Контрольная работа по математическим методам в экономике для студентов очно-заочной (вечерней) и заочной форм обучения

Номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной книжки, если последняя цифра 0, вариант -10.

Задача №1. В пространстве трех товаров рассмотреть бюджетное множество при векторе цен и доходе . Описать его и его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств, изобразить бюджетное множество и его границу графически. Вычислите объем бюджетного множества. Данные соответствующие вашему варианту брать в таблице:

Вариант			Вариант			Вариант
1.			2.			3.
4.			5.			6.
7.			8.			9.
10.

Задача №2. Даны вектор , непроизводственного потребления и матрица , межотраслевого баланса. Найти вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления. Данные соответствующие вашему варианту брать в таблице:

Вариант	С	А	Вариант	С	А
1.			2.
3.			4.
5.			6.
7.			8.
9.			10.

Задача №3. Решить графическим методом задачи с двумя переменными. Данные, соответствующие вашему варианту брать в таблице:

Вариант	Задача	Вариант	Задача
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.

Задача №4. На двух базах находится однородный товар в количестве тонн соответственно. Товар требуется развести по трем магазинам . Потребность каждого магазина в товаре составляет тонн соответственно. Затраты на перевозку товара с -й базы в -й магазин заданы матрицей тарифов . Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной. Данные соответствующие вашему варианту брать в таблице:

вариант						С
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Предмет изучения дисциплины «Экономико-математические методы и модели»

Предметом изучения дисциплины «Экономико-математические методы и модели» являются количественные характеристики экономических процессов, имеющих место в промышленном производстве, изучение их взаимосвязей.

Основным понятием курса является понятие математической модели. Математическая модель – это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называется математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.

Так как в данном курсе рассматриваются экономические задачи, то строятся экономико-математические модели включающие в себя:

· выбор некоторого числа переменных величин для формализации модели объекта;

· информационную базу данных объекта;

· выражение взаимосвязей, характеризующих объект, в виде уравнений и неравенств;

· выбор критерия эффективности и выражение его в виде математического соотношения – целевой функции.

Для принятия эффективных решений в планировании и управлении производством необходимо экономическую сущность исследуемого экономического объекта формализовать экономико-математической моделью, т.е. экономическую задачу представить в виде математической задачи, которая может быть решена математическими методами.

Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, однако не всегда математическое соотношение имеет экономический смысл. Описание экономических условий математическими соотношениями – результат того, что модель устанавливает связи и зависимости между экономическими параметрами или величинами.

По содержанию различают экономико-математические и экономико-статистические модели. Они различаются по характеру функциональных зависимостей, связывающих их величины. Экономико-статистические модели связаны с показателями, сгруппированными различными способами. Статистические модели устанавливают зависимость между показателями и определяющими их факторами в виде линейной или нелинейной функции. Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.

Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, которые называются балансовыми уравнениями или неравенствами.

Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Целевая функция – функция многих переменных величин.

Критерий оптимальности – экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии оптимальности и различные целевые функции.

Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель может иметь множество решений, или множество допустимых планов, среди которых нужно выделить единственный, удовлетворяющий и системе ограничений, и целевой функции. Такой допустимый план называется оптимальным. Среди всех допустимых планов, удовлетворяющих целевой функции, как правило имеется единственный план, для которого целевая функция и критерий оптимальности имеют максимальное или минимальное значение. Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в себе систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения.

Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому сначала необходимо определить систему переменных величин, которые для конкретной задачи могут обозначать искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям и т.д.

Ограничения модели должны отражать все условия, формирующие оптимальный план. Однако практически учесть все условия задачи для достижения цели невозможно, достаточно учесть основные условия. Конечно, полученная модель будет упрощенной по сравнению с реальной, которая отражала бы все условия поставленной задачи.

В упрощенном виде экономико-математическая модель представляет собой:

· систему ограничений – равенства или неравенства;

· условия неотрицательности переменных, исходя из экономической или физической сущности переменных;

· целевую функцию.

Например, построим модель оптимального планирования.

Пусть предприятие из m видов ресурсов производит n видов продукции. Допустим, что для производства одной единицы -го вида продукции расходуется единиц -го вида ресурса. Матрица с элементами называется технологической матрицей или матрицей норм расхода.

Пусть есть величина удельной прибыли от реализации одной единицы -й продукции, они образуют вектор-матрицу . Тогда произведение является величиной прибыли, полученной при реализации единиц продукции.

Пусть - количество единиц -го ресурса , имеющегося на складе, эти величины образуют вектор-матрицу . Тогда неравенство означает необходимость учитывать ограниченность запасов ресурсов. Если это неравенство выполняется, то план является реальным или допустимым.

Рассмотрим следующую задачу оптимального планирования: найти такой план производства , который бы был допустимым и обеспечивал наибольшую прибыль из всех допустимых планов. Эту задачу называют линейной моделью оптимального планирования и записывают следующим образом: или в матричной форме ,

где - прибыль.

В математике подобная задача называется задачей линейного программирования. Множество значений переменных, удовлетворяющих линейным ограничениям задачи, называется допустимым множеством. Линейная функция называется целевой функцией.