Методом найменших квадратів

M = , В =

• Правило оберненої матриці:

• Виділити масив матриці результату: (m n)•(n k) = (m k);

• f_x: Математические → “МОБР”, “МУМНОЖ”

• Комбінація кнопок: F2+ Ctrl +Shift + Enter

• Правило Крамера:

ả_{1 = = = .}

ả_{0 = = = .}

4. Розрахункові таблиці: (фіксація значень , кнопкою „F4”)

№ п/п	Х	Y	X2	X۰Y	Y-	(Y- )2
Σ								→ 0

.

5. Графік моделі у „хмарі” розсіювання

Побудова: “Точечные диаграммы”: “Диапазон”: Масиви (Х; Y) + Ctrl масив

(Лінія регресії проходить через точку, координати якої с середніми значеннями показника Y та фактора X,: = ả₀ + ả₁ ).

6. Дисперсійний аналіз лінійної моделі:

• Дисперсія змінної Y: .

• Дисперсія залишків: = .
• Коефіцієнт детермінації: .
• Коефіцієнт кореляції: (R > 0 при а₁ > 0; R < 0 при а₁ < 0).

• Коефіцієнт еластичності: .
• Коваріаційна матриця: .
• С. к. в. оцінок параметрів: ; .

7. Значущість оцінок параметрів і моделі:

Ø Значущість моделі за критерієм Фішера:

	m
n –(m+1)

1) α – рівень значущості;

F_табл. знаходиться з таблиці

2) F_ф. >,< F_табл. => значущість (незначущість) моделі (коефіцієнта R²)

Ø Значущість оцінок параметрів моделі за t -критерієм:

1) t _табл. знаходиться з таблиці t- розподілу: df = n - m-1, α/2 – рівень значущості;

2) t_ф. >,< t_табл. => значущість (незначущість) оцінок параметрів моделі

Ø Інтервали надійності для оцінок :

8. Прогноз:

Точковий прогноз: х_пр =

Інтервальний прогноз:

,

. ,

9. Аналіз лінійної моделі:

• економічний зміст оцінок параметрів моделі і коефіцієнта еластичності;
• значення коефіцієнтів детермінації і кореляції;
• статистична значущість моделі за F- критерієм і оцінок параметрів моделі за Т- критерієм;
• прогнозоване значення показника Y;
• доцільність використання моделі.

Лабораторна робота № 2 « Модель множинної лінійної регресії»

· Розрахунок параметрів моделей у матричній формі.

Х = Â = U^{^} =

U^ = Y - Â Х,

Матриця невідомих параметрів моделі знаходиться як результат множення оберненої матриці до добутку транспонованої і даної матриці Х і добутку транспонованої Х^Т і Y: Â = (Х^Т· Х)^-1 (Х^Т·Y).

1. формуємо матриці X, Y та (для формування матриці , транспонованої до матриці X, в програмі Microsoft Office Excel варто скористатись вбудованою функцією «ТРАНСП», категорія «Ссылки и массивы»);

2. знаходимо добуток матриць ( в Excel – функція «МУМНОЖ»);

3. розраховуємо обернену матрицю (в Excel – математична функція «МОБР»);

4. множимо матрицю на вектор Y (в Excel – функція «МУМНОЖ»);

5. знаходимо оцінки параметрів шляхом множення матриці на вектор-стовпчик (в Excel – функція «МУМНОЖ»).

· Для оцінки параметрів та аналізу моделі за допомогою функції «ЛИНЕЙН»:

- вводимо вихідні дані на лист Excel;

- виділяємо масив , де m – кількість змінних моделі;

- активуємо «Мастер функций» - категорія «статистические» - функція «ЛИНЕЙН».

«Известные значения Y» - множина значень Y;

«Известные значения Х» - множина значень незалежних змінних Х;

«Конст» - логічне значення, яке вказує чи потрібно, щоб оцінка параметру (вільний член) дорівнювала нулю;

«Статистика» - логічне значення, яке вказує чи потрібна додаткова статистика по регресії.

- Натискаємо кнопку «ОК», або клавішу «Enter». В лівому верхньому кутку виділеної області з’явиться перший елемент таблиці. Щоб побачити всю таблицю натискаємо клавішу «F₂», а потім – комбінацію клавіш «Сtrl – Shift – Enter».

Діалогове вікно функції «ЛИНЕЙН» матиме вигляд:

		…
		…
R2		#	#	#
F	df = n-m-1	#	#	#
		#…	#	#

Приклад .Для аналізу залежності ціни автомобілю Y ( $ тис) від його віку (р.) та потужності двигуна (к.с.) з бази даних салону, що займається продажем потриманих автомобілів, були вибрані відомості про 16 машин. Ці відомості наведені в таблиці.

Побудувати відповідну лінійну економетричну модель за допомогою:

1. вбудованої статистичної функції MS Excel – «ЛИНЕЙН»;

2. надбудови MS Excel «Пакет анализа».

18,8
19,2
16,8
11,4
11,4
14,3
22,2
22,5
24,4
23,4
22,5
23,4
19,8
9,6

0,092	-2,315	16,637
0,011	0,121	1,388
0,98	0,779	#Н/Д
323,071		#Н/Д
391,664	7,88	#Н/Д

1. Для даної задачі таблиця «ЛИНЕЙН» матиме вигляд:

· Перший рядок результатів розрахунку містить оцінки параметрів моделі:

· Другий рядок містить стандартні похибки оцінок параметрів моделі:

· В третьому рядку таблиці результатів знаходяться два показники – коефіцієнт детермінації і стандартне відхилення залишків моделі:

· Четвертий рядок також містить дві характеристики - критерій Фішера та ступені свободи:

· В п’ятому рядку знаходяться сума квадратів регресії та сума квадратів залишків:

3. Для оцінки регресії в MS Excel за допомогою «Пакету аналізу» необхідно:

- Активувати, якщо це не було зроблено раніше, пакет аналізу. В головному меню слід вибрати «Сервис» – «Надстройки» і вибрати «Пакет анализа».

- Після установки пакету аналізу, для проведення регресійного аналізу моделі в меню «Сервис» вибираємо «Анализ данных» -«Регрессия». Діалогове вікно матиме вигляд:

Рис. . Діалогове вікно «Регрессия»

«Входной интервал Y» - діапазон значень залежної змінної.

«Входной интервал Х» - діапазон значень незалежних змінних, причому змінні повинні знаходитись в сусідніх стовпчиках.

«Метки» - опція, що вказує, чи містить перший рядок назви стовпчиків ( в нашому випадку опція вибрана, тобто містить).

«Константа – 0» - опція, що вказує на наявність чи відсутність константи в регресії.

«Уровень надежности» - дозволяє обрати потрібний рівень надійності результатів.

«Параметры вывода» - в нашому випадку результати аналізу будуть виведені на новий лист Excel.

Рис. . Результати регресійного аналізу моделі

« Множественный R » — множинний коефіцієнт кореляції;

« R-квадрат » — коефіцієнт детермінації;

«Нормированный R-квадрат» -

«Стандартная ошибка » — стандартна похибка моделі;

«Наблюдения» — кількість експериментальних точок.

df - кількість ступенів свободи: на регресію, залишкова та загальна;

SS - сума квадратів відхилень між експериментальними та розрахованими на основі моделі значеннями;

MS - дисперсія;

F - критерій Фішера;

«Значимость F» - показує ймовірність можливості хибного висновку на основі одержаних даних.

« Y - пересечение» - вільний член рівняння регресії

«Коэффициенты» - оцінки параметрів моделі;

«Стандартная ошибка» - середньоквадратична похибка при визначенні значення відповідного параметру регресійного рівняння;

« t - статистика» - критерій Стьюдента;

« P - значение» - ймовірність можливості хибного висновку на основі одержаних даних

« Нижние 95%, Верхние 95%» - межі довірчого інтервалу для значення коефіцієнту при рівні достовірності 95%.

4. Висновки: На основі вихідних статистичних даних була побудована економетрична модель залежності ціни автомобілю Y від його віку та потужності двигуна .

· Рівняння моделі має вигляд:

· Коефіцієнт детермінації дорівнює 0,98, множинний коефіцієнт кореляції – 0,99. Тобто варіація значень ціни автомобілю на 98% визначається варіацією значень його віку та потужності двигуна, між залежною та незалежними змінними існує тісний лінійний зв'язок.

· Фактичне значення критерію Фішера перевищує табличне значення , взяте при ступенях свободи (13; 2) і рівні значущості 5%, модель достовірна.

· Табличне значення критерію Стьюдента, взяте при ступенях свободи і , становить Оцінки параметрів моделі є статистично значущими, оскільки фактичні значення критерію Стьюдента, для кожної з оцінок, дорівнюють, відповідно, і і є більшими за табличне значення.

· Довірчі інтервали для оцінок параметрів моделі:

; і .

ТЕМА: Нелінійні моделі

Нелінійні регресії

Внаслідок багатогранності й складності за своєю структу­рою економічних процесів обмежуватися розглядом лише ліній­них моделей стає неможливим, оскільки економічні залежності переважно не можуть бути описані лінійними рівняннями. Якщо між економічними показниками існують нелінійні співвідношення, то вони описуються за допомогою нелінійних математичних функцій.

· Якщо досліджується залежність попиту на пев­ний товар Y від ціни X на нього, то можна обмежитися лінійними залежностями у вигляді рівнянь регресії Y_р = â₀ + â_1·Х, де коефіцієнт â₁ буде характеризувати абсолютну зміну в середньому попиті Y при зміні ціни на нього X на одиницю.

· Якщо ж метою дослідження є аналіз еластичності залеж­ності попиту від ціни, то описати лінійним рівнянням співвідношення між змінними Y та X виявляється неможливим. У цьому випадку доцільно використати модель типу Y = a₀ Х^а1

· При аналізі витрат Y від обсягу виробництва X буде використовуватися поліноміальна модель Y = â₀ + â_1·Х + â_2·Х ² + â_3·Х ³ +…+ â_m·Х^m .

· Для дослідження виробничих функцій використання лінійних
моделей взагалі є нереальним. В цьому випадку використовується виробнича функція Кобба – Дугласа. Нехай Y - обсяг виробленої продукції, F - фінансові витрати, L - вартість робочої сили, тоді Y = a F^α L^β, 0 < α<1, 0< β<1.

· Для характеристики зв’язку витрат сировини із обсягом виробленої продукції, часу обігу товару від величини товарообігу використовується модель оберненої залежності

Y = â₀ + â₁/Х.

Розрізняють два класи нелінійних регресій:

1) нелінійні регресії 1-го класу (квазілінійні) – нелінійні щодо пояснюючих, незалежних змінних моделі, але лінійні відносно параметрів (коефіцієнтів) моделі

2) нелінійні регресії 2-го класу – нелінійні щодо параметрів (коефіцієнтів) моделі.