Розв’язання типової задачі з теми. Студенту слід засвоїти види степеневих середніх і прийоми їх обчислення за незгрупованими (прості середні) і за згрупованими (зважені середні) даними
Студенту слід засвоїти види степеневих середніх і прийоми їх обчислення за незгрупованими (прості середні) і за згрупованими (зважені середні) даними.
Середня арифметична і середня гармонічна є взаємооберненими. Їх формула у загальному вигляді:
Загальна середня = 
Формули для розрахунку зведені у таблицю:
| Види середніх | Формули середніх | |
| Проста, обчислюється за незгрупованими даними | зважена, обчислюється за згрупованими даними | |
| Арифметична |   |  |
| Гармонічна |  |  |
Позначення: 
- загальна середня; 
- індивідуальні значення варіюючої ознаки, із яких шукають просту середню; 
- групові середні значення варіюючої ознаки, із яких шукають зважену середню; n – число одиниць сукупності; 
- частота або частка в ряді розподілу, яка показує скільки разів зустрічається у ряді розподілу кожне значення групової середньої величини; Mi – обсяговий, результативний показник, який показує суму індивідуальних значень варіюючої ознаки, що потрапили до кожної групи.
Справедливий взаємозв’язок: 
; 
; 
.
Якщо середнє значення ознаки знаходять за згрупованими даними, то варіантами виступають або відомі групові середні ( 
):
,
або умовно знайдені середні кожного інтервалу:
= (xпочатк. + хкінцев )/2
- це показник обсягу ознаки на одну одиницю сукупності в групі. Якщо відоме число таких одиниць, то завжди можна знайти обсяг явища по групі (суму індивідуальних значень варіантів, що потрапили до групи):
Сума обсягів явища по групах дає суму обсягу явища по усій сукупності (чисельник загальної середньої), а 
.
Якщо ж відомі дані про групові обсяги явища по кожній групі і групові середні, але невідоме число одиниць сукупності по групах, то його знаходять діленням групового обсягу явища на відповідну групову середню:
Правила вибору формули середньої для розрахунку середньої зваженої (арифметичної чи гармонічної):
1. Будується вихідне співвідношення середньої, тобто записується словами формула для розрахунку величини, із значень якої треба знайти загальне середнє значення, наприклад, треба знайти середню чисельність працівників на одну бригаду ( 
):
= 
2. Якщо відомі дані про показник, що стоїть у знаменнику вихідного співвідношення середньої, то розрахунок середньої проводять за формулою арифметичної зваженої.
3. Якщо відомі дані про показник, що стоїть у чисельнику вихідного співвідношення середньої, то її розраховують за формулою гармонічної зваженої.
4. Вагами при розрахунку середньої може виступати тільки чисельник, або знаменник вихідного співвідношення середньої, на сторонній показник зважувати не можна.
5. Середня знайдена вірно, якщо результат розрахунків і в чисельнику і в знаменнику має економічний зміст і відповідає вихідному співвідношенню.
Приклад Відомі наступні дані про виробництво фірмою однорідних товарів двох видів за звітний місяць:
| Назва товару | Фірма №1 | Фірма №2 | ||
| Ціна за од., грн. | Кількість вироблених товарів, од. | Ціна за од., грн. | Вироблено на суму, грн. | |
| А | 0,40 | 0,50 | ||
| Б | 1,20 | 1,50 |
Знайдіть середню ціну за одиницю товару двох видів разом:
а) по фірмі №1
б) по фірмі №2
Розв’язання
1. Побудуємо вихідне співвідношення середньої (це ціна, значить треба записати формулу для розрахунку ціни)
ціна 
= 
2. Середня ціна у фірмі №1 розраховується за арифметичною зваженою, так як роль вагів виконує показник, що стоїть у знаменнику вихідного співвідношення:
середня ціна 
= 0,88 грн. за од.
Середня ціна у фірмі №2 розраховується за гармонічною зваженою, так як роль вагів виконує показник, що стоїть у чисельнику вихідного співвідношення:
Середня ціна 
1,13 грн. за од.
Задачі і завдання для виконання на практичних заняттях і домашніх робіт
4.21. Ціна 1 л молока на міських ринках характеризується такими даними:
| Назва ринку | Продано молока за місяць, (л) | Ціна за 1 літр, грн. | ||
| травень | червень | у травні | у червні | |
| Центральний | 2,6 | 2,5 | ||
| Привокзальний | 2,5 | 2,4 |
Визначте середньомісячну ціну за 1 л молока за кожен місяць.
4.22. Відомі наступні дані по харчосмаковій фабриці:
| Назва виробу | Минулий (базисний) рік | Звітний рік | ||
| Витрати на 1 кг, грн. | Витрати на всю продукцію, грн. | Витрати на 1 кг, грн. | Вироб-лено продукції, кг. | |
| Макаронні вироби | 0,5 | 0,6 | ||
| Крупа рисова | 1,8 | 2,1 |
Розрахуйте середню собівартість за 1 кг бакалійних виробів на фабриці а) у минулому році; б) у звітному році.
4.23. Відомі наступні дані у розрізі регіонів країни за рік:
| Регіони країни | Середньо душовий доход на одного жителя регіону, грн. | Число жителів у регіоні, тис. чол. | Середня чисельність однієї сім’ї (коефіцієнт сімейності), раз. |
| А | 2,5 | ||
| Б | 2,3 | ||
| В | 2,9 |
Розрахуйте середньо душовий доход на одного жителя країни та середній коефіцієнт сімейності по країні в цілому.
4.24. Відомі дані по обстежених фірмах:
| Групи фірм за відносною ве-личиною вико-нання плану прибутку, % | Кількість фірм у групі, одиниць | Фактичний прибуток усіх фірм у минулому (базисному) році, тис. грн. | План прибутку усіх фірм на звітний рік, тис. грн. | |
| Минулий рік | Звітний рік | |||
| 100 –102 | ||||
| 102 –104 | ||||
| 104 –106 | - | - |
Знайдіть середню суму прибутку у розрахунку на одну фірму у базисному році та середній процент виконання плану прибутку в цілому по сукупності фірм у кожному році.
За приведеними даними розрахуйте середній рівень рентабельності по фірмі в цілому: а) у базисному році; б) у звітному році.
| Філії | Базисний рік | Звітний рік | ||
| Рентабель-ність, % (прибуток на 1 грн. реалізованої продукції) | Сума прибутку тис. грн. | Рентабель-ність,% (прибуток на 1 грн. реалізованої продукції) | Обсяг реалізованої продукції, тис. грн. | |
| № 1 | 5,6 | 50,4 | 4,8 | |
| № 2 | 8,4 | 100,8 | 6,3 |
4.26. Відомі наступні дані:
(суми – у тис.грн.)
| Філії однієї фірми | Базисний рік | Звітний рік | ||
| Вироблено продукції у розрахунку на одного робітника | Кількість робітників, чол. | Вироблено продукції у розрахунку на одного робітника | Увесь обсяг товарної продукції | |
| У м. Гадячі | ||||
| Ум. Полтаві | ||||
| У м. Миргороді | ||||
| У м. Кременчуці |
Розрахуйте середній виробіток у розрахунку на 1 робітника по фірмі в цілому (по всіх філіях разом): а) за базисний рік; б) за звітний рік.
4.27. Відомі наступні дані по двох фірмах за рік:
| Фірми | Виробіток миючих засобів на 1 робітника, грн. | Вироблено усього миючих засобів на суму, (тис. грн.) | Питома вага мила господарського у загальному обсязі вироблених миючих засобів, (%) |
| А | 50,0 | 10,5 | |
| Б | 65,0 | 6,5 |
Розрахуйте середній виробіток миючих засобів по двох фірмах в цілому та середню частку мила господарського у загальному обсязі продукції в цілому по двох ринках.
4.28. Відомі дані у розрізі обстежених фірм:
| Групи фірм за часткою робітників у загальній чисельності працівників | Кількість фірм у групі, одиниць | Число робітників усього по групі фірм, чол. (у базисному році) | Число працівників усього по групі фірм, чол. (у звітному році) | |
| Минулий рік | Звітний рік | |||
Знайдіть середню чисельність працівників у розрахунку на 1 фірму в цілому по сукупності та середню частку робітників в цілому по сукупності фірм у кожному році.
4.29. У цеху є дві дільниці, на кожній працює бригада робітників. Середня заробітна плата на 1 робітника по цеху в цілому становить 150 грн., по дільниці №1 – 120 грн., по дільниці №2 – 170 грн. Знайдіть частку кожної дільниці у загальній чисельності робітників.
4.30. Відомі наступні дані: (суми – в тис.грн.)
| Номери бригад, що працюють у фірмі | Базисний рік | Звітний рік | ||
| Кількість робітників, чол. | Середній виробіток продукції на 1робітника | Загальний обсяг виробленої продукції | Середній виробіток продукції на 1 робітника | |
| Відділ №1 | 315,0 | 2086,0 | 298,0 | |
| Відділ №2 | 290,0 | 4004,0 | 286,0 |
Розрахуйте середній виробіток на 1 робітника по фірмі в цілому (по двох бригадах разом): а) за базисний рік; б) за звітний рік.
.
4.31. Відомі дані за два місяці поточного року:
| Групи фірм за середньою заробітною платою 1 працівника, грн. | Кількість фірм у групі, одиниць | Квітень | травень | |
| квітень | травень | Фонд заробіт-ної плати, разом по групі фірм, грн. | Число праців-ників, разом по групі фірм, чол. | |
Знайдіть середню заробітну плату 1 працівника за місяць в цілому по сукупності фірм та середній фонд заробітної 1 фірми в цілому по сукупності фірм у кожному місяці.
Модуль 2. «Показники варіації та їх практичне застосування у статистичних дослідженнях»