Задания и задачи. 1. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведе­ния профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра)

1. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведе­ния профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление де­фектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 ч. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмот­ра необслуженной. Определить вероятности состояний и характе­ристики обслуживания профилактического пункта осмотра.

2. Решить задачу 1 для случая s = 4 канала (групп про­ведения осмотра). Найти число каналов, при котором относитель­ная пропускная способность пункта осмотра будет не менее 0,9.

3. Анализируется работа междугородного переговорного пун­кта в небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для переговоров. В среднем за сутки поступает 240 заявок на пере­говоры. Средняя длительность переговоров (с учетом вызова або­нентов в другом городе) составляет 5 мин. Никаких ограничений на длину очереди нет. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном режиме.

4. Решить задачу 3 для случая s = 3 телефонных аппа­ратов.

5-6. Решить задачи 1, 2 при условии, что ма­шина, прибывшая на пункт осмотра, покидает этот пункт лишь в случае, если в очереди на осмотр стоят более 5 машин.

7-8. Решить задачи 3, 4 при условии, что длина очереди не должна превышать 60 чел.

9. В парикмахерской работают 3 мастера, а в зале ожидания расположены 3 стула. Поток клиентов имеет интенсивность 12 клиентов в час. Среднее время обслуживания 20 мин. Определить относительную и абсолютную пропускную способность системы, среднее число занятых кресел, среднюю длину очереди, среднее время, которое клиент проводит в парикмахерской.

10. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью 0,5 отказа в час, среднее время ремонта 0,8 ч. Определить пропускную способность системы.

11. Два рабочих обслуживают группу из четырех станков. Остановки работающего станка происходят в среднем через 30 мин. Среднее время наладки составляет 15 мин. Найдите среднюю долю свободного времени для каждого рабочего и среднее время работы станка.

Найдите те же характеристики для системы, в которой:

а) за каждым рабочим закреплены два станка;

б) два рабочих всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью;

в) единственный неисправный станок обслуживают оба рабочих сразу (с двойной интенсивностью), а при появлении еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает один станок.

12. Пусть на аэродром самолеты прибывают с интенсивностью 27 самолетов в час, время приземления составляет 2 минуты, допускается нахождение над аэродромом не более m = 10 самолетов. Нужно определить число N посадочных полос, гарантирующее вероятность отказа, не превышающую 0.05, и среднее время ожидания, не превышающее 5 минут.

13. Пусть имеются станки, которые могут выходить из строя с частотой в среднем 2 раза за смену. Продолжительность ремонта одним оператором составляет около трех часов (оператор одновременно может ремонтировать лишь один станок и не переходит к другому, не отремонтировав предыдущий). Хотелось бы определить число операторов, при котором потери от простоя станков и оплаты лишнего числа операторов были бы минимальны.

Указание: представить систему с N каналами (операторами) и очередью с m местами ожидания (совпадает с числом станков). Если известны потери Сп от простоя станка в течение часа и оплата Ср часа работы оператора, то при семичасовой смене задача сводится к нахождению значения N, которое минимизировало бы значение

где T_очер – время простоя станка за смену.

14. Механическая мастерская завода с тремя постами выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, имеет интенсивность 2.5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма равно 0.5 сут. Предположим, что очередь перед мастерской может расти практически неограниченно. Требуется вычислить предельные значения вероятностных характеристик системы.

15. Система массового обслуживания – билетная касса с тремя окошками (с тремя кассирами) и неограниченной очередью. Пассажиров, желающих купить билет, приходит в среднем 5 человек за 20 мин. Кассир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 минут. Определите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.