Математическая концепция экономического равновесия

Огромное влияние на становление современной экономичес­кой науки оказало широкое применение математических мето­дов исследования. Работы крупных экономистов-математиков пер­вой половины XIX в. Н. Капара, У. Уэвеля, А. Курно, Ж. Дюпюи, Г. Госсена заложили основы математической концепции общего экономического равновесия, которая получила развитие во второй половине XIX в. в творчестве маржиналистов — матема­тиков Л. Вальраса, У. Джевонса, В. Парето, Ф. Эджуорта и др.

А. Курно - автор теорий чистой монополии и дуополии. Наиболее крупной фигурой среди математи­ков-экономистов, оказавших непосредствен­ное влияние на творчество основателя нео­классического направления А. Маршалла, был француз Антуан Огюствн Курно (1801— 1877). Его главный труд — «Исследование математических принципов теории богатства» — увидел свет в 1838 г. В нем А. Курно впервые определил и изобразил графически функцию спроса. Кривая спроса А. Курно представляет эмпирическое соотношение между продажами и ценами. Это позволило А. Курно сформули­ровать закон: «спрос увеличивается при падении цены» (D = F(p), где D — спрос, а р — цена). Тем не менее А. Курно утверждал, что цена определяется как полезностью товара, так и покупательной спо­собностью. Рассматривая закономерности ценообразования в раз­личных рыночных режимах, ученый поставил проблему максимиза­ции прибыли. Так, в режиме совершенной монополии цена опреде­ляется максимумом прибыли монополиста по формуле F(p) / Р(р). Функцию совокупного дохода он определял как R — F(p), а функ­цию предельного дохода — М = F{p) + pF(p), где F(p) > 0, — как объективно заданные для монополиста. После этого заданные функ­ции дохода сопоставлялись с функциями совокупных и предель­ных издержек для доказательства максимизации доходов, в случае если монополист производит такой объем продукции, при котором отдельные издержки равны предельному доходу. Анализ максими­зации прибыли А. Курно нашел применение в «Принципах» А. Мар­шалла. В целом математические доказательства А. Курно подкреп­ляли доктрину laissez faire, снимая проблему анализа социальных отношений в сфере производства.

А. Курно заложил не только основы теории чистой монопо­лии, но и теории дуополии. Согласно ей конкуренция основана на том, что покупатели назначают цены, а продавцы приспосаб­ливают объем выпускаемой ими продукции к назначенным ценам. При этом один из дуополистов самостоятельно оценивает функ­цию спроса на продукцию и устанавливает ее объем, предназначен­ный к продаже, при допущении, что объем продукции, выпускаемой конкурентом, остается неизменным. Эта модель была подвер­гнута критике в работах Бертрана и Ф. Эджуорта, которые показа­ли, что предположение А. Курно о постоянном отсутствии реакций дуополистов на поведение друг друга неверно. Взамен Ф. Эджуорт выдвинул идею о неопределенности взаимной реакции фирм, а впоследствии детерминистская симметрия Курно была разрушена с введением в модели реакции фирм (продажи, издержки, количе­ство товара, сервисное обслуживание).

Наряду с теорией чистой монополии и дуополии А. Курно рас­сматривал проблему ценообразования на рынке совершенной кон­куренции. С применением математического анализа он доказы­вал, что дуополисты в конечном счете приходят к равновесной цене, которая в свою очередь будет ниже, чем цена, устанавливаемая при монопольном режиме, но выше, нежели цена при режиме совер­шенной конкуренции. Данный вывод сообразуется с утверждением ученого, что на монопольном рынке производится самый низкий объем продукции, тогда как самый большой объем — при режиме совер­шенной конкуренции, а промежуточный — на рынке дуополии.

Сильное воздействие на развитие математических методов эко­номического анализа маржиналистов оказала книга Г. Госсена «Развитие законов человеческого взаимодействия», о которой упо­миналось ранее в связи с характеристикой австрийской психоло­гической школы. Госсен попытался установить законы общего эко­номического равновесия на основе принципа гедонизма. При этом ученый утверждал, что сформулированные им законы действуют в условиях совершенной конкуренции и при определенных соци­альных условиях, гарантированных государством.

Концепции У. Джевонса. Одним из первых маржиналистов-математиков был английский логик, статистик и экономист Уильям Стэнли Джевонс (1835 - 1882). Его основной труд — «Теория политической экономии» — увидел свет поз­же книги Г. Госсена, однако Джевонс не был знаком с последней. Это дает основание говорить о независимом характере созданных ими концепций, в основание которых были положены гедонисти­ческий (у Г. Госсена) и физиологический (у У. Джевонса) принци­пы. Джевонс сформулировал закон убывающей полезности, ут­верждая, что сила реакции на раздражитель снижается при каждом очередном его повторении в течение определенного промежутка времени. С этих позиций ученый рассматривает феномен обмена. У. Джевонс приходит к выводу, что в состоянии равновесия отно­шения приращений потребляемых товаров должны равняться соответствующим отношениям интенсивности потребностей, удовлет­воряемых в последнюю очередь, а соотношение, в котором обме­ниваются два товара, должно быть обратно пропорционально пре­дельным степеням полезности. У. Джевонс выражает это следую­щим образом: допустим, а и b представляют собой количества двух благ, которыми изначально обладают два индивидуума; х и у будут реально обмененными количествами благ, φ и ψ — предельными полезностями соответствующих субъектов обмена. Тогда

Y φ1(а-х)φ2(х)

X ψ1(y)ψ(b- у).

Чем выше значимость, приписываемая благу, тем меньшее его количество каждый из субъектов желает предлагать для обмена на что-либо еще; предельная полезность обратна количеству распо­лагаемых благ и, следовательно, количеству благ, уступленных при обмене. Очевидно, подобная концепция двусторонней, двутоварной, бартерной торговли не могла быть пригодной для условий конкурентного обмена, что и доказал впоследствии Ф. Эджуорт с помощью построения кривых безразличия. Он показал, что изоли­рованный обмен не приводит к единственным и обусловленным ценам, как это имеет место в концепции У. Джевонса. Ф. Эджуорт, определил кривую безразличия как отражение такой комбинации двух благ, в которой они составляют равную полезность, при этом одна из сторон сделки может улучшить свое положение, не ухудшая положение другой, в отличие от концепции В. Парето. Видимо, осознавая слабость собственной концепции обмена, У. Дже­вонс заключал, что в действительности обмен доставляет макси­мум выгоды, поскольку это «совместимо с неравенством богатства в каждом обществе», т.е. он предположил наличие заданности распределения дохода, а следовательно, и заданности максимума прибыли в реальном хозяйственном процессе.

Что касается теории предложения труда Джевонса, то ее справедливо рассматривают как достаточно крупный вклад в неоклас­сическую теорию. Согласно данной теории человеческие усилия обладают положительной ценностью, а следовательно, труд будет предлагаться до тех пор, пока индивидуум ощущает превышение удовлетворенности над неудовлетворенностью. У. Джевонс предпо­ложил, что тяготы труда с увеличением продолжительности напряже­ния сначала снижаются, затем растут, в то время как предельная полезность продукта, производимого трудом, монотонно убывает. На основе этих предположений был построен следующий график:

На графике верхняя кривая показывает убывающую предель­ную полезность продукта при условии, что приращения продукта происходят благодаря исключительно дополнительному количе­ству труда на единицу продукта. Нижняя кривая показывает тяго­ты труда на единицу продукта. В случае, когда ab = bс, полезность продукта равна тяготам труда, требуемого для его производства, отсюда количество труда, которое будет предлагаться в состоянии равновесия, выражается 0b единицами продукта.

Несмотря на очевидное несовершенство модели, не учитываю­щей действительные условия производства, реальное положение на рынке труда, она явилась исходным пунктом для более поздних выводов о том, что если тягота труда непосредственно и не влияет на объем его предложения, то совершено очевидно воздействие тя­жести труда на выбор рода деятельности и на размер заработной платы и тем самым на относительные цены. Объединяя уравнения тяготы и полезности с уравнением обмена, У. Джевонс пришел к выводу относительно условия равновесия распределения труда и соотношений обмена: предельные полезности обмениваемых про­дуктов относятся так же, как предельная производительность тру­да, затраченного на их производство, или их предельные издержки.

Среди прочих достижений У. Джевонса можно выделить кон­цепцию индексов цен, вскрывающую зависимость между цикла­ми солнечных пятен и экономической конъюнктурой, а также оригинальную теорию капитала.

Л. Вальрас и его поиски экономического равновесия. Поиски решения проблемы общего экономического равновесия были продолжены профессором Лозаннского университета, основателем Лозаннской математической школы Леоном Вальрасом (1834 - 1910). В главном труде Л. Вальраса «Элементы чистой политической экономии, или теории бо­гатства общества» (1874) впервые в истории науки наиболее полно была решена задача формализации ус­ловий равновесия на основе синтеза маржиналистских представлений о полезности, те­ории спроса и предложения и математичес­ких методов. Л. Вальрас попытался ответить на ряд важнейших вопросов. Обязательно ли равновесие на рынках потребительских това­ров соответствует равновесию на рынках фак­торов производства? Может ли гарантировать рынок достижение общего равновесия? Име­ется ли единственное равновесное состояние для множества рынков и какова его устойчивость в этом случае?

Подход Л. Вальраса оказался иным, чем у его предшественни­ков, которые, рассматривая взаимодействие спроса и предложения, полагали, что цены на потребительские товары и факторы произ­водства определяются разновременно. Он разделил всех субъектов производства на две группы: владельцев его факторов (земли, труда и капитала) и предпринимателей. В результате проведенного ана­лиза оказалось, что владельцы факторов производства являются продавцами указанных факторов и одновременно покупателями предметов потребления. Предприниматели, напротив, являются по­купателями производственных факторов и продавцами потребитель­ских товаров. Действительно, при данных объемах предложения фак­торов производства и фиксированных коэффициентах затрат цен факторов производства остаются неопределенными до тех пор, по: фирмы не решат, какой объем продукции они произведут. Однако для принятия данного решения потребуется знание цен на производимые продукты, которые в свою очередь неизвестны до тех пор, пока хозяйства не получат доход от продажи факторов по опреде­ленным ценам. Отсюда следовал вывод об одновременном определении цены на потребительские товары и факторы производства, а экономическая система стала рассматриваться как целое.

Состояние равновесия, которое Л. Вальрас признает в прин­ципе, должно характеризоваться тремя условиями: «...состояние, при котором, во-первых, действительно спрос и предложение про­изводительных услуг (то есть факторов производства — труда, земли и капитала, равны и при котором существует устойчивая постоянная цена на рынке этих услуг; во-вторых, действительные спрос и предложение продуктов равны и существует постоянная и устой­чивая цена на рынке продуктов, и, наконец, продажная цена продуктов равна издержкам, выраженным в производительных услу­гах. Два первых условия относятся к равновесию обмена, третье — к равновесию производства».

Замкнутая математическая система Л. Вальраса для доказатель­ства концепции общего равновесия весьма громоздка в изложе­нии, поэтому воспользуемся более сжатым вариантом, предложен­ным в конце прошлого века шведским ученым Густавом Касселем. Допустим, что цены на рынках потребительских товаров и на рынках факторов производства определяются в результате колеба­ний и уравновешивания спроса и предложения. Коэффициенты производства, соединяющие рынок факторов производства и ры­нок потребительских товаров, отражают участие каждого фактора производства в издержках, образующих цену единицы товара. При наличии r различных факторов производства и п различных потре­бительских товаров пусть Р1, P2, ..., Рп — цены различных потре­бительских продуктов, a q1, q2, ..., qn — цены факторов производ­ства. Обозначим все коэффициенты производства через α с двумя индексами. Первый индекс указывает соответствующий товар, второй — фактор производства, затрачиваемый на изготовление второго продукта. Получаем систему уравнений, определяющих цены потребительских товаров как сумму издержек производства:

α11q1+ α12q2 + α13q3 +...+ α1rqr = P1

α12q1+ α22q2 + α23q3 +...+ α2rqr = P2

…

αnlql + αn2q2 + αn3q3 + ...+ αnrqr = Pn

На основании этой системы линейных уравнений, если извес­тны цены производительных благ q1, q2, ..., qr (а коэффициенты уже заданы уровнем развития технологии), можно определить цены производимых потребительских товаров. Зная их, также легко оп­ределить спрос на соответствующие товары, поскольку он может рассматриваться как функция, где независимыми переменными выступают цены п товаров (т.е. спрос зависит не только от цены конкретного товара, но и от всей структуры цен):

D1 = F1 (P1, P2, …, P_n)

D2 = F2 (P1, P2, …, P_n)

…

D_n = F_n (P1, P2, …, P_n)

Рыночное равновесие предполагает равенство спроса и пред­ложения. Обозначив предложение товаров через S1, S2, ..., Sn, а спрос — через D1, D2, ..., Dn, получим п новых уравнений D1 = S1, D2 = S2, ..., Dn = Sn.

На основании размеров предложения потребительских това­ров и коэффициентов производства возможно определить вели­чину спроса на факторы производства. Для r факторов производ­ства получаем систему из r уравнений:

R1 = α11S1 + α21S2 + … + αn1Sn

R2 = α12S1 + α22S2 + … + αn2Sn

…

Rr = α1rS1 + α2rS2 + … + αnrSn

Представленная совокупность систем уравнений, таким обра­зом, достаточна для определения всех неизвестных, что дает мате­матическое решение задачи.

Следует добавить, что при построениях Л. Вальрас так и не отказался от заданных функций предельной полезности и, следо­вательно, от заданных изначально количеств товаров и услуг, име­ющихся на рынке. Кроме того, до выхода в свет третьего издания «Элементов чистой политической экономии, или теории богат­ства общества» в 1896 г. технические коэффициенты производ­ства принимались за постоянные. В том издании книги Л. Валь­рас отказывается от допущения постоянных коэффициентов за­трат и принимает общую теорию распределения на основе пре­дельной производительности. Сохраняя допущение постоянной отдачи при допущении, что все фирмы имеют идентичные функ­ции издержек, тем не менее математическое доказательство Вальраса о возможности общего экономического равновесия почти ничего не объясняло в экономическом поведении. Это было сим­птомом того, что традиционная экономическая теория, по выра­жению П. Самуэльсона, практически исчерпала себя.

Наряду с обоснованием возможности общего равновесия Л. Валь­рас дал анализ устойчивости равновесия. Здесь он продвинулся даже несколько дальше своего великого современника А. Маршалла, рас­сматривая устойчивость не только на одном рынке, но и на несколь­ких. Анализ устойчивости Л. Вальраса основан на предположении, что цены движутся к равновесию и что изменения цен прямо зависят от величины избыточного спроса. Условие устойчивости состоит в том, что избыточный спрос на графике, предложенном Л. Вальрасом, в точке равновесия равен 0; избыточный же спрос всегда ведет к росту цены, и наоборот.

Проблема детерминированности равновесия решается Валь­расом при помощи «нащупывания» (tatonnement). При этом ставится задача доказать, что относительные цены, возникающие в процессе свободной конкуренции, равны корням Вальрасовой си­стемы уравнений, где неизвестными являются равновесные цены и обмениваемые количества. По мнению Л. Вальраса, рынок при­ходит к требуемому результату путем проб и ошибок. Однако, до­статочно глубоко анализируя проблему, ученый исключает из те­ории обмена неравновесные сделки («неверные цены»), полагая, что торговля по ним приостанавливается до тех пор, пока не будет найдена новая цена равновесия. Критик Л. Вальраса — Ф. Эджуорт предложил взамен более сбалансированную концепцию «пе­резаключения контрактов». Однако следует отметить, что данная проблема остается не решенной до конца и по сей день.

Весьма точную, на наш взгляд, оценку творчеству Л. Вальраса дал Й. Шумпетер, назвав его главный труд предисловием или ве­ликой хартией современной экономической теории.

Оптимум Парето. Последователь и преемник Л.Вальраса по кафедре экономической теории Лозаннского университета, Вильфредо Парето (1848 - 1923) решительно отошел от традиционной практики исследования. В «Учебнике политической экономии» (1906) он отказался от понятия ценности и полез­ности, отказался по сути от каузального метода анализа в пользу функционального, заменив логический метод на математический. Для этого В. Парето заменяет количественное понятие субъектив­ной полезности на субъективное порядковое предпочтение. По­добные замены количественных характеристик были произведе­ны при анализе издержек производства. Это позволило, по мне­нию В. Парето, объективизировать анализ, освободив его от ка­ких-либо межличностных сравнений.

В. Парето пришел к выводу, что общее равновесие достижимо при условиях, когда взвешенные (по ценам) предпочтения равны для всех товаров; для всякого индивидуума сумма доходов равна сумме расходов; количество всех благ до установления равновесия и после такового равно; цены готовых товаров равны издержкам производства; запас производительных благ есть величина данная и используется полностью.

Отказавшись от межличностных сравнений и применяя дан­ную концепцию равновесия, в частности, к теории благосостоя­ния, В. Парето пришел к выводу: единственными изменениями, которые могут оцениваться, являются те, которые делают всем либо лучше, либо хуже, или те, которые делают лучше по крайней мере одному человеку, не делая хуже кому-либо; улучшение чьего-либо благосостояния за счет кого-то другого не может оценивать­ся в количественных единицах полезности.

Исследуя проблему устойчивости равновесия, Парето сформу­лировал его условие, получившее название оптимум Парето. Рав­новесие характеризовалось ученым как состояние, при котором было бы невозможно улучшить положение кого-либо из субъек­тов обмена без того, чтобы не ухудшить положение хотя бы одно­го из остальных. Чтобы избежать необходимости учитывать меж­личностные сравнения полезности, В. Парето отказался от оцен­ки всех других изменений в благосостоянии. Вследствие этого в его теории отсутствует категория единственного общественного оптимума, а вместо этого предполагается бесконечное количество несопоставимых оптимумов.

Несмотря на известное несовершенство рассмотренньгх мате­матических концепций общего экономического равновесия, труд­но переоценить их значение для становления современной эконо­мической науки.

Рассмотренные концепции ведущих маржиналистских школ составили теоретические основы маржиналистской экономичес­кой теории, господствовавшей в западноевропейской экономи­ческой науке вплоть до начала 30-х годов XX в. Она стала проч­ным фундаментом, на котором возникали и развивались концеп­ции и школы главным образом либерального толка, как в кейнсиан-ский период, так и в условиях наступления так называемой новой либеральной волны. Идеи маржиналистов на рубеже XIX-XX вв. существенно обогатили сокровищницу мировой экономической мысли (недаром принято говорить о маржиналистской револю­ции в науке); нашли широкое применение в прикладных исследо­ваниях, что само по себе дает основание для их высокой оценки и в хозяйственной практике.

Вопросы для самопроверки:

1. Назовите причины формирования маржинализма.

2. Дайте общую характеристику основам методологии маржинализма.

3. Охарактеризуйте основные концепции австрийцев.

4. В чем состоит суть неоклассического синтеза А. Маршалла?

5. Назовите наиболее плодотворные концепции маржиналистских школ, получившие последующее развитие в экономической науке.