Пример прогноза текущего запаса на складе

Рассмотрим применение методов прогнозирования на основе данных расхода деталей на складе, взятом из работы [2]. В табл. 7.1. приведены три реализации текущего расхода; для каждой реализации даны величины расхода за день и интегральные характеристики, представляющие собой расход деталей со склада за соответствующий цикл.

Проиллюстрируем возможные варианты прогнозов для одной реализации и для ансамбля из трех реализаций.

Пример 1. Воспользуемся первой реализацией. Допустим, что нам известны значения расхода деталей со склада за пять дней работы, табл.7.2.

Выберем уравнение тренда в виде линейной зависимости

y_t = a₀ + a₁ t (7.2.)

Расчет коэффициентов уравнения a₀ и a₁ производится по формулам:

a₀ = (7.3.)

a₁ = (7.4.)

Напомним, что формулы (7.3.),(7.4) получены на основе метода наименьших квадратов.

Входящие в формулы значения сумм рассчитаны в табл. 7.2. Подставляя их значения, находим a₀ = 45,2, a₁ = -3,0. Таким образом, уравнение прогноза пишется в виде

y_t = 45,2 – 3,0t

Таблица 7.1.

Динамика спроса в течение трех циклов расхода запасов

1-й цикл	2-й цикл	3-й цикл
День j	Спрос ед.	Всего с начала цикла	День j	Спрос ед.	Всего с начала цикла	День j	Спрос ед.	Всего с начала цикла
				* *
Примечание: * - дефицит

Для оценки границ интервального прогноза необходимо рассчитать среднее квадратичное отклонение

(7.5)

Вспомогательные расчеты приведены в табл. 7.2. Подставляя значения в формулу (7.5), находим σ_t

σ_t =

На основании полученных зависимостей y_i и σ_t раcсчитываются прогнозные оценки

· среднего времени расхода текущего запаса ;

· страхового запаса у_с с заданной доверительной вероятностью Р;

· вероятности отсутствия дефицита деталей на складе в течение прогнозируемого периода.

Расчет прогнозной величины среднего времени расхода производится по формуле (7.2). Приняв y_t = 0, находим

дней

Для расчета страхового запаса воспользуемся формулой

(7.6)

где σ_t – среднее квадратичное отклонение, формула (7.5);

t_β – параметр нормального закона распределения, соответствующий доверительной вероятности β.

Параметр t_β определяет для нормального закона число средних квадратических отклонений, которые нужно отложить от центра рассеивания (влево и вправо) для того, чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна b.

В нашем случае доверительные интервалы откладывают вверх и вниз от среднего значения y_t.

На рис. 7.2. приведены границы, соответствующие y_t ± σ.

В табл. 7.3. приведены наиболее часто встречающиеся в практических расчетах значения вероятности b и параметра t_b для нормального закона распределения.

Таким образом, страховой запас рассчитывается также, как и границы интервального прогноза, т.е. по формуле (7.6).

Таблица 7.2.

Исходные данные и результаты расчета

коэффициентов уравнения (7.2) при N = 5

ti, дни	yi, ед.	ti2	yiti	прогноз	(yt - yi)2
Суммы
*Примечание: значения округлены

Для рассматриваемого примера для доверительной вероятности b=0,9 находим по табл. 7.3 t_b = 1,643 и по формуле (7.5) величину страхового запаса

y_c = 1,8×1,643 = 2,96.

Примем y_c = 3,0.

На рис. 7.2. приведены границы интервального прогноза при b=0,9.

Рассчитанное значение страхового запаса соответствует только одному дню наступления дефицита, а именно согласно прогнозу Т=15. Для учета возможных нарушений срока поставки, необходимо также при расчете страхового запаса оценить влияние задержки, связанной с выполнением заказа, в частности, с транспортировкой.

Рис. 7.2. Прогноз текущего расхода деталей на складе (N = 5)

1-исходные данные; 2-уравнение тренда; 3, 3’-границы интервального прогноза; 4-время расхода запаса Т.

К сожалению, по одной реализации невозможно оценить вероятностный характер длительности функциональных циклов поставки. Однако можно предположить, что выявленная тенденция расхода запаса, формула (7.2), сохраниться. В этом случае, для оценки прогнозной величины страхового запаса можно воспользоваться формулой

y_c^* = |a₁|t+t_bs_t (7.7)

где t - параметр, характеризующий количество дней задержки поставки заказа.

Таблица 7.3.

Доверительная вероятность b и параметр t_b

нормального закона распределения

b	tb	b	tb
0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,91	1,282 1,340 1,404 1,475 1,554 1,643 1,694	0,92 0,94 0,95 0,96 0,98 0,99 0,999	1,750 1,880 1,960 2,053 2,325 2,576 3,290

Рассчитаем величину страхового запаса при условии задержки на один день по сравнению с прогнозной оценкой Т=15 дней, т.е. на 16 день. По формуле (7.7) находим

y_c^* = |-3,0|1,0+1,643×1,8=6,0 ед.

Аналогично, при t=2 (17 день) y_c^*=9,0 ед.

Для оценки вероятности отсутствия дефицита допустим, что отклонения ежедневного расхода деталей от среднего значения (тренда) подчиняются нормальному закону распределения. Тогда, воспользовавшись уравнением функции нормального закона, определим вероятность отсутствия дефицита по формуле

Р(y) = 1 - F(y) = 1 - , (7.8)

где y_t – уравнение тренда, формула (7.2)

s - среднее квадратическое отклонение, формула (7.5).

Таблица 7.4.

Значения^* нормальной функции

распределения Ф (x), вероятности Р(x) и параметра x

x	Ф (x)	Р(x)	x	Ф (x)	Р(x)
0,00 -0,125 -0,253 -0,385 -0,525 -0,675 -0,842 -1,037	0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15	0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85	-1,280 -1,405 -1,555 -1,645 -1,75 -2,05 -2,30 -3,10	0,10 0,08 0,06 0,05 0,04 0,02 0,01 0,001	0,90 0,92 0,94 0,95 0,96 0,98 0,99 0,999
* некоторые значения округлены

Сделаем в интеграле замену переменной

(7.9)

и приведем его к виду

F(x) = , (7.10)

Интеграл (7.10) не выражается через элементарные функции, поэтому для расчетов можно воспользоваться численными методами и ЭВМ или специальными таблицами. Для нормальной функции распределения с параметрами среднее значение m_x=0 и s_x=1.

Ф(x) = (7.11)

Очевидно, что F(y) = Ф( ).

В табл. 7.4. приведен ряд значений функции Ф(x) и Р(x).

Между параметрами b и x, а также b и Ф(x) существует соотношение

2Ф(x) – 1 = b (7.12)

На рис. 7.3 приведены графики нормальной функции распределения и плотности нормального распределения.

Появление дефицита означает, что текущая величина запаса на складе равна нулю, т. е. y = 0.

Следовательно, для определения вероятности отсутствия дефицита необходимо:

· по формуле (7.9) рассчитать x= ;

· по табл. 7.4 с помощью x найти Р(x).

Для рассматриваемого примера рассчитаем вероятности отсутствия дефицита деталей на складе на 13, 14 и 15 день. Так, для t=13 получаем

,

и

x = .

По табл. 7.4 находим Р(Т=13)>0,999, т.е. вероятность дефицита ничтожно мала.

Аналогично, для Т=14 получим ; x = -1,78, и вероятность отсутствия дефицита Р_Т=14 @ 0,95.

Наконец, для Т=15, вероятность отсутствия дефицита Р @ 0,5.

Следует подчеркнуть, что также как при оценке прогнозной величины страхового запаса, определение вероятности отсутствия дефицита по одной реализации справедливо только при строгом соблюдении сроков поставки. Если они не соблюдаются, то расчет должен проводиться с учетом рассеивания длительности функциональных циклов поставки.

а) б)

Рис. 7.3. Нормальный закон распределения:

а) плотность распределения; б) функция распределения.

В заключении определим ошибку прогноза среднего времени Т, поскольку имеются реальные данные о текущем расходе в табл. 7.1.

D_Т = ×100% (7.13)

где Т_ф, Т_п – соответственно фактическая и прогнозная продолжительность цикла, дн.

Подставив значения в (7.13), находим

D_Т = ×100%=50%

Ошибка прогноза велика, но это закономерно, так как нарушено одно из эмпирических правил экстраполяционного прогнозирования: между предпрогнозным периодом t и периодом упреждения (прогноза) t =Т- t должно соблюдаться соотношение:

(7.14)

Если следовать соотношению (7.14), то при t = 5 допустимая величина времени прогноза

Т= (7.15)

Следовательно, величина надежного прогноза соответствует Т@7 дней и период упреждения составляет t=2 дня.

Пример 2. В работе [2] указывается, что средняя длина функционального цикла расхода запасов составляет =10 дней. Тогда, по формуле (7.15) находим t=7,5 дней.

Увеличим длину динамического ряда до N=7 и, выполнив аналогичные расчеты (табл. 7.5), получим уравнение тренда

y^*_t=47-3,9t

Соответственно, s_t^*=2,1.

Рассчитаем среднее прогнозное время расхода запаса со склада

= дней,

и ошибку прогноза, формула (7.13)

D_Т = ×100%=20%

Таблица 7.5

Исходные данные и результаты расчета

коэффициентов уравнения (7.2) при N=7

ti	yi	ti2	yiti		( -yi)2
				43,1	4,41
				39,2	0,04
				35,3	7,29
				31,4	12,96
				27,6	0,25
				23,6	0,36
				19,7	0,49
Суммы

Рассчитаем величину страхового запаса для 12, 13 и 14 дня по формуле (7.7). Примем b=0,95, т. е. t_b=1,96. Тогда

y_c(t = 0)=|-3,9|×0+1,96×2,1=4,11 » 4,0

y_c(t = 1)=|-3,9|×1+4,0 » 8,0

y_c(t = 2)=|-3,9|×2+4,0 » 12,0

Определим вероятность дефицита на складе на десятый день.

По формуле (7.9) находим х= ; по табл. (7.4) Р_Т=10»1,0, т.е. наличие дефицита маловероятно. Аналогично для Р_Т=11 » 0,98, для Р_Т=12 » 0,6.

Рис. 7.4. Прогноз текущего расхода деталей на складе (N = 7)

1-исходные данные; 2-уравнение тренда; 3, 3’-границы интервального прогноза; 4-время расхода запаса Т.

Пример 3. Рассмотрим ансамбль из трех реализаций расхода деталей на складе. Как и в предыдущем примере допустим, что информация ограничена 7 днями.

Рассчитаем средние значения и дисперсии для каждого дня прогнозного периода по формулам:

, (7.16)

(7.17)

Например, для 1 дня найдем

.

Результаты расчетов приведены в табл. 7.6.

Для аппроксимации средних значений m(t) выберем линейную зависимость

m(t)=b₀+b₁t (7.18)

Воспользовавшись методом наименьших квадратов, найдем коэффициенты b₀ и b₁. Спрогнозируем среднюю величину времени расхода запаса.

Т= дн.

Зависимости D(t) и s(t) носят явно нелинейный характер и для точных прогнозов они могут быть аппроксимированы полиномами различных порядков, например, в виде параболы.

s(t)=c₀+c₁t+c₂t² (7.19)

В первом приближении ограничимся средними значениями дисперсии и среднего квадратического отклонения s, которое рассчитывается по формуле

(7.20)

При подстановке значений из табл. 7.6 находим

s=

Рассчитаем величину страхового запаса.

В первом случае расчет производится по формуле (7.6). Например, при b=0,95 находим

y_c=1,96×4,81=9,42»9

Таблица 7.6.