Методические рекомендации по выполнению контрольной работы студентами заочного отделения

Примечание к решению типовых задач.

При решении типовых задач в табличном процессоре EXCEL и вручную, на калькуляторе из-за особенностей программы при округления цифр промежуточных расчётов некоторые из итоговых результатов могут отличаться. Это не является ошибкой, а лишь особенностью пакетного и ручного решения.

Задача 1.

Приводятся данные за 2000 год по территориям Северо-Западного федерального округа

Таблица № 1.

Территории Северо-Западного федерального округа	Оборот розничной торговли за год, млрд. руб.	Общая сумма доходов населения за год, млрд. руб.
А	Y	X
1.Респ. Карелия	9,4	19,1
2.Респ. Коми	16,7	37,3
3.Архангельская обл.	16,3	30,0
4.Вологодская обл.	12,1	27,5
5.Калининградская обл.	14,0	19,0
6.Ленинградская обл.	15,6	26,2
7.Мурманская обл.	20,5	39,5
8.Новгородская обл.	9,3	14,8
9.Псковская обл.	7,3	11,6
10.г.Санкт-Петербург1)	83,1	133,6
Итого	121,2
Средняя	13,47	25,0
	4,036	9,120
Дисперсия, D	16,289	83,182

¹⁾ Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (г.Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.

Задание:

1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры а₁ и а₀ парной линейной функции

4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (r) и детерминации (r²), проанализируйте их значения.

5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.

6. По уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата ( ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите скорректированную среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср., оцените её величину.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата , если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,062 от среднего уровня ( ).

8. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза ( ; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( ), оценивая точность выполненного прогноза.

Решение:

1.Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора . См. табл.2. Если график строится в табличном процессоре EXCEL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат – на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи оборота розничной торговли (Y) с общей суммой доходов населения (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.

Таблица № 2.

Территории Северо-Западного федерального округа	Общая сумма доходов населения за год, млрд. руб.	Оборот розничной торговли за год, млрд. руб.
А
1.Псковская обл.	11,6	7,3
2.Новгородская обл.	14,8	9,3
3.Калининградская обл.	19,0	14,0
4.Респ. Карелия	19,1	9,4
5.Ленинградская обл.	26,2	15,6
6.Вологодская обл.	27,5	12,1
7.Архангельская обл.	30,0	16,3
8.Респ. Коми	37,3	16,7
9.Мурманская обл.	39,5	20,5
Итого	225,0	121,2
Средняя	25,0	13,47
	9,120	4,036
Дисперсия, D	83,182	16,289

2.Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

3.Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а₀ и а₁. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа₀ и Δа_1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X², X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.3.

Расчётная таблица № 3

№
А
	11,6	7,3	134,6	84,7	8,1	-0,8	0,6	5,9
	14,8	9,3	219,0	137,6	9,4	-0,1	0,0	0,7
	19,0	14,0	361,0	266,0	11,1	2,9	8,4	21,5
	19,1	9,4	364,8	179,5	11,1	-1,7	2,9	12,6
	26,2	15,6	686,4	408,7	13,9	1,7	2,9	12,6
	27,5	12,1	756,3	332,8	14,5	-2,4	5,7	17,8
	30,0	16,3	900,0	489,0	15,5	0,8	0,6	5,9
	37,3	16,7	1391,3	622,9	18,4	-1,7	2,9	12,6
	39,5	20,5	1560,3	809,8	19,3	1,2	1,4	8,9
Итого	225,0	121,2	6373,6	3331,0	121,2	0,0	25,4	98,5
Средняя	25,0	13,5	—	—	—	—	—	10,9
Сигма	9,12	4,04	—	—	—	—	—	—
Дисперсия, D	83,18	16,29	—	—	—	—	—	—
Δ=	6737,76	—	—	—	—	—	—	—
Δа0=	23012,4		3,415	—	—	—	—	—
Δа1=	2708,91		0,402	—	—	—	—	—

3.Расчёт определителя системы выполним по формуле:

9*6373,6 – 225,0*225,0 = 6737,76;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

121,2*6373,6 – 3331,0*225,0 = 23012,4.

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

9*3331,0 – 121,2*225,0 = 2708,91.

4.Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

; .

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

В уравнении коэффициент регрессии а₁ = 0,402 означает, что при увеличении доходов населения на 1 тыс. руб. (от своей средней) объём розничного товарооборота возрастёт на 0,415 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения а₀ = 3,415 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объём розничного товарооборота.

5.Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:

В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:

Это означает, что при изменении общей суммы доходов населения на 1% от своей средней оборот розничной торговли увеличивается на 0,744 процента от своей средней.

6.Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции, равный 0,9075, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой доходов населения за год и оборотом розничной торговли за год. Коэффициент детерминации, равный 0,824, устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 82,4% из 100% предопределена вариацией общей суммы доходов населения; роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 17,6%, что является сравнительно небольшой величиной.

7.Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – F_{фактич.} и сравним его с табличным значением – F_табл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).

В нашем случае, ; где -число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов. Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 33 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия оборота розничной торговли и общей суммы доходов населения. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.₁=k=1 и d.f.₂=n-k-1=9-1-1=7 и уровне значимости α=0,05.

Значения представлены в таблице «Значения F-критерия Фишера для уровня значимости 0,05 (или 0,01)». См. приложение 1 данных «Методических указаний…».

В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости оборота розничной торговли от общей суммы доходов населения и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

8.Определим теоретические значения результата Y_теор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчёт.

Например, . См. гр. 5 расчётной таблицы. По парам значений Y_теор. и X_факт. строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.

График 1

9.Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:

.

В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 10,2%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).

10.Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. расчётную таблицу №4.

Расчётная таблица № 4

№
А
	11,6	2,451	7,3	6,007	17,892	7,0	0,3	0,1	2,2
	14,8	2,695	9,3	7,261	25,060	9,3	0,0	0,0	0,0
	19,0	2,944	14,0	8,670	41,222	11,6	2,4	5,8	17,8
	19,1	2,950	9,4	8,701	27,727	11,6	-2,2	4,8	16,3
	26,2	3,266	15,6	10,665	50,946	14,6	1,0	1,0	7,4
	27,5	3,314	12,1	10,984	40,102	15,0	-2,9	8,4	21,5
	30,0	3,401	16,3	11,568	55,440	15,8	0,5	0,3	3,7
	37,3	3,619	16,7	13,097	60,437	17,9	-1,2	1,4	8,9
	39,5	3,676	20,5	13,515	75,364	18,4	2,1	4,4	15,6
Итого		28,316	121,2	90,468	394,190	121,2	0,0	26,2	93,4
Средняя		3,146	13,5	—	—	—	—	2,9	10,4
Сигма		0,391	4,04
Дисперсия, D		0,153	16,29

Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:

; ; . Отсюда получаем параметры уравнения:

Полученное уравнение имеет вид: .

Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты выявленной связи ρ=0,9066 (сравните с 0,9075), скорректированная средняя ошибка аппроксимации здесь выше и составляет 10,4%, то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены.

Таким образом, можно придти к выводу, что по сравнению с линейной моделью данное уравнение менее пригодно для описания изучаемой связи.

11.Выполним расчёт параметров уравнения параболы второго порядка. В этом случае используются определители третьего порядка,расчёт которых выполняется по стандартным формулам и требует особого внимания и точности. См. расчётную таблицу 5.

По материалам табл. 5 выполним расчёт четырёх определителей третьего порядка по следующим формулам:

Δ = n*Σx²*Σx⁴ + Σx*Σx³*Σx² + Σx*Σx³*Σx² – Σx²*Σx²*Σx² – Σx*Σx*Σx⁴ – Σx³*Σx³*n =

= 331.854.860,7;

Δa₀ = Σy*Σx²*Σx⁴ + Σx*Σx³*Σ(y*x²)+ Σ(y*x)*Σx³*Σx² – Σ(y*x²)*Σx²*Σx² –

— Σ(y*x)*Σx*Σx⁴ – Σx³*Σx³*Σy = 751.979.368,8

Δa₁ = n*Σ(y*x)*Σx⁴ + Σy*Σx³*Σx² + Σx*Σ(y*x²)*Σx² – Σx²*Σ(y*x)* Σx² – Σx*Σy* Σx⁴ -

— Σ(y*x²)*Σx³*n = 167.288.933,1

Δa₂ = n*Σx²*Σ(y*x²) + Σx*Σyx*Σx² + Σx*Σx³*Σy – Σx²*Σx²*Σy – Σx*Σx*Σ(y*x²) –

- Σx³*Σ(y*x)*n = - 656.926,8

В результате получаем следующие значения параметров уравнения параболы:

; ;

Уравнение имеет следующий вид: . Для него показатель детерминации составляет 82,7%, F_фактич.= 14,3, а ошибка аппроксимации 10,6%.

Как видим, по сравнению с линейной функцией построить уравнения параболы гораздо сложнее, а изучаемую зависимость она описывает почти с той же точностью, хотя надёжность уравнения параболы значительно ниже (для линейной модели F_фактич.= 32,8,а для параболы F_фактич.= 14,3). Поэтому в дальнейшем анализе парабола второго порядка использоваться не будет.

Расчётная таблица № 5

№
А
	11,6	7,3	84,7	134,56	1560,90	18106,39	982,3	7,8	-0,5	0,3	4,1
	14,8	9,3	137,6	219,04	3241,79	47978,52	2037,1	9,3	0,0	0,0	0,0
	19,0		266,0	361,00	6859,00	130321,00	5054,0	11,1	2,9	8,4	21,5
	19,1	9,4	179,5	364,81	6967,87	133086,34	3429,2	11,2	-1,8	3,2	13,3
	26,2	15,6	408,7	686,44	17984,73	471199,87	10708,5	14,1	1,5	2,3	11,1
	27,5	12,1	332,8	756,25	20796,88	571914,06	9150,6	14,6	-2,5	6,3	18,5
	30,0	16,3	489,0	900,00	27000,00	810000,00	14670,0	15,6	0,7	0,5	5,2
	37,3	16,7	622,9	1391,29	51895,12	1935687,86	23234,5	18,3	-1,6	2,6	11,9
	39,5	20,5	809,8	1560,25	61629,88	2434380,06	31985,1	19,1	1,4	2,0	10,4
Итого	225,0	121,2	3331,0	6373,64	197936,15	6552674,11	101251,3	121,2	0,0	25,6	95,6
Средняя	25,0	13,5	—	—	—	—	—	—	—	2,8	10,6
Сигма	9,12	4,04
D	83,18	16,29

12.Проведём расчёт параметров степенной функции, которому также предшествует процедура линеаризации исходных переменных. В данном случае, выполняется логарифмирование обеих частей уравнения, в результате которого получаем уравнение, в котором линейно связаны значения логарифмов фактора и результата. Исходное уравнение после логарифмирования приобретает следующий вид: . Порядок расчёта приведён в табл.6.

Расчётная таблица № 6

№
А
	11,6	7,3	2,4510	1,9879	4,8723	4,8723	2,0330	0,0020	7,6	2,2
	14,8	9,3	2,6946	2,2300	6,0091	6,0091	2,2148	0,0002	9,2	0,7
	19,0	14,0	2,9444	2,6391	7,7705	7,7705	2,4011	0,0566	11,0	22,2
	19,1	9,4	2,9497	2,2407	6,6094	6,6094	2,4050	0,0270	11,1	12,6
	26,2	15,6	3,2658	2,7473	8,9719	8,9719	2,6408	0,0113	14,0	11,9
	27,5	12,1	3,3142	2,4932	8,2629	8,2629	2,6770	0,0338	14,5	17,8
	30,0	16,3	3,4012	2,7912	9,4933	9,4933	2,7419	0,0024	15,5	5,9
	37,3	16,7	3,6190	2,8154	10,1889	10,1889	2,9044	0,0079	18,3	11,9
	39,5	20,5	3,6763	3,0204	11,1040	11,1040	2,9471	0,0054	19,1	10,4
Итого		121,2	28,3162	22,9651	73,2824	73,2824	22,9651	0,1467	120,3	95,6
Средняя		13,5	3,1462	2,5517	—	—	—	—	—	10,6
Сигма			0,3914	0,3187
D			0,1532	0,1016

В результате расчёта получены следующие значения определителей второго порядка:

12,4075;

2,5371;

9,25642.

Параметры степенной функции составляют:

; .

Уравнение имеет вид: lnY=ln a₀ + a₁*ln X = 0,2045 + 0,7460*X , а после процедуры потенцирования уравнение приобретает окончательный вид:

или .

Полученное уравнение несколько лучше описывает изучаемую зависимость и более надёжно по сравнению с линейной моделью. Степенная модель имеет детерминацию на уровне 84,0% (против 82,4% по линейной модели), F_факт.=36,6 (против 33,1 для линейной модели) и ошибку аппроксимации на уровне 10,6% (сравните с 10,9% для уравнения прямой).

Очевидно, что преимущества степенной модели по сравнению с линейной не столь значительны, но её построение заметно сложнее и требует значительно больших усилий. Поэтому окончательный выбор, в данном конкретном случае, сделаем в пользу модели, которая является более простой при построении, анализе и использовании, то есть в пользу линейной модели:

Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.

Если предположить, что прогнозное значение общей суммы доходов населения, например, Новгородской области, (см. табл.2 строка 2) возрастёт с 14,8 млрд. руб.на 5,7% и составит 15,6 млрд. руб., то есть X_{прогнозн}.= 14,8*1,057=15,6, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Y_{прогнозн.} =3,415+0,402*15,6=9,7 (млрд. руб.). То есть, прирост фактора на 5,7% приводит к приросту результата на 4,2 процента ( .

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии- и ошибки прогноза положения регрессии - . То есть, .

В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1. Тогда (млрд. руб.).

Ошибка положения регрессии составит:

=

= = = 0,914 (млрд. руб.).

Интегральная ошибка прогноза составит: = = 2,1 (млрд. руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,365*2,1 = 5,011 ≈ 5,0 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 9-1-1=7 составит 2,365. (См. табл. приложения 2). Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит млрд. руб.

Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале . Верхняя граница доверительного интервала составит

= 9,7 + 5,0 = 14,7(млрд. руб.).

Нижняя граница доверительного интервала составит: = 9,7 - 5,0 = 4,7(млрд. руб.).

Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: = раза. Это означает, что верхняя граница в 3,12 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Калининградскую область с ), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.

Задача № 2.

Выполняется изучение социально-экономических процессов в регионах Южного федерального округа РФ по статистическим показателям за 2000 год.

– Оборот розничной торговли, млрд. руб.;

– Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

– Средний возраст занятых в экономике, лет;

– Среднегодовая численность населения, млн. чел.

Требуется изучить влияние указанных факторов на оборот розничной торговли.

Предварительный анализ исходных данных по 12 территориям выявил наличие двух территорию (Краснодарский край и Ростовская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти территории должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.

При обработке исходных данных получены следующие значения:

а) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:

N=10.

		0,7938	0,2916	0,8891
	0,7938		0,2994	0,6693
	0,2916	0,2994		0,0113
	0,8891	0,6693	0,0113
Средняя	8,878	5,549	38,79	1,160
	8,7838	5,1612	1,0483	0,90107

б) - коэффициентов частной корреляции

		0,4726	0,5169	0,8511
	0,4726		0,0521	-0,0793
	0,5169	0,0521		-0,5598
	0,8511	-0,0793	-0,5598

Задание:

1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Произведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.

2. Выполните расчёт бета коэффициентов (b) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов (b) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.

3. По значениям b-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (то есть a₁, a₂, и a₀). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности - .

4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R², а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости a=0,05).

5. Рассчитайте прогнозное значение результата , предполагая, что прогнозные значения факторов ( )составят 101,3 процента от их среднего уровня.

6. Основные выводы оформите аналитической запиской.

Решение.

1. Представленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что оборот розничной торговли -Y более тесно связан со среднегодовой численностью населения- ( ) и с инвестициями 2000 года в основной капитал – ( ); наименее тесно результат Y связан со средним возрастом занятых в экономике – . Поэтому, в силу небольшой информативности фактора ,, предполагаем, что его можно исключить из дальнейшего анализа. Проверим наши предположения с помощью анализа матрицы коэффициентов частной корреляции. Очевидно, что наиболее тесная связь результата Y со среднегодовой численностью населения ( ) и примерно одинаково тесно связан результат с инвестициями ( ) и со средним возрастом занятых ( ). Поэтому для уточнения окончательного вывода выполним расчёт серии коэффициентов частной корреляции Y с двумя возможными комбинациями факторных признаков: для Y с и с , а также для Y c и .

Расчёты частных коэффициентов корреляции выполним по следующим формулам:

Как видим, факторы и , действительно, тесно связаны с результатом, а между собой практически не взаимодействуют.

Расчёт аналогичных показателей по следующей паре факторов приводит к иным результатам: