Решение экономико-математических задач методами линейного программирования

Наиболее разработанными, хорошо апробированными и распространенными в практике землеустройства являются экономико-математические модели, реализуемые с использованием методов линейного программирования. В моделях этого класса целевая функция и условия (ограничения) задачи представлены в виде системы линейных уравнений и неравенств ( в которых все неизвестные только в первой степени).

Землеустроительные задачи, решаемые методами линейного программирования, должны обязательно удовлетворять следующим требованиям:

- быть многовариантными (их решение не должно быть однозначным);

- иметь точно определенную целевую функцию, для которой ищется экстремальное (максимальное или минимальное) значение;

- иметь определенные ограничивающие условия, формирующие область допустимых решений задач.

Следовательно, линейное программирование представляет собой часть математического программирования, связанную с решением экстремальных задач, в которых целевая функция установка (критерий оптимальности) и условия (ограничения) выражаются линейными функциями.

Для решения задач линейного программирования разработан ряд алгоритмов, наиболее известные из которых – алгоритмы симплексного метода и распределительного метода. Все они базируются на последовательном улучшении некоторого первоначального плана и за определенное число циклических повторяющихся вычислений (итераций) позволяют получить оптимальное решение. После каждой из итераций значение целевой функции улучшается. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнут оптимальный план. Существуют простые критерии, позволяющие на каждой стадии процесса, проверить, является ли вновь полученный план оптимальным. Если оптимум не достигнут, то цикл вычислений повторяют.

Симплекс-метод универсален в том смысле, что позволяет решать задачи, условия которых выражены в различных единицах измерения.

Распределительный метод является специальной разновидностью симплекс-метода, применяемой к любому случаю, где речь идет о распределении определенного количества однородного ресурса между потребителями. Алгоритм распределительного метода также позволяет, начиная с произвольного исходного плана, за определенное число операций получить оптимальное решении задачи (оптимальный план). Он также предполагает проверку оптимальности на каждой итерации, и если решение не достигнуто, вычисления продолжаются.

Все переменные в задачах, решаемых распределительным методом, должны иметь одну и ту же единицу измерения; в землеустройстве они возникают достаточно часто, и потому данный метод находит широкое применение.

2 Методика планирования урожайности сельскохозяйственных культур для проекта землеустройства

Причиной неоднозначности зависимости y = y (x) является зависимость урожайности. Влияние на результативный показатель, помимо качества земли, оказывает множество других факторов: эродированность участков, экспозиция, протяженность и форма склонов, качество обработки почв, микроклиматические условия.

Однозначная функциональная зависимость y = y (x), идеализирующей математической абстракцией, ареальная связь является корреляционной. Это означает, что изменение факторов и результативного показателей коррелированны, но при этом можно указать только тенденцию изменения по неоднозначной зависимости.

Метод корреляции нужен для того, чтобы при сложном взаимодействии посторонних явлений выяснить, какова была зависимость между результатом и фактором, если бы эти факторы не искажали основную зависимость, что достижимо при большом числе наблюдений.

Рассмотрим алгоритм методики планирования урожайности сельскохозяйственных культур для проекта землеустройства на следующих примерах. По многолетним данным статистических исследований, применяя производственные функции, производится планирование урожайности сельскохозяйственных культур с помощью программы Microsoft Excel.

В таблицу заносятся исходные данные (рисунок 1).

Рисунок 1 – Таблица исходных данных

При выполнении корреляционного анализа первоначально выявляется то, как изменяется в среднем результативный признак при изменении данного фактора. Исходя из выше указанных данных, можно сказать, что в течение 21 года произошло уменьшение площади, отдаваемых под посадку картофеля. Следовательно, это оказывает прямое влияние на снижении показателя урожайности.

Для выполнения регрессионного анализа выполняются следующие команды: Данные Анализ данных Регрессия ОК. Вводим интервал Y (значения площади) Вводим интервал Х (значение лет) ОК. Получаем следующую таблицу (рисунок 2).

Рисунок 2 – Вывод итогов регрессионного анализа

Для отображения данной тенденции графически используем следующие команды: Вставка Гистограмма Точечная выделяются точки на графике правая кнопка мыши добавить линию тренда (рисунок 3).

Рисунок 3 - Построение графика линейной функции

Затем устанавливаются основные параметры линии тренда: аппроксимация (сглаживание) линейная, отображение уравнения функции, отображения значения показателя связи (рисунок 4).

	Рисунок 4 – Параметры линии тренда

По выполнению указанных команд на экране отображается итоговый график (рисунок 5), на котором показано уравнение связи и показатель степени связи (так как r = 0,6299 – связь тесная ).

Рисунок 5 - Планирование урожайности картофеля

Аналогичный алгоритм решения представлен на следующем примере (рисунок 6, рисунок 7).

Валовые сборы сельскохозяйственных культур Российской Федерации (крестьянские (фермерские) хозяйства и индивидуальные предприниматели), тысяч тонн

Год

Пшеница

Рисунок 6 – Вывод итогов регрессионного анализа

Выполнив аналогичные команды, получаем графическое отображение заданной функции. В данном случае r = 0,8702; следовательно, связь очень тесная.

Рисунок 7– Планирование урожайности пшеницы

Таким образом, влияние различных факторов на показатель урожайности имеет неоднозначных характер. Из приведенных примеров можно сделать выводы: при увеличении площади под посадку картофеля на единицу урожайность картофеля уменьшится на 42,449 единицы (y = -42,449x + 85285); при увеличении валового сбора на единицу, урожайность пшеницы увеличится на 705, 250 единиц (y = 705,250x - 1E+06).