Модель общего равновесия, включающая

Производство; проблема существования решения

И процесс «tatonnement»

Рассмотрим модель общего равновесия Вальраса, включающую производство при заданном объеме факторов⁷. В экономике дейст-hviot m независимых потребителей, владеющих к факторами произ­водства, которые они продают фирмам. Потребители максимизиру-Ю1 свои функции полезности при бюджетных ограничениях. В ре­зультате оптимизации определяется индивидуальный спрос на това­ры как функция всех цен и дохода данного потребителя от продажи имеющихся у него факторов.

Один из товаров принимается за денежную единицу — это так на­зываемый numeraire, цена которого равна 1. Возможность подобной опе­рации определена видом функций, задающих бюджетные ограничения*.

⁶ Walras L Etudies d'economie politique appliquee Theorie de la production
b<J*s 1л richesse sociale. Lausanne, Paris, 1898.

⁷ Мы приводим упрощенный вариант модели, включающей производ-
[ сию. Тем, кто захочет расширить спои представления по данному вопросу,

Можно порекомендовать обратиться к учебнику Т Негиши (Негиши Т. Ис-[то|>ия экономической теории. М , 1995. Гл. 7) и к статье Д. Уолкера в энцик-\ лопедии New Palgrave (Walker D. L.Walras // New Palgrave. Vol. 4. L., 1987)

* Рассмотрим простейший случай, когдау-й потребитель максимизирует « ною функцию полезности U при бюджетном ограничении, max (/.(*,,-•■>^х)

pfa, - *",) + -⁺лц, - *;) + -⁺рМ„- к,) = о

7= 1, 2,..., m; i=\, 2,..., п,

где х_у —текущий объем потребления товара /у'-м потребителем; х^— ис-у<> М1ЫЙ объем этого товара; р — цена соответствующего товара.

Из бюджетного ограничения ясно, что все цены можно разделить, на­пример, на/?_г Из условного максимума может быть получена функция спроса t ik функция от и — 1 цены товаров:

x_//-x'=f_l/(p_r-,Pjj= 1,2,..., т; 1 = 2,3,..., п

или Ех_о=/у(р₂,..., р_п) — функция избыточного cnpocaj-ro потребителя на тиар /.

Максимизирующие прибыль фирмы покупают факторы проит водстваи производят л- 1 вид товаров, причем каждая фирма произ водит только один вид товаров. Производственные характеристики, выраженные коэффициентами удельных затрат - затрат фактора на единицу производимого товара, — предполагаются постоянными В модели имеет место свободная конкуренция, нет никаких ограни чений ни на величину, ни на подвижность цен или количеств.

Поведение/-го потребителя описывается следующей парой функ ций:

^rlfPv-' Р„> 4i/-> О^{; ( = 2}' ³'-' ⁿ'J ⁼ '' ²'-' ^{щ (1)}

рл* +...+ рх* = r.q\. + r.tf, +...+ rcf, (2)

"2 2l " ft rtj \"\j 2™2j v" vj ^v

где/^ — цена товара /(/= 2, 3,..., n),x^d_: — спросj-го потребителя на /-и товар; ef_tj — объем фактора к у потребителя./; г_к - рыночная цена фак­тора к (к — 1, 2,..., v).

Поведение фирм определяется условиями нулевой прибыли, что дает следующее уравнение цен производимых товаров:

p_! = r_[a_u + r₂a_2i+...+ r_va_vi, (3)

где а_ь — коэффициенты удельных затрат; спрос на фактор &со стороны фирмы, производящей товар /:

Для всей системы должны выполняться следующие балансовь равенства:

1) на объем имеющихся в системе факторов

tf_a + <4 +...+ &-& + 4_а +...+ fa *= 1,2,..., v; (5)

2) на объем спроса и предложения товаров

<+...+<,=*:■, «=2,з,..., и. (6)

Полученная в результате система уравнений (1) - (6) и является моделью общего равновесия.

Существуетли решение этой системы? И если существует, то при надлежит ли оно области неотрицательных чисел? Иными словами, существуют ли неотрицательные векторы цен и количеств, удовле^ творяющие уравнениям (1) — (6)?

Очевидно, что из исходного бюджетного ограничения для отдельно! потребителя суммированием по столбцам можно получить бюджетное огр| ничениедля всей системы:

р₁Ех₁ + р₂Ех₂+...+р_пЕх_п = 0. Это выражение известно как закон Вальраса Содержательно он означает, что стоимость всех предлагаемых на рынке то­варов равна стоимости всех товаров, на которые предъявляется спрос, при любых ценах. Из этого следует, что если равновесие достигается на я-1-м_л рынке, то оно автоматическим достигается и на рынке я-го товара.

ЕО

Легко видеть, что количества уравнений и неизвестных совпада­ют и равны'тп + nv + 2п — 2. Однако сам по себе этот факт ничего не гоиорит о существовании решения даже в случае линейной системы,

I им более что агрегатные ограничения указывают на зависимость меж­ду уравнениями. Действительно, если систему уравнений (2) просум-

| мировать по столбцам, приняв во внимание (3) — (6), получим:

(7)

Содержательно это означает, что для экономики в целом выполня-I г гея следующее условие: совокупный спрос равен совокупному пред-| ложенйю товаров, когда оба выражены в условной денежной единице. Это утверждение является математической формулировкой так I называемого закона Сэя, который более известен как утверждение, что предложение порождает спрос. Заметим, что математическая формулировка этого закона ничего не говорит о том, какая сторона — си рос или предложение — является определяющей, в то время как | формулировка Сэя подчеркивает лидирующую роль предложения. С математической точки зрения уравнение (7) означает, что чис-

I по независимых уравнений в модели меньше числа неизвестных, но
но не гарантирует существования решения. Еще сложнее дело об-

I1 тит в случае нелинейных функций спроса.

Неудивительно, что Вальрасдаже не пытался вывести математи-I чески строгие условия существования равновесия, а ограничился де-| монстрацией возможного механизма движения к равновесию, так I *ываемого процесса «tatonnement»,

Вальрас исходил из того, что может быть два типа этого процесса. | Первый, когда движение начинается с произвольного вектора цен, причем обмен совершается по этим «неправильным» ценам. В этом случае какие-то участники оказываются в выигрыше, а другие в про-Ифыше, т.е. нарушается принцип индивидуальной максимизации, Заключенные сделки аннулируются и предлагаются новые цены, по которым «заключаются» сделки на следующем этапе, и т.д. Этот ме­тод предполагает длительный процесс проб и ошибок, который в | принципе может прийти к равновесию.

Более надежным способом достижения равновесия Вальрас счи-I тал процесс, управляемый неким арбитром-«аукционистом». Послед-)|ий по основе заявок рассчитывает предполагаемые спрос и предло­жение и корректирует цены, имитируя таким образом процесс проб ]ц ошибок. Сделки заключаются только после того, как аукционист риънвит равновесные цены. Это произойдет, когда количество пред­лагаемого по объявленной цене товара окажется равным объему его | Предложения при этой цене.

Будет ли система двигаться к равновесию, сможет ли аукционист определить равновесные цены — зависит оттого, каким образом цены реагируют на расхождения между спросом и предложением, т.е. от характеристик соответствующих функций. Вальрас исходил из доста­точно реалистичного предположения, что избыточный спрос вызм вает повышение цены соответствующего товара, а избыточное пред ложение - понижение.

Пусть мы находимся в ситуации, когда Е₂ (p_v p_v) > 0; Е^ (р₂, />₃) < 0, где Е— функции избыточного спроса. Процесс «tatonnement» начи нается в этом случае с повышения р₂, в результате чего достигается равновесие на этом рынке и определяется новый вектор цен — (р , р^). Затем уменьшается р^ и при р — р*₃ Е_ъ достигает нулевого значг ния. Однако в силу взаимосвязанности рынков процесс приближе­ния к равновесию на одном рынке может привести к нарушению ус таноиившегося ранее равновесия на другом рынке, т.е. Е_г (j>\, p\) w будет равно 0.

Очевидно, что раздельный поиск равновесных цен на рынках : подобной ситуации невозможен. Возникает вопрос о «перекрестись взаимодействии функций спроса и цен, причем картина этого вза* модействия очевидно сложна, если число товаров более трех. Не най строгого решения в общем виде, Вальрас ввел предположение, чт| изменение цены товара должно оказывать большее воздействие Щ спрос на соответствующий товар, чем на любой другой. Но строги! формулировки условий, которым должны удовлетворять функцир спроса, чтобы процесс «tatonnement» сходился, были сформулироил ны лишь через несколько десятилетий после Вальраса.

Рассмотрим, как «работает» «tatonnement» в более сложных мо делях Вальраса, например в модели производства. Пусть возрос cnpoi¹ на некий товар, его цена повысилась и у фирмы, его производящей, возникла возможность получить положительную прибыль, а следе* вательно, возникли стимулы для роста производства и увеличения предложения. Рост предложения приводит к замедлению роста цеп м исчезновению положительной прибыли. (Если в модели введены бо лее реалистичные предпосылки о снижающейся производительное-^ ти факторов, то указанный процесс происходит быстрее из-за рс издержек.) В итоге равновесие восстанавливается. В более сложно| модели, включающей накопление капитала, процесс достижения рар новесия предполагает изменение не только цен и количеств, но и ста! ки процента.

Проблема интеграции денег. Один из важнейших вопросов, с I торыми столкнулся Вальрас, развивая свою систему и услож»

модель общего равновесия, — деньги. Что касается простой модели обмена, то уже по самому характеру этой модели ее целью является определение меновых пропорций. Иными словами, условная эко­номика, которая описывается подобной моделью, - это натураль­ная система, в которой отсутствуют деньги. Разумеется, как и было ( к'лано выше, один из товаров можно назвать деньгами и принять а о цену за единицу. Более того, можно задать масштаб цен, связав п о с количеством этого товара - денег, используя агрегатное урав­нение количественной теории. Однако превратит ли подобная про-пгдура экономику из натуральной в денежную? Ответ записит от представления о деньгах и их функциях. И здесь важно объяснить, 1.1ЧСМ рационально действующему в системе Вальраса индивиду мо-i v i вообще понадобиться деньги. Если благодаря аукционисту сдел-кп включаются только после определения равновесных цен и в со-

| о: пстствии с ними и само по себе определение равновесных цен не '■■бует усилий со стороны индивидов, т.е. по существу исключает-

11 я фактор неопределенности, хранение денег оказывается излиш­ки и. Осознавая эту проблему, Вальрас предложил рассматривать л< пьги как некий страховой запас на случай, когда поступления и

Ьмлгежи оказываются несогласованными во времени. Однако во­прос о природе неопределенности в модели Вальраса и о роли вре-

| мши в этой модели остался открытым.

Формальное противоречие, связанное с введением денег в модель

J Нлльраса, можно заметить и когда предпринимаются попытка вклю-«1п i ь их в модель обмена. Это противоречие известно в литературе как

| противоречие между законами Сэя и Вальраса.

Если один из товаров в модели — деньги, то в соответствии с за-

11 ином Вальраса, если равновесие достигнуто на товарных рынках, то mm выполняется и на рынке денег, а следовательно, невозможно оп-|« юлить денежные цены товаров. Что, впрочем, вполне естественно

Ьмм бартерной экономики, которой является экономика Вальраса. Для |"|.>чтобы сделать эту экономикуденежной, необходимы некоторые модификации, которые и были сделаны Д. Патинкином в середине

| V \ п., о чем будет сказано ниже.

Итак, Вальрас поставил и в различной степени проанализировал

[кпцюкий круг теоретических проблем, большинство из которых ста-

Предметом пристального внимания ученых в последующие деся- I in i гияи во многом определили направление будущего развития эко- |п \шческой теории. Кроме уже упоминавшихся проблем существо- li.... 1Я равновесия, неопределенности и денег и целого круга вопро- |i. п с ними связанных, следует назвать проблему динамики. Дело втом, что модель Вальраса является статической. В ней nj полагаются заданными предпочтения индивидов, исходные запай товаров и ресурсов, характеристики производственного процесса, раженные в коэффициентах удельных затрат, ит.д. Статический хар тер не только модели, но и подхода Вальраса проявился в том, что центре внимания был вопрос о состоянии равновесия как о таком < стоянии, в котором не могут возникнуть импульсы к каким-либо менениям, поскольку достигнут максимум индивидуальных функций полезности. Наиболее простым и очевидным способом преодоления статичности модели является так называемая сравнительная статика,!, предполагающая сравнение состояний равновесия при различных иг ходных условиях модели, например, величины начальных запасов н> варов или ресурсов. Однако, хотя сравнение последовательных рав)м весных состояний и дает некоторую информацию о траектории дни жения системы между равновесными точками, строгие выводы об этой траектории сделать нельзя. Единственный строгий результат был но лучен Моришимой для бинарного сдвига функций избыточного агре­гированного спроса9. Проблема динамики оказалась настолько слол ной, что и сегодня нельзя сказать, что она решена. Идеи Вальраса успешно развивали Эджуорт, Парето, Фишер. 1 !<■ как самостоятельное направление экономической теории всовремен ном виде теория общего экономического равновесия сформировал.н i. в ЗО-е годы XX в., когда были даны математически строгие определи ния равновесия и корректно сформулированы проблемы сущестно вания, единственности и устойчивости равновесия и намечены пу i и решения этих проблем. Успехи теории общего равновесия были ш. разрывно связаны с развитием соответствующих разделов матема ш ки и прежде всего с возникновением теории игр. 3. Теория общего равновесия в XX в.: