Понятие продуктивной модели В.В. Леонтьева

Критерии продуктивности модели

Математическую модель межотраслевого баланса (2) будем использовать для решения следующей задачи. Для периода времени (например, год) известны вектор конечного потребления и матрица прямых затрат . Требуется определить вектор валового выпуска . Для этого необходимо решить систему линейных уравнений (2). В силу прикладного характера задачи все элементы матрицы и векторов и должны быть неотрицательными.

Определение 1. Матрицу называют продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными элементами ( ) существует решение уравнения (2) – вектор

,

все элементы которого неотрицательны ( ). В этом случае и модель Леонтьева называют продуктивной.

Определение 2. Матрицу

(3)

называют матрицей полных затрат. Элементы матрицы называют коэффициентами полных затрат.

Коэффициенты полных затрат показывают, какое количество продукции -й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечного продукта -й отрасли.

Сформулируем далее критерии продуктивности матрицы прямых затрат.

Теорема 1.Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица полных затрат

существует и все ее элементы неотрицательны (пишут ). При этом вектор валового выпуска удовлетворяет условию

(4)

Теорема 2. Матрица продуктивна, если максимум сумм ее элементов по каждому столбцу (каждой строке) не превосходит единицы:

, (5)

причем хотя бы для одного столбца (любой строки) .

Теорема 3. Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда наибольшее собственное число матрицы меньше единицы.

Пример 1.Заданы матрица

коэффициентов прямых затрат (технологическая матрица) и вектор

валового выпуска.

Требуется:

1) Составить статическую модель Леонтьева межотраслевого баланса, найти вектор конечного потребления;

2) найти объем валового выпуска – вектор , если вектор конечного потребления увеличить на вектор .

Решение

1) Составим статическую модель Леонтьева межотраслевого баланса (2). Для этого найдем вектор конечного потребления. Из уравнения (2) вектор находим в виде

Итак, вектор конечного потребления имеет вид

Составим статическую модель Леонтьева межотраслевого баланса (2):

Заметим, что модель Леонтьева является продуктивной, так как согласно теореме 2 максимум сумм ее элементов по каждому столбцу меньше единицы:

.

Аналогично можно показать, что максимум сумм ее элементов по каждой строке меньше единицы:

.

2) Найдем объем валового выпуска – вектор , если вектор конечного потребления увеличить на вектор . В этом случае вектор конечного потребления

Вектор объема валового выпуска находим по формуле (4):

.

Предварительно найдем матрицу полных затрат. Матрицу вычисляем в виде (см. материал первого семестра, модуль Линейная алгебра, способ нахождения обратной матрицы)

где определитель матрицы ; алгебраическое дополнение для элемента матрицы .

Имеем

, ,

Тогда матрица полных затрат имеет вид

.

Теперь вычисляем вектор объема валового выпуска:

Итак, вектор объема валового выпуска