При управлении запасами

_________________

Учитывать ли при оптимизации стратегии управления запасами временную стоимость денег, если допускается планирование дефицита (в частности, с его покрытием при очередной поставке товара либо без указанного покрытия дефицита)? Каков может быть эффект от реализации соответствующего учета временной структуры процентных ставок при планировании дефицита и выбираемого критерия оптимизации для стратегий управления запасами? Чтобы получить ответ на эти и другие вопросы, в данной главе представлены оптимальные стратегии для модификаций классических моделей планирования дефицита при управлении запасами с учетом указанной особенности (в рамках схемы простых процентов). Показано, что возможности повышения эффективности системы при использовании подхода, позволяющего учитывать как временную структуру процентных ставок, так и критерий оптимизации интенсивности потока доходов, могут оказаться весьма большими, в частности применительно к стратегиям планирования дефицита, не покрываемого при поставках.

МОДЕЛЬ ПЛАНИРОВАНИЯ ДЕФИЦИТА

С его покрытием при очередной поставке

(без учета временной стоимости денег)

ОСОБЕННОСТЬ: допускается отсутствие запаса для анализируемого товара, более того, при управлении запасами соответствующий дефицит заранее планируется (т.е. в течение некоторого промежутка времени на интервале повторного заказа товара заведомо не будет). При этом в момент очередной поставки такой дефицит полностью удовлетворяется из объема поставки, причем с учетом соответствующих издержек из-за планируемого дефицита.

Основные понятия и обозначения в рамках традиционной модели планирования дефицита с его покрытием при очередной поставке (без учета временной стоимости денег):

- Т – интервал повторного заказа (оптимизируемая величина в рамках модели)

- q – размер партии заказа (оптимизируемая величина в рамках модели);

- S – максимально допустимый планируемый дефицит продукции (также оптимизируемая величина в рамках такой модели);

- С_В - издержки из-за дефицита на единицу продукции за год; они представляются в виде издержек или штрафов, которые зависят от длительности промежутка времени до покрытия дефицита (формализуются в виде штрафов за каждую единицу времени дефицита для каждой единицы дефицитного товара);

- (q-S) – остаток заказа размера q после удовлетворения дефицита в момент очередной поставки партии товара;

- t₁ и t₂ - промежутки наличия запаса и дефицита товара на Т;

- γ = t₂/Т – доля времени наличия дефицита (0£g£1);

- 1-γ = t₁/Т – доля времени наличия запасов;

- D и C_h – параметры базовой модели.

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ СУММАРНЫХ ПОТЕРЬ

Соответствующая задача традиционно рассматривается как задача минимизации суммарных годовых издержек/потерь, характеризуемых представленным ниже выражением:

С₀· (1/T) + С_h· (q-S)·(1- γ)/2 + С_B·S· γ/2 → min

Используя равенства 1/Т=D/q, S=D·T·γ и (q-S)=D·T· (1- γ),соответствующая задача может быть рассмотрена как задача минимизации функции двух переменных T и γ:

С₀· (1/T) + С_h· (1- γ)²·D·T/2 + С_B·γ²·D·T/2 → min.

^T>0

^{0≤ γ ≤1}

Здесь, напомним, γ – доля времени наличия дефицита, определяющая баланс между интервалами t₁ и t₂ (наличия запасов и дефицита для данного товара) в пределах периода Т и рассматриваемая далее как независимая переменная в области 0≤ γ ≤1.

Традиционное графическое представление модели дает рис. 6.1.

Рис. 6.1. Иллюстрация основных понятий для модели

планирования дефицита с его покрытием при очередной поставке.

ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ДЕФИЦИТА

с его покрытием при очередной поставке

(без учета временной стоимости денег)

Рассматриваем суммарные годовые потери как функцию F(T, γ) двух переменных Т и γ (T>0, 0£ γ £1):

F(T, γ) = C₀/T + [C_h·(1- γ)² + C_B·× γ ²] ·D·T/2

ЗАМЕЧАНИЯ 1.

¨ Отметим, что в граничной ситуации, когда γ = 0 (т.е. когда заведомо или априори дефицит не планируется) как легко видеть, параметры оптимальной стратегии будут определяться формулами Уилсона.

¨ Аналогично в другой граничной ситуации, когда γ = 1 (т.е. когда заведомо планируются поставки именно такого размера, который только покрывает дефицит), параметры оптимальной стратегии в невырожденном случае C_B >0 также будут определяться формалами Уилсона, но с учетом следующей особенности. А именно, - «роль» издержек хранения в такой ситуации будут «исполнять» уже издержки дефицита C_B , т.е. для оптимальных параметров при априори заданном значении γ = 1 получаем

Вернемся к решению задачи минимизации суммарных потерь, представленных функцией F(T, γ).

Необходимое условие экстремума (T>0, 0£ γ £1):

∂F/∂T = 0 C_h· (1- γ)² + C_B·γ² - 2C₀/(D·T²)= 0

∂F/∂γ = 0 (C_h+C_B) · γ = C_h

ЗАМЕЧАНИЯ 2. Для невырожденного случая, когда C_h>0 и C_B >0 обратим внимание на следующее.

¨ Решение приведенной системы уравнений действительно дает именно точку минимума для F(T, γ) в интересующей нас области T>0, 0£ γ £1 (убедитесь в этом самостоятельно);

¨ Величина [F(T, γ) – C₀/T)] при фиксированном Т представляет суммарные издержки хранения и дефицита, обусловленные именно планируемым балансом между t₁ и t₂ на Т.

Таким образом можно отметить следующее.

УТВЕРЖДЕНИЕ.

Для стратегии планирования дефицита (в невырожденном случае, когда C_h > 0 и C_B >0) при любом фиксированном Т>0 баланс длительностей интервалов наличия запасов t₁ и дефицита t₂ в рамках интервала повторного заказа зависит только от тарифов издержек С_h и С_В. При этом оптимальный такой баланс, при котором издержки при фиксированном Т будут минимальными, достигается, если

γ* = С_h/(C_h + C_B),

Т.е. если

Приведем остальные параметры оптимальной стратегии для указанного невырожденного случая (C_h>0 и C_B >0)

ПЕРИОД ПОВТОРНОГО ЗАКАЗА

ОПТИМАЛЬНЫЙ РАЗМЕР ЗАКЗА

МАКСИМАЛЬНЫЙ РАЗМЕР ДЕФИЦИТА

.

ЗАМЕЧАНИЯ 3. Для вырожденного случая, когда C_B =0, т.е. издержки дефицита отсутствуют, отметим следующее.

¨ Оптимальное значение параметра γ соответствует его граничному значению γ=1, т.е. поставка товара реализуется партиями, размер которых будет только покрывать дефицит.

¨ Для периода повторного заказа в таком случае имеем Т→∞, что для практических ситуаций означает выбор оптимального значения для указанного параметра , по возможности, максимально большим, т.е. поставки организуются как можно реже (в области значений Т , где выполнено условие C_B =0).

¨ Соответственно, размер заказа определяется равенством = .

МОДЕЛЬ ПЛАНИРОВАНИЯ ДЕФИЦИТА