використовуються для визначення ймовірних значень результативної ознаки при зміні керованої змінної. Для отримання функції проводиться статистичне спостереження і збираються відповідні емпіричні значення. Далі висувається гіпотеза про форму залежності між досліджуваними змінними і використовується відповідний математичний апарат для визначення параметрів рівняння регресії (моделі). Теоретичні значення, розраховані за моделлю "замінюють" емпіричні значення. Для того щоб оцінити якість такої заміни необхідно розрахувати показники тісноти звязку (коефіцієнт детермінації, який показує частку залежності варіації результативної ознаки від зміни факторної, та коефіцієнт кореляції, який вказує не тільки на тісноту , а і на напрямок звязку). Після оцінки тісноти звязку необхідно переконатися в адекватності моделі за допомогою статистичних критеріїв. Значення статистичних критеріїв розраховують, а потім порівнюють із відповідними табличними значеннями. За результатами такого порівняння робиться висновок про адекватність моделі і величину ймовірності, з якою модель може бути застосована для прийняття управлінських рішень.

Розглянемо детальніше порядок застосування парної лінійної та найбільш популярних нелінійних залежностей

Модель лінійної регресії (лінійне рівняння) є найпоширенішим видом залежності між економічними змінними.

Скористаймося методом найменших квадратів, суть якого полягає у наступному: сума квадратів відхилень ординат точки, що спостерігається (X_i, Y_i) від відповідної ординати точки, що належить регресійній прямій, повинна бути найменшою

Використання 1МНК для оцінки теоретичних параметрів моделі парної регресії приводить до таких систем нормальних рівнянь:

a) лінійна залежність Y = a₀ + a₁X.

Побудоване лінійне рівняння може слугувати початковою точкою в разі складних (суттєво нелінійних) залежностей.

Нелінійні зв'язки, як правило, певними перетвореннями (заміною змінних чи логарифмуванням) зводять до лінійного вигляду або апроксимують (наближують) лінійними функціями.

б) гіперболічна залежність . Замінюємо і отримаємо лінійну модель Y = a₀ + a₁х′.

Для оцінки теоретичних параметрів моделі складаємо систему нормальних рівнянь:

в) параболічна залежність Y = a₀ + a₁х² . Замінюємо х² = х′ і отримаємо лінійну модель Y = a₀ + a₁х′.

Для оцінки теоретичних параметрів моделі складаємо систему нормальних рівнянь:

г) степенева залежність .

Логарифмуємо функцію lnY = ln a₀ + a₁ · ln Х.

Замінюємо логарифми lnY = Y′, ln Х = Х′ , ln a₀ = a′.

Одержуємо лінійну модель Y′ = a′+ a₁ · Х′.

Складаємо систему нормальних рівнянь:

д) експоненціальна.

Для оцінки теоретичних параметрів зводимо модель до лінійного вигляду:

Логарифмуємо функцію

Замінюємо логарифм

Одержуємо лінійну модель

е) проста модифікована експоненціальна

Методом заміни зводимо модель до лінійного вигляду:

Моделювання здійснюється на основі вибірки статистичних даних, яку студент отримує з відповідних таблиць.

Лабораторні роботи № 1, 2, 3, 4, 5 студент виконує згідно з завданням та варіантом вихідних даних, який отримує у викладача.

ДОДАТКОВО

Для спрощення проміжних розрахунків використаємо вбудовану в електронні таблиці Microsoft Excel статистичну функцію ЛИНЕЙН. Ця функція застосовує метод найменших квадратів, щоб визначити оцінки параметрівлінійної регресії.

ЛИНЕЙН (відомі_значення_Y; відомі_значення_Х; конст; статистика).

Результат – це оцінка параметрів лінійної регресії та регресійна статистика.

Для цього треба:

1) відмітити поле, де буде знаходитись результат розміром (k+1) ´ 5, або m₁ ´ 5; m₁ = k+1

2) увійти у "майстер функцій f". У категоріях вибираємо "статистична", а в функціях – ЛИНЕЙН. Вводимо адреси значень Y, Х та значення константи і статистики;

3) для того, щоб отримати на екрані результат, натискаємо спершу клавішу F2, а потім Ctrl+Shift+Еnter.

Функція може додатково обчислювати регресійну статистику (рис.1.1).

«Відомі значення Y» — множина значень Y. Якщо масив Y має один стовпець, то кожний стовпець масиву «відомі_значення_Х» інтерпретуються як окрема змінна. Якщо масив «відомі_значення_Y» має один рядок, то кожний рядок «відомих значень Х» інтерпретується як окрема змінна.

«Відомі_значення_Х» — множина значень Х, що враховує або одну (парна регресія), або кілька змінних (множинна регресія). Якщо «відомі_значення_Х» пропустили, то вважається, що це масив {1; 2; 3;...} такого самого розміру, як n «відомих_значень Y».

«Конст» — логічне значення.

Якщо «конст» має значення «ложь», то a₀ беруть таким, що дорівнює нулю: значення aдобирають так, щоб виконувалася рівність Y=ХА (модель без вільного члена).

Якщо «конст» має значення «истина», то a₀ обчислюється традиційно (модель з вільним членом).

«Статистика» — логічне значення, яке вказує, чи потрібно обчислювати додаткову статистику за регресією.

Якщо «статистика» має значення «истина», то функція ЛИНЕЙН обчислює додаткову регресійну статистику у вигляді масиву (див. рис. 1.1).

		…
		…
R2
F	Ступінь свободи n–m

Рис. 1.1. Статистика функції ЛИНЕЙН

де – оцінка параметра , j=1..k ;

– оцінка вільного члена регресії;

– стандартна похибка оцінки параметра a_і;

R² – коефіцієнт детермінації;

– стандартна похибка залишків;

F – F-критерій.

– середнє значення Y_факт .

Ступінь свободи дорівнює (n – m), де n – кількість спостере­жень, m – кількість змінних у моделі; це значення необхідне для визначення табличного значення F-критерію.

–сума квадратів відхилення, що пояснюється регресією;

– сума квадратів відхилення, що пояснюється похибкою u.

Якщо статистика має значення «ложь» чи її пропустили, то функція ЛИНЕЙН обчислює лише коефіцієнти a_j та константу a₀.

Лабораторна робота № 1. «Лінійна модель»

Згідно з вибіркою статистичних даних побудувати лінійну модель залежності Y від X виду: .

Мета роботи:

визначити аналітичну залежність між дослідними даними із застосуванням методу найменших квадратів (знайти параметри моделі);

представити модель на графіку (графічне відображення моделі засновується на побудові лінії тренду в прямокутних координатах Y-X).

Вихідні дані для розрахунку моделей лабораторної роботи № 1

Варіант 1		Варіант 2		Варіант 3		Варіант 4		Варіант 5
Y	Х		Y	Х		Y	Х		Y	Х		Y	Х
12,3	9,6		16,1	12,2		12,7	12,4		15,8	12,3		16,9	19,3
14,7	8,1		16,3			12,9	10,3		19,4			17,7	18,7
15,8	6,3		17,8	8,1		13,3	10,1		20,3	6,1		18,3	8,9
16,3	5,5		17,6			14,7	8,4		27,8	6,2		18,4	6,3
17,1	4,1		18,5	7,6		16,9	6,3		29,3	5,1		19,7
20,9	2,8		18,9	7,4		20,1	6,2		24,4	4,3		20,8	5,5
21,4	1,6		20,1	6,1		23,4	5,4		31,3	3,8		21,3
22,8	0,9		24,3	5,3		24,5	5,3		32,8			22,9	2,9
23,9	0,8		25,8	2,7		28,4			32,9	2,7		25,4	1,3
24,1	0,4		26,7	2,6		30,7	4,8		34,7	2,5		26,9	0,7
Варіант 6		Варіант 7		Варіант 8		Варіант 9		Варіант 10
Y	Х		Y	Х		Y	Х		Y	Х		Y	Х
10,9	12,4		16,3	10,3		16,7	15,1		15,9	6,3		12,8	6,3
11,3	10,1		16,7	8,1		17,3			16,1			12,9	5,1
12,8	8,4		18,1	6,4		18,4	12,4		17,4	6,1		13,1
13,8			18,9			19,5	9,3		18,3	5,5		14,4	4,2
14,9	7,9		19,3	4,1		20,3	8,6		18,9			15,8	3,3
15,6	5,4		20,4	3,3		21,4	5,1		20,4	4,3		16,3	2,1
18,1	6,1		21,5	3,3		25,5	3,3		21,3			17,9
19,4	3,1		24,6	2,7		26,9	3,2		22,8			18,1	1,9
			27,8	2,1		27,8			23,4	3,5		19,3	1,7
21,3	2,1		27,9	0,9		30,1	2,1		25,7	3,1		20,4	1,1
Варіант 11		Варіант 12		Варіант 13		Варіант 14		Варіант 15
Y	Х		Y	Х		Y	Х		Y	Х		Y	Х
10,4	12,7		10,7	9,1		15,6	12,3		12,3	12,3		12,3	6,3
11,5	11,8		11,8	8,6		15,8	10,1		12,5	10,1		12,9
12,7	10,3		13,8	8,6		16,3	8,7		13,7	8,8		13,4
13,8	9,1		14,9			16,9	6,5		13,9	7,3		14,7	5,8
14,3			15,1	7,4		20,1	3,1		14,7	6,9		15,1	5,3
14,9	8,5		16,3	7,1		21,3			15,1	5,1		16,9	5,1
15,1	7,4		17,1	6,9		24,9	2,1		16,3			17,3
16,3			18,7	6,2		25,8	1,5		17,4	4,1		18,7	4,1
17,9	6,3		18,9	5,3		26,9	1,4		18,1	3,2		19,8	3,2
18,4	5,1		19,3	4,2		27,3	0,9		18,9	3,1		20,1	2,7
Варіант 16		Варіант 17		Варіант 18		Варіант 19		Варіант 20
Y	Х		Y	Х		Y	Х		Y	Х		Y	Х
10,3	6,7		15,1	10,7		12,7			20,8	5,1		6,9	10,1
10,9	6,5			8,1		12,8	9,1		21,9			10,3	9,4
11,7			15,6				8,7		21,9	4,9		12,5	6,5
12,8	5,9		15,9	6,7		13,9	8,8		23,4	4,9		12,4	5,1
13,9	4,1		16,1	6,6		14,1	8,6		25,7	3,1		13,7
14,7			16,3			15,8	7,1		26,8			16,8	4,2
15,1	3,8		17,8	6,5		16,1	6,3		27,1	2,8		19,3	3,1
16,9	2,7					17,3	5,1		28,1	2,1		20,1	2,8
21,9	1,9			5,1		18,9	4,2		30,3	1,8		21,7
18,7	0,8		18,4	4,3		18,9	2,8		31,4	0,9		25,8	1,9
Варіант 21		Варіант 22		Варіант 23		Варіант 24		Варіант 25
Y	Х		Y	Х		Y	Х		Y	Х		Y	Х
19,8	10,5		5,6	7,9		15,6	9,1		10,7	6,1		10,1	6,7
20,3	9,4		5,6	7,8		15,8							5,1
21,4	8,3		5,8	7,6		16,1	7,1		10,9			10,7	6,9
22,9	6,1		5,9	6,1		18,4			11,5	6,3		11,3	6,9
24,6	5,4		6,7				6,8		11,9	5,8		11,8	5,4
27,8	2,2		7,9	5,8		19,1	6,3			5,7		12,4	7,1
29,3			8,3	5,5		20,3	6,3					15,7	6,3
30,1	1,9		8,7	5,4		21,7			13,7	5,4		15,8	6,5
33,4	0,7		10,1	4,1		29,8	6,1		14,1	5,1		16,1	6,1
35,8	0,6		15,4			30,3	5,8		14,8				5,8

Лабораторна робота № 2. «Степенева функція»

Згідно з вибіркою статистичних даних побудувати степеневу модель залежності Y від X виду: .

Мета роботи:

визначити аналітичну залежність між дослідними даними із застосуванням методу найменших квадратів (знайти параметри моделі);

представити модель на графіку (графічне відображення моделі засновується на побудові лінії тренду в прямокутних координатах Y-X).

Вихідні дані для розрахунку моделей лабораторної роботи № 2

Варіант 1		Варіант 2		Варіант 3		Варіант 4		Варіант 5		Варіант 6
Y	X		Y	X		Y	X		Y	X		Y	X		Y	X
30,4	50,5		19,3	20,5			80,5		30,5	20,1		30,1	50,3		60,1	80,3
31,5	50,7		19,5	20,7			80,4			20,4		30,3	49,8		60,2	80,4
31,6	50,8		19,8	21,3			80,3		27,7	21,9		30,4	48,7			81,7
39,7	59,3		19,9	22,4		68,1	80,1		27,6	28,8		30,5	45,5		60,1	82,8
38,8	60,1			22,7		68,2	78,9		27,6	29,5		30,7			60,3	82,9
40,5	70,3					68,3	78,5			29,6		31,8	42,1		60,4	85,1
42,7			23,1	29,1		68,4	78,2		25,5	29,8		32,1	40,3		60,5	87,1
49,9	75,5		24,7	30,3		68,5	78,1		21,6	30,4		33,4	38,4		61,6	88,3
50,1	76,6		28,4	31,4		68,6			21,3	30,7		35,5	35,3		62,7	89,4
50,2	77,8		29,3			68,7	76,7		21,3	30,9		36,6	30,3		63,8	90,5
53,3	79,8		29,5			68,8	75,6		21,1	35,4			30,1		64,7	91,6
55,7	79,9		29,9	34,1		68,8	74,4		20,9	37,1		28,8	28,3		65,5
60,1			30,1	35,6		68,9	73,1		20,2	39,5		29,9	27,6		66,7	92,3
75,5			31,3	37,8		69,9	72,8		20,1	40,2		20,1	25,5		68,1	93,7
81,3	93,3		32,4	39,5		70,1	70,7		19,9	46,8		20,2			69,7	94,5
Варіант 7		Варіант 8		Варіант 9		Варіант 10		Варіант 11		Варіант 12
Y	X		Y	X		Y	X		Y	X		Y	X		Y	X
82,3	99,9		19,1	20,5		44,1	50,5		30,5	46,6		65,5	70,6			59,1
82,5	98,7		19,2	20,7			50,6			40,5			70,7		48,8
88,6	97,6		19,3	21,3		43,9	50,7		27,7	39,1			70,8		47,7	55,7
	96,6			22,7		43,8	50,8		27,6	37,1		61,8	70,9		44,3
	95,5		20,1	22,4		43,7	51,1			35,5		62,1	72,3		42,7	50,2
				22,5		43,6	52,2		26,6	30,9		57,8	72,4		41,7	50,1
89,4			21,1				53,4		25,5	30,7		55,2	72,5		39,3	49,3
89,5	93,5			25,1		41,1	55,5		22,4	30,1		43,9	72,9		38,8	48,1
89,7	93,1			24,1					21,6	29,7		42,5	80,1		30,7	47,7
90,1				25,6					21,5	29,4			85,5		29,3	46,7
90,2				27,1			60,1		21,3	29,3		38,8			29,1	44,5
90,3			24,4	27,9		39,8			20,1	28,8		35,9	88,1		28,3	41,3
92,1	90,3		25,5	28,1		39,7			20,1	21,7		32,4	89,3		27,4	30,9
92,3	90,1		26,1	29,3		39,6	65,5			20,5		31,2	90,1		26,5	30,8
93,3			27,3	29,5		39,6	66,6		19,7	20,3		30,7	90,2		25,5	30,7
Варіант 13		Варіант 14		Варіант 15		Варіант 16		Варіант 17		Варіант 18
Y	X		Y	X		Y	X		Y	X		Y	X		Y	X
	50,3		61,7						30,1	40,1			39,7		30,4	64,3
	50,7		60,3	81,7		24,1	50,1		29,4	42,3		28,8	41,6		35,5	68,7
45,1	51,3			89,1		24,1	48,9		31,3	44,1		31,3	42,4		37,8	70,1
45,2			61,8	89,4		24,3				45,8		32,4	43,5		38,9	75,5
45,4	55,1		60,1	80,5		24,5	45,5		28,3	49,7		27,9	46,6		40,1
45,5	56,3		59,8	80,3		24,7	40,5		27,8	50,3		26,3	47,7		47,7	80,3
45,5	57,1		62,3	90,1		24,8	39,9		32,7	55,8		33,7	48,9		48,9	81,8
	58,3		63,4	90,3		24,9	39,1		33,8	56,9		35,8	50,1		49,9	82,9
46,1			63,9	91,7		25,1			34,7	60,3		39,6	52,3		50,1
46,7	59,1		64,5	91,9		25,3			35,9	61,9					52,3	85,1
47,1	59,3		65,6			25,6			38,1	68,8		41,2	57,9			86,9
47,8	60,3		66,7	96,1		25,7	33,1		44,1	70,4		42,3	60,1		55,6	90,3
47,9	61,7		67,8	97,1		25,8	31,3		45,3	71,7		43,3	64,3		57,8	91,4
48,1			68,8	97,8					48,8	78,8		45,6	65,9		59,3	92,2
			69,9	99,1			30,9		49,1	79,3		47,8	66,7		60,1	93,3
Варіант 19		Варіант 20		Варіант 21		Варіант 22		Варіант 23		Варіант 24
Y	X		Y	X		Y	X		Y	X		Y	X		Y	X
40,3	67,1		26,3	59,6		30,1	50,5		19,1	20,2		35,1	22,6		25,1	25,2
45,7	70,4		27,8	60,3		31,2	50,7		19,4	20,7		34,5	22,9		25,2	25,5
46,8	80,1			65,6		31,3	50,8		19,8	21,5		34,9	23,1		28,8	27,6
47,9	85,5		30,1	66,8		39,1	59,2		19,9	22,4		34,9	26,5		29,9	28,9
48,8	86,6		31,2	70,1		38,5	60,1		21,9	22,7		36,8	27,7			30,1
49,4	86,7		33,4			40,1	70,5		22,7			37,7	29,4		30,4	30,8
50,1				76,3		42,8			23,1	29,1		38,2	29,5		30,5	35,3
50,9	89,1			77,9		49,9	75,5		24,6	30,3		44,3	30,8		30,6	38,4
60,3	90,3		37,1	78,4		50,1	76,5		27,4	31,4		48,1	31,1		30,7	40,3
65,3	91,4		38,4	79,3		50,2	77,7		28,3	32,4		51,5	31,2		30,9	42,7
66,4	92,5		39,1	80,1		53,3	79,8		29,5	33,5		52,5	31,6		31,8
69,5	93,6		40,5	81,5		55,1	79,9		29,9	34,2		52,3	31,8		32,1	45,5
70,5	94,7		46,6	86,6		60,1			30,1	35,6		52,5			33,4	48,7
70,9	98,1		47,8	90,4		75,3			31,3	37,8		53,6	34,4		35,5	49,8
	98,2		50,1	95,6		81,3	93,5		32,4			55,8	35,4		36,6
Варіант 25
Y	X
81,3	93,3
75,5
60,1
55,7	79,9
53,3	79,8
50,2	77,8
50,1	76,6
49,9	75,5
42,7
40,5	70,3
39,7	59,3
38,8	60,1
31,6	50,8
31,5	50,7
30,4	50,5

Лабораторна робота № 3. «Параболічна функція»

Згідно з вибіркою статистичних даних побудувати параболічнумодель залежності Y від X виду: .

Мета роботи:

визначити аналітичну залежність між дослідними даними із застосуванням методу найменших квадратів (знайти параметри моделі);

представити модель на графіку (графічне відображення моделі засновується на побудові лінії тренду в прямокутних координатах Y-X).

Вихідні дані для розрахунку моделей лабораторної роботи № 3

Варіант 1		Варіант 2		Варіант 3		Варіант 4		Варіант 5
Y	X		Y	X		Y	X		Y	X		Y	X
27,75						86,82			14,30			28,77
28,37						85,42			15,15			28,60
34,45						81,45			16,63			34,50
41,32									18,87			41,57
48,50			33,4						21,42			49,10
52,45									23,82			52,87
55,55			42,80						27,67			56,20
62,25			46,45						29,45			62,35
73,01			58,32			46,32			32,27			73,76
76,42			71,32			38,25			36,07			76,60
86,32			85,31			36,3			44,20			87,64
88,45			94,25			32,55			47,57			88,45
95,50			97,85			26,65			50,58			96,43
104,00			101,85			19,87			57,30			104,07
113,42			110,00			15,22			67,37			113,43
Варіант 6		Варіант 7		Варіант 8		Варіант 9		Варіант 10
Y	X		Y	X		Y	X		Y	X		Y	X
15,23			7,78			26,54			19,15
15,22			7,17			27,05			19,88
16,64			17,30			33,08			20,88
19,59			19,70			39,10			22,82
21,59			20,90			46,10			25,57
24,82			24,42			49,10
27,77			24,67			52,10			31,9
31,00			26,35			58,10			33,77
32,37			26,60			68,12			35,8
36,17			27,07			71,12			39,87
44,38			27,90			80,12			47,17
47,64			28,39			82,13			50,57
52,11			30,28			89,13			54,22
57,57			30,8			97,15			60,22
68,10			34,8			106,19			70,4

Лабораторна робота № 4. «Гіперболічна функція»

Згідно з вибіркою статистичних даних побудувати гіперболічнумодель залежності Y від X виду:

Мета роботи:

визначити аналітичну залежність між дослідними даними із застосуванням методу найменших квадратів (знайти параметри моделі);

представити модель на графіку (графічне відображення моделі засновується на побудові лінії тренду в прямокутних координатах Y-X).

Вихідні дані для розрахунку моделей лабораторної роботи № 4