Глава 8. статистические индексы

Индексы - это относительные показатели, характеризующие изменение

сложных экономических явлений, состоящих из элементов непосредственно несоизмеримых во времени и в пространстве.

В зависимости от объектов исследования существуют 2 вида индексов:

· объёмных показателей физического объема: товарооборота, потребления, промышленной продукции, национального дохода;

· качественных показателей: индексы цен, себестоимости, издержек обращения, производительности труда, покупательной способности рубля, реальной заработной платы, реальных доходов.

С точки зрения охвата элементов различают индексы:

· индивидуальные

· общие.

В зависимости от метода расчёта общие индексы делятся на:

· агрегатные

· средние из индивидуальных - средние арифметические и средние гармонические.

Период, уровень которого сравнивается, называется отчетным или текущим и обозначается подстрочным знаком «1…или i», а период, с уровнем которого проводится сравнение, называется базисным.

Если за базу сравнения берется начальный уровень, то мы получим индексы с постоянной базой сравнения - базисные, если за базу сравнения берется уровень предыдущего периода, то мы получим индексы с переменной базой сравнения – цепные.

Базисные индексы характеризуют изменения явлений за длительный период времени по отношению к какой-либо одной отправной точке.

Цепные индексы характеризуют текущие изменения явлений.

Если базисные и цепные индексы охватывают один и тот же период, между ними существует определенная взаимосвязь:

произведение цепных индексов равно последнему базисному:

Обозначения, принятые в индексном анализе:

р – цена,

q - физический объём товарооборота (количество реализованных товаров),

p₁ q₁ - величинатоварооборота в отчетном периоде,

p₀ q₀ - величинатоварооборота в базисном периоде,

z - себестоимость,

zq - издержки производства,

Т - затраты труда (рабочего времени) на единицу продукции (трудоемкость работ),

- количество продукции, выработанное в единицу времени

(производительность труда)

8.1. Индивидуальные индексы

Индивидуальные индексы(i) характеризуют динамику отдельных элементов, входящих в совокупность, или характеризуют изменения однородных объектов, входящих в состав сложного явления.

Это наиболее простой вид индексов. Они определяются путем сопоставления 2-х величин, характеризующих уровень изучаемого явления во времени или в пространстве, т.е. за 2 сравниваемых периода. Следовательно, индивидуальные индексы представляют собой, по существу, относительные величины динамики, выполнения плана или сравнения.

8.1.1. Индивидуальный индекс цен (i_p) характеризует изменение цены товара в двух периодах и рассчитывается по формуле:

i_{p =} , где:

р₀ – цена товара в базисном периоде;

р₁ – цена того же товара в отчётном периоде.

8.1.2. Индивидуальный индекс физического объёматоварооборота (i_q) характеризует изменение объемов продажи товара и рассчитывается по формуле: i_q = , где:

q_{0 –} физический объём одного товара в базисном периоде;

q_i – физический объём того же товара в отчётном периоде.

8.1.3. Индивидуальный индекс себестоимости (i_z) характеризует изменение себестоимости отдельного вида продукции в текущем периоде по сравнению с базисным: i_z = , где:

z₁ и z₀ - себестоимость единицы продукции в отчетном и базисном периодах;

8.1.4. Индивидуальный индекс трудоемкости (i_t) характеризует затраты рабочего времени на единицу продукции в отчетном и базисном периодах:

i_t = , где:

t₁ и t₀ - затраты времени на производство единицы продукции в отчетном и базисном периодах.

8.1.5. Индивидуальный индекс производительности труда (i_1/t) характеризует количество продукции, вырабатываемой в отчетном и базисном периодах в единицу времени и определяется по формуле:

i_1/t = .

Общие индексы

Общие или сводные индексы - это индексы, рассчитываемые для совокупности явлений. Изучаемые с помощью этих индексов явления могут быть сложными, имеющими неоднородный характер составляющих их элементов, подверженными влиянию сразу нескольких признаков-факторов.

Поэтому данный вид индексов является эффективным инструментом для обобщающего анализа социально-экономических явлений.

Общие индексы – это относительные показатели, характеризующие соотношения между такими совокупностями величин экономических явлений, которые непосредственно в своей натуральной форме несоизмеримы.

Общий индекс может быть групповым, если он рассчитывается не для всей совокупности, а лишь для части ее однородных элементов, объединенных в группу.

Общий индекс может рассчитываться по формулам агрегатного, среднего арифметического и среднего гармонического индекса.

Агрегатная форма общих индексов является основной в экономико- статистических расчетах, когда возникает необходимость провести анализ изменения цен не по одному товару, а по разнообразному ассортименту товаров, изменению объема проданного количества многих различных товаров и т.п.

Придерживаясь принятых обозначений, общее изменение товарооборота стоимости проданных товаров можно определить, сопоставив общую стоимость проданных товаров в отчетном периоде по ценам отчетного периода с общей стоимостью проданных товаров в базисном периоде по ценам базисного периода по формуле общего индекса товарооборота:

, где:

- величина товарооборота в отчетный период;

- величина товарооборота в базисный период.

Аналогично индексу товарооборота рассчитываются индексы выпуска продукции, потребления, численности работников, издержек обращения и т.д.

8.2.1.Агрегатные индексы - это индексы, числители и знаменатели которых представляют собой суммы, произведения или суммы произведений уровней изучаемого явления:

.

Агрегатная форма индексов показывает относительное изменение изучаемого экономического явления и абсолютные размеры этого изменения.

Чтобы определить абсолютное фактическое изменение товарооборота необходимо из числителя формулы индекса товарооборота вычесть знаменатель:

D pq = p₁ q₁ - p₀ q₀

8.2.2. Веса агрегатных индексов используются для оценки роли отдельных факторов, образующих сложное явление, каким является товарооборот и представляют собой величины, при помощи которых несоизмеримые показатели индекса приводятся в сопоставимый вид, т.е. это одинаковые (постоянные) величины в числителе и знаменателе индекса.

В условиях рыночных отношений в экономике особое место среди индексов качественных показателей отводится индексу потребительских цен. С помощью индекса потребительских цен оценивается динамика цен на товары производственного и непроизводственного потребления, пересчёт важнейших стоимостных показателей в сопоставимые цены, измеряется инфляция и т. д.

· Агрегатный индекс цен применяется при изучении изменения цен. Для того, чтобы цены разных товаров можно было сложить, нужно от цен перейти к оборотам по продаже ( p*q), в этом случае в качестве веса или постоянной величины (соизмерителя) выступает количество товаров q(чаще не уровне отчетного периода), чтобы индекс показывал только анализируемый показатель - изменение цен (р):

_, где:

∑p₁q₁ – оборот розничной торговли отчётного периода;

∑p₀q₁ – условная стоимость товаров, реализованных в отчётном периоде по ценам базисного периода.

Исчисленный по этой формуле общий индекс цен показывает, во сколько раз возрос (уменьшился) в среднем уровень цен на массу товара, реализованного в отчётном периоде по сравнению с базисным периодом. Такое построение индекса принято называть построением Пааше.

Однако, в условиях экономического кризиса резко растут цены. В результате ряд товаров выпадает из потребления населения, особенно малообеспеченного. В этих условиях более правильно отразить изменение цен (индекс цен) по формуле Ласпейреса, где в качестве весов берется неизменное количество товара за базисный период:

Этот индекс показывает, на сколько изменились цены в отчётном периоде по сравнению с базисным по тем товарам, которые были реализованы в базисном периоде и экономию, которую можно было получить от изменения цен, т. е. условную экономию. Иначе говоря, индекс Ласпейреса показывает, во сколько раз товары базисного периода подорожали (подешевели) из – за изменения цен на них в отчётном периоде.

Индекс цен позволяет определить и абсолютную величину экономии, полученную от снижения цен (если результат со знаком «-»), или перерасхода (если результат со знаком «+») как разность между числителем и знаменателем формул индекса цены:

D pq (p) = S p₁ q₁ - S p₀ q₁

D pq (p) = S p₁ q₀ - S p₀ q₀

В статистике более употребительным является индекс цен с весами текущего периода (по формуле Пааше), вследствие того, что больший экономический смысл имеет выявление изменения цен на товары, реализованные в текущем периоде, а не те товары, которые были проданы в прошлом периоде.

· Агрегатный индекс физического объема характеризует изменение количества проданных товаров не в денежных, а в физических (натуральных) единицах измерения, где в качестве весов (соизмерителей) по формуле Пааше берется цена товаров в отчетном периоде:

_.

Полученный индекс физического объема показывает изменение только количеств проданных товаров по ценам отчетного периода.

По формуле Ласпейреса при исчислении агрегатного индекса физического объема в качестве весов берется неизменная цена товара на уровне базисного периода:

.

Более употребительным является индекс физического объема с весами базисного периода (по формуле Ласпейреса), вследствие того, что большее значение имеет выявление изменения количества реализованных товаров в текущем периоде по ценам начальным, а не то количество товаров, которое было продано по повышенным ценам текущего периода.

Индекс физического объема также позволяет определить абсолютную величину изменения количества реализованных товаров как разность числителя и знаменателя формул индекса:

D pq(q) =∑ p₀ q₁ - ∑ р₀ q₀

D pq(q) =∑ p₁ q₁ - ∑ р₁ q₀ .

Все 3 индекса ( I_p, I_q, I_pq ) связаны между собой и представляют индексную факторную модель, которая позволяет разложить индекс товарооборота по факторам:

I_pq = I_p * I_q

Индексы связанных между собой показателей называются сопряженными индексами.

Их взаимосвязь дает возможность по двум имеющимся индексам находить третий индекс.

Абсолютное изменение товарооборота за счет изменения одного фактора - цены (Δр) или физического объема продукции (Δq) называется частным абсолютным изменением товарооборота.

Абсолютное изменение товарооборота в целом за счет двух факторов(ценностного и количественного)называетсяобщим изменением товарооборота.

Частные и общее изменение товарооборота взаимосвязаны между собой:

,

что позволяет проверить правильность ранее выполненных расчетов.

· Агрегатный индекс себестоимости характеризует уровень себестоимости нескольких видов продукции, выпускаемых предприятием, причем себестоимость взвешивается по объему производства отдельных видов продукции текущего периода:

Числитель этого индекса отражает затраты на производство текущего периода, а знаменатель – условную величину затрат при сохранении себестоимости на базисном уровне.

Разность числителя и знаменателя показывает сумму экономии предприятия от снижения себестоимости:

Индекс затрат на производство, взвешенный по себестоимости имеет следующий вид:

Абсолютное изменение затрат на производство за счет двух факторов - изменения себестоимости и физического объема определяется аналогичным образом:

Указанные индексы (I_z, I_q, I_zq)являются сопряженными и также взаимосвязаны между собой:

I_z

· Агрегатный индекс производительности труда и агрегатный индекс трудоемкости взаимосвязаны между собой, т.к. производительность труда является обратным показателем трудоемкости, т.е. количество продукции, вырабатываемое в единицу времени (в натуральном выражении), и затраты времени на единицу продукции можно представить формулой:

Следовательно, снижение трудоемкости в отчетном периоде по сравнению с базисным свидетельствует о росте производительности труда.

Агрегатный индекс трудоемкости можно представить:

Агрегатный индекс производительности труда имеет вид:

Числитель данного индекса представляет собой условную величину, показывающую, какими были бы затраты времени на выпуск продукции, если бы трудоемкость не изменилась, а знаменатель формулы отражает реально имевшие место затраты времени на выпуск всей продукции в текущем периоде.

Индекс производительности труда по трудоемкости ( ) связан c индексом затрат рабочего времени (труда) (I_T) и с индексом физического объема продукции, взвешенным по трудоемкости (I_q):

, где .

8.2.3. Индексы средние из индивидуальных – это форма индексов, вычисленных как средние арифметические или средние гармонические индексы.

Любой общий индекс можно представить как среднюю взвешенную из индивидуальных индексов. Однако при этом форму средней выбирают таким образом, чтобы полученный средний индекс был тождествен исходному агрегатному индексу.

Если стоимость проданной продукции в текущем периоде составляет величину – p₁ q₁, индивидуальные индексы цен : i_р , тогда в знаменателе формулы агрегатного индекса цен ( ) можно сделать замену:

Таким образом, общий индекс цен будет выражен в форме средней гармонической из индивидуальных индексов:

.

Абсолютное изменение товарооборота определяется как разность между числителем и знаменателем формулы:

Решение типовых задач

8.3.1.Имеются следующие данные о реализации плодово–ягодной продукции предприятиями потребительской кооперации в регионе:

наименование товара	июнь	июль	расчетные графы, руб.
цена за 1 кг,руб. (p0)	продано, тонн (q0)	цена за 1 кг, руб. (р1)	продано, тонн ( q1)	p0 q0	p1 q1	p0 q1
персики абрикосы клубника
итого	-	-	-	-

Определите:

1. индекс цены и абсолютное изменение цены в июле по сравнению с июнем;

2. индекс физического объема;

3. индекс товарооборота продажи всей плодово-ягодной продукции;

4. проверьте правильность вычислений.

Решение:

Индекс товарооборота по всей продукции находим по формуле агрегатного индекса товарооборота:

= или 79,9%

Мы получили, что товарооборот в целом по всему ассортименту товаров в текущем периоде по сравнению с базисным уменьшился на 20,1%

(79,9%- 100%).

Вычислим индекс цен:

₌ или 73,2%

Следовательно, цены в июле по сравнению с июнем в среднем снизились на 26,8% (73,2%-100%).

Числитель и знаменатель агрегатного индекса цен можно интерпретировать с точки зрения потребителей. Числитель представляет собой сумму денег, фактически уплаченных покупателем за приобретённые в текущем периоде товары. Знаменатель же показывает, какую сумму покупатель заплатил бы за те же товары, если бы цены не изменились.

Разность числителя и знаменателя будет отражать величину экономии (если знак “-”) или перерасхода (“+”) покупателей от изменения цен:

∆_p = ∑p₁q₁ - ∑p₀q₁ = 4422 – 6042 = – 1620 тысяч рублей

Индекс физического объёма реализации составит:

₌ или 109,2%

Физический объём реализации (товарооборота) в июле увеличился на 9,2% (109,2%-100%) по сравнению с июнем.

Используя взаимосвязь индексов, проверим правильность вычислений:

I_pq = I_p * I_q = 0,732 * 1,092 = 0,799 или 79,9%

8.3.2.Выпуск продукции по промышленному предприятию за 2 квартала:

вид продукции	выпуск, шт.	отпускная цена за шт., тыс.руб.
1 кв-л (q0)	11 кв-л (q1)	1 кв-л (р0)	11 кв-л (р1)
1. погрузчики 2. плуги прицепные 3. культиваторы			4,8 7,1   5,0	5,4 7,6   5,7

Определите:

1. изменения (в %) выпуска каждого вида продукции, а также изменение выпуска продукции в целом по предприятию;

2. изменение цен (в %) по каждому виду продукции и среднее изменение цен по всему ассортименту продукции;

3. Абсолютное изменение общей стоимости продукции, выделив из общей суммы изменение за счёт изменения количества продукции и за счёт изменения цен.

Решение:

1.Для характеристики изменения выпуска каждого вида продукции исчисляем индивидуальные индексы физического объёма продукции:

i_q =

Погрузчики i_q = или 104,4%, т. е. выпуск увеличился на 4,4% (104,4% - 100%).

Плуги прицепные i_q = или 98,3%, следовательно, выпуск плугов прицепных снизился на 1,7% (98,3% – 100%).

Культиваторы i_q = или 102,8% , т. е. увеличился выпуск на 2,8% (102,8%-100%).

Для характеристики изменения выпуска продукции в целом по предприятию исчисляем агрегатный индекс физического объёма продукции:

= или 101,3%

т. е. в целом по предприятию выпуск продукции увеличился на 1,3%,

в результате стоимость продукции увеличилась на D pq(q) = 673 тыс. руб. (51973 - 51300).

2. Для характеристики изменения цен по каждому виду продукции используем индивидуальные индексы цен:

i_{p =}

Погрузчики i_p = или 112,5%,следовательно,цена погрузчиков повысилась на 12,5% (112,5% - 100%).

Плуги прицепные i_p = или 107,0%, т. е. цена возросла на 7,0%

(107,0%-100%).

Культиваторы i_p = или 114,0%, т. е. цена увеличилась на 14,0% (114,0%-100%).

Среднее изменение цен по всему ассортименту продукции определяется по формуле агрегатного индекса цен:

₌ или 110,8%

Таким образом, цены на продукцию предприятия повышены в среднем на 10,8% (110,8%-100%), за счёт чего стоимость продукции повысилась на

D pq (p) = 5631 тыс. руб. (57604 - 51973).

3. Абсолютное изменение стоимости продукции определяется по формуле:

D pq = p₁ q₁ - p₀ q₀ = 57604 – 51300 =6304тыс.руб.,

где:

D pq(q) – абсолютное изменение стоимости продукции за счёт изменения выпуска продукции;

D pq(q) = 673 тыс. руб.

Dpq (p) – абсолютное изменение стоимости продукции за счёт изменения цен;

Dpq (p) = 5631 тыс. руб.

Δpq= D pq(q) + Dpq (p) = 673 + 5631 = 6304 тыс.руб.,

что соответствует ранее полученной сумме изменения стоимости всего ассортимента продукции во втором квартале по сравнению с первым кварталом.

8.3.3. По предприятию имеются следующие данные о реализации продукции:

вид продукции	единицы измерения	реализовано	общая стоимость реализованной продукции, тыс.руб.
сентябрь (q0)	октябрь (q1)	сентябрь (q0 p0)	октябрь (q1 p1)
цемент М-400 портланд кирпич красный М-100	тонны тыс.штук

Определите:

1. среднее изменение цен на реализованную продукцию и абсолютное изменение стоимости реализованной продукции за счёт изменения цен;

2. общее изменение физического объёма реализованной продукции предприятия и абсолютное изменение стоимости реализованной продукции за счёт изменения её физического объёма.

Решение:

1.Среднее изменение цен на реализованную продукцию определяется по формуле агрегатного индекса цен:

_, где:

∑p₁q₁ – стоимость реализованной продукции за октябрь;

∑p₁q₁ = 9594 + 3520 = 13114 тыс. руб.

Для расчёта ∑p₀q₁ необходимо по первичной информации исчислить цены за единицу продукции в сентябре:

цемент p₀ = 8918000 : 18200 = 490 руб.

кирпич p₀ = 2958000 : 3400 = 870 руб.

∑ p₀q₁ = 490 * 19500 + 870 * 4000 = 9555000 + 3480000 = 13035000 руб. = =13035 тыс. руб.

Следовательно, цены на продукцию предприятия повышены в среднем на 0,60% (100,60% - 100%).

Изменение стоимости реализованной продукции за счёт изменения цен на продукцию составило:

∆p = ∑p₁q₁ - ∑p ₀q₁ = 13114 – 13035 = 79 тыс. руб.

2. Для характеристики изменения физического объёма реализованной продукции предприятия исчисляется агрегатный индекс физического объёма продукции:

₌ или 109,8% ,

т.е. в целом по предприятию физический объём реализованной продукции увеличился на 9,8% (109,8% – 100%).

Изменение стоимости реализованной продукции за счёт изменения объёма реализованной продукции:

D pq(q) = p₀ q₁ - p₀ q₀ = 13035-11876=1159 тыс.руб. ,

т.е. имеется увеличение на 1159 тыс. руб.

Проверка: Общий прирост стоимости реализованной продукции составил:

∆_pq = ∑q₁p₁ - ∑q₀p₀ = 13114 – 11876 = 1238 тыс.руб.

∆_pq = ∆_р + ∆_q = 79 + 1159 = 1238 тыс.руб.,

что и соответствует раннее полученному результату.

8.3.4.Количество произведённой продукции в отчётном периоде по сравнению с базисным увеличилось на 8,0%, а общая стоимость продукции уменьшилась на 5,0%.

Определите, как изменились в среднем отпускные цены на продукцию.

Решение:

Для определения индекса цен можно использовать взаимосвязь между 3 сопряженными индексами:

I_pq = I_p * I_q

Отсюда:

или 97,2%

Следовательно, отпускные цены на продукцию снижены в среднем на 2,8% ( 97,2%-100%).

8.3.5.Имеются следующие данные о выпуске продукции металлургического комбината:

вид продукции	1 квартал	II квартал	III квартал
выпуск, тонн (q0)	отпускная цена за 1 тонну, руб. (p0)	выпуск, тонн (q1)	отпускная цена за 1 тонну, руб.(p1)	выпуск, тонн (q2)	отпускная цена за 1 тонну (p2)
железо листовое сталь арматурная рельсы

Определите агрегатные цепные и базисные индексы физического объема продукции, цен и общей стоимости продукции.

Покажите взаимосвязь вычисленных индексов и сформулируйте вывод.

Решение:

Агрегатные индексы физического объема характеризуют изменение выпуска продукции в целом по предприятию.

Определим цепные агрегатные индексы физического объема продукции:

₌ или 103,1%.

Следовательно, во II квартале по сравнению с 1 кварталом физический объем продукции по предприятию увеличился на 3,1% (103,1%-100%).

или 105,7%.

В III квартале по сравнению со II кварталом физический объем продукции возрос на 5,7%.

Определим базисные агрегатные индексы физического объема продукции:

(соответствует первому цепному индексу);

или 109,0%.

В III квартале физический объем продукции предприятия возрос по сравнению с 1 кварталом на 9,0%.

2. Агрегатные индексы цен характеризуют среднее изменение цен по всему ассортименту продукции.

Цепные агрегатные индексы цен определим по формуле:

или 100,8%

Следовательно, цены на продукцию во II квартале по сравнению с 1 кварталом возросли в среднем на 0,8% (100,8%-100%).

или 105,7%

В III квартале по сравнению со II кварталом цены на продукцию предприятия увеличились на 5,7%.

Базисные агрегатные индексы цен исчислим по следующим формулам:

(соответствует первому цепному индексу);

или 106,5%.

В III квартале по сравнению с I кварталом цены на продукцию предприятия выросли в среднем на 6,5%.

3. Агрегатные индексы общей стоимости продукции предприятия отражают ее изменение по всему ассортименту выпускаемой продукции.

Цепные агрегатные индексы общей стоимости продукции определим по формуле:

или 103,9%

Во II квартале по сравнению с 1 кварталом было выпущено продукции общей стоимостью больше на 3,9%.

или 111,7%

В III квартале по сравнению со II кварталом на предприятии было выпущено продукции общей стоимостью на 11,7% больше.

Базисные агрегатные индексы общей стоимости выпущенной продукции:

или 103,9% (соответствует первому цепному индексу);

или 116,1%.

Таким образом, общая стоимость продукции предприятия в III квартале увеличилась по сравнению с 1 кварталом на 16,1%.

4. Взаимосвязь вычисленных индексов.

Как сопряженные индексы агрегатный индекс общей стоимости продукции равен произведению агрегатного индекса физического объема продукции на агрегатный индекс цен, если коэффициенты соизмерения в первом индексе взяты из базисного периода, а веса во втором индексе – из текущего периода:

I_pq1 = I_q1 * I_p1баз= 1,031 * 1,008 = 1,039,

что и соответствует ранее полученному значению.

Абсолютное изменение общей стоимости продукции предприятия по всему ассортименту выпускаемой продукции:

D pq = p₁ q₁ - p₀ q₀ = Dpq (p) + D pq(q) = ∆_р + ∆_q , где:

Δр или Dpq (p) – абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет изменения цен на продукцию;

Δq или D pq(q) - абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет изменения выпуска продукции.

D pq(q_1цепн) = p₀ q₁ - p₀ q₀ = 19015000 – 18445000 = 570000 руб.

D pq(р_1цепн) = ∑ p₁ q₁ - ∑ p ₀ q₁ = 19160000 – 19015000 = 145000 руб.

D pq_1цепн = 19160000-18445000 = 715000 руб.

D pq_1цепн = 570000 + 145000 = 715000 руб.

I_рq2 = I_q2 * I_p1баз = 1,057 * 1,057 = 1,117,

что соответствует ранее полученной величине.

D pq_2цепн = = 21410000 – 19160000 = 2250000 руб.

D pq(q_2цепн)= = 20257000 – 19160000 = 1097000 руб.

D pq(р_2цепн)= = 21410000 – 20257000 = 1153000 руб.

D pq(р_2цепн) + D pq(q_2цепн) = 1097000 + 1153000 = 2250000 руб.