Оптимальная стратегия, максимизирующая

ИНТЕНСИВНОСТЬ ДОХОДОВ ДЛЯ ДЕНЕЖНЫХ

ПОТОКОВ В СИСТЕМЕ

Далее в этой главе задача оптимизации стратегии управления запасами с учетом временной стоимости денег рассматривается как задача финансового анализа, связанная с максимизацией чистого приведенного дохода для представленных выше уходящих и приходящих денежных потоков в рамках интересующей нас модификации модели управления запасами. При этом оптимизация достигается на основе максимизации вводимого далее показателя интенсивности F потока доходов.

А именно, все имеющие место денежные потоки на одном периоде времени [0; Т] между поставками сначала будут приведены к общему моменту времени Т/2 (середине такого периода). Тогда соответствующий суммарный результат, т.е. разность между приходящими и уходящими такими потоками (уже приведенными к моменту Т/2) определяет доход на одном периоде времени между поставками товара. Умножая такой суммарный результат дохода на множитель 1/Т получаем показатель интенсивности F потока доходов, т.е. доход за единицу времени, причем в единицах измерения Т. Следуя традициям классического подхода в теории управления запасами (а также для удобства сравнения соответствующих результатов) в качестве такой единицы времени выбран один год.

Итак, требование максимизации интенсивности потока доходов (обозначим далее такую интенсивность через F ) в рамках рассматриваемой модификации модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег приводит к задаче максимизации следующей целевой функции

F → max ,

где

F = 1/Т ∙[ПП_С – УП_С – УП_Н ∙(1+ r∙Т/2)] .

Здесь, как это требуется правилами финансового анализа и финансовой математики, соответствующие уходящие платежи УП_Н начала периода наращены к середине периода времени между поставками (множитель (1+r∙Т/2)). Остальные денежные потоки в рамках рассматриваемой модификации модели уже были соотнесены с указанной серединой интервала [0; Т] исходно принятыми ранее атрибутами модели.

Подставляя в выражение для F приведенные выше значения для объемов соответствующих денежных потоков после несложных преобразований (они опускаются из-за ограниченности объема работы) получаем следующую формулу для показателя интенсивности F потока доходов:

F = D ∙[Р_П – С_ОП – C₀∙r/2 ] - -

-

(***)

Избавимся в приведенной записи выражения (***) для F от слагаемого, которое не зависит от переменной q, т.е. от выбора размера партии заказа (первое выражение в записи (***) для F ). Кроме того, помножим для удобства записи оставшуюся часть выражения на -2. Соответственно после этого для нахождения оптимального размера партии заказа получим уже следующую задачу минимизации

f(q) → min

где

f(q)= +q∙[C_h+r∙(C_ОП+С_П)].

ЗАМЕЧАНИЕ. В частном случае, когда учет временной стоимости денег не требуется (r = 0), представленная здесь задача минимизации функции f(q) в рамках рассматриваемой модификации модели системы управления запасами с постоянным спросом принимает следующий вид:

→ min .

Как видим, в этом случае получаем полное соответствие с задачей минимизации годовых издержек в классической ее постановке, решение которой дает формула Уилсона для экономичного размера заказа (обозначим здесь его через q₀ ): q₀ = .

Применительно к рассматриваемой в этой главе модификации модели с учетом временной стоимости денег (по схеме простых процентов с годовой ставкой наращения r) оптимальный размер партии заказа (обозначим его через q* ), максимизирующий интенсивность потока доходов, определяется равенством

q*_СС = .

(****)

Как видно из полученной формулы (****) для оптимального размера партии заказа в рамках рассматриваемой модели управления запасами, учитывающей также временную стоимость денег, на параметры оптимальной стратегии управления запасами уже влияет величина ставки наращения (r) для учета временной стоимости денег в рамках принятой схемы простых процентов.

Напомним и подчеркнем, что в ситуации, когда для анализируемой модели управления запасами учет временной стоимости денег не реализуется, то соответственно отмеченной здесь особенности, связанной с таким влиянием, нет (см. предыдущие разделы этой работы). Обратим внимание также на то, что специфика рассмотренной модели применительно к ситуации учета временной стоимости денег подразумевает (как следует из формулы (****) в отличие от классического варианта формулы Уилсона) наличие дополнительного слагаемого вида r∙(C_ОП + С_П ) в знаменателе выражения, стоящего под знаком корня квадратного в формуле, определяющей соответствующий аналог экономичного размера заказа. Именно оно отражает специфику учета временной стоимости денег в рамках рассматриваемой модификации модели.

В частности, легко видеть, что при r = 0 (т.е. если временную стоимость денег также не учитывать) приведенная формула для q* превращается в классическую формулу Уилсона для q₀ - экономичного размера партии заказа (она была приведена выше). Соответственно полученные в данной работе формулы для q* очевидным образом иллюстрируют следующий факт. Оптимальный размер заказа с учетом особенностей рассматриваемой модели (в случае r> 0, когда учитывается временная структура процентных ставок) должен быть меньшим, чем этого требует общепринятая формула для этого показателя на основе классических рекомендаций.

Для иллюстрации предложенного подхода к нахождению интересующего нас оптимального размера q* партии заказа при управлении запасами в рамках рассматриваемой модификации модели (позволяющей учитывать временную стоимость денег), а также для иллюстрации характера изменения такого параметра по сравнению с рекомендациями классического подхода (без учета указанных особенностей) рассмотрим следующую условную ситуацию.

ПРИМЕР 3.1. Пусть анализируется оптимальная стратегия организации поставок некоторого товара, максимизирующая чистый приведенный доход от соответствующих логистических операций с учетом годовой ставки наращения, составляющей, скажем, 20%. При этом требуется учесть, что принятые в рамках приведенного выше анализа модели параметры принимают следующие значения:

§ D = 20 000 (ед. тов.) – объем годового потребления товара;

§ C₀ = 20 (у.е.) – накладные расходы на поставку одной партии товара;

§ С_П = 100 (у.е.) – цена единицы товара;

§ Р_П = 20 (у.е.) – прибыль от реализации единицы товара;

§ С_h = 20 (у.е.) – годовые издержки хранения единицы товара.

Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но уже для классической модели без учета временной стоимости денег, полагаем C_0П = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, подчеркнем, что в соответствии с условиями примера далее в расчетах принимаем r = 0,2. Найдем оптимальный размер заказа при управлении запасами как для модифицированной модели с учетом временной структуры процентных ставок, так и для классической модели (без учета таких особенностей), и сравним их между собой.

РЕШЕНИЕ. Прежде всего, заметим, что применительно к классическому аналогу модели управления запасами с постоянным спросом по формуле Уилсона соответствующее оптимальное значение q₀ размера партии заказа (разумеется, без учета временной стоимости денег) составит

q₀ = = = 200 (ед. тов.).

Для нахождения оптимального размера партии заказа q* с учетом интересующих нас особенностей модели управления запасами воспользуемся формулой (****)

q* = = 141 (ед. тов.).

Итак, оптимальное значение для размера партии заказа с учетом указанных особенностей при управлении запасами для анализируемого вида товара составляет 141 ед. тов. (а не 200 ед. тов. в соответствии с классическими рекомендациями). Как видим, отклонение этого показателя от оптимального, если использовать формулу Уилсона, которая не учитывает указанные особенности, составит 59 ед. тов. для каждой партии заказа. Другими словами, как видим, классическая рекомендация завысила размер партии заказа в данном случае на 42,14%. Проведем анализ соответствующего расхождения в интенсивности потока доходов.

Оптимальное значение интенсивности потока доходов F для случая, когда указанные выше особенности модели учитываются при выборе стратегии управления запасами, находим по формуле (***) при q = q* = 141:

F(q^*)=20000∙[20–20∙0.2/2] – –

– [20+100∙0.2] = 354343,2 (у.е./год).

Для сравнения с классическим аналогом такой модели, т.е. для случая, когда выбор стратегии управления запасами реализуется без учета временной стоимости издержек/доходов в рамках соответствующих логистических процессов, подчеркнем следующее. При размере партии заказа, составляющем q₀ =200 (ед. тов.), для интенсивности потока доходов по формуле (***) получаем (соответственно при q = q₀ =200 ):

F(q₀ ) = 20000∙[20–20∙0.2/2] – –

– [20+100∙0.2] = 354000 ( у.е./год).

Сравнивая это значение с F(q^*) видим, что разница F(q^*) – F(q₀) в интенсивности потока доходов по анализируемому виду товара составляет 343,2 (у.е./год). Это – соответствующий экономический эффект в единицах интенсивности потока доходов, который дает учет временной стоимости денег для реализации логистических процессов анализируемой в этом примере модели системы управления запасами, причем применительно только к одному рассматриваемому виду номенклатуры, для которого были проведенысоответствующие расчеты.

В реальных системах управления запасами соответствующий перечень номенклатуры товаров может измеряться сотнями и даже тысячами наименований. Кроме того, при уменьшении длительности интервала времени между поставками товаров соответственно уменьшаются не только объемы хранимых товаров, но и объемы соответствующих страховых запасов по этим товарам, а следовательно и «замороженные» и в тех, и в других объемах товаров вложенные в них деньги фирмы. Поэтому суммарная выгода за счет учета временной стоимости денег и специфики атрибутов использования заемных средств по всей группе товаров может оказаться весьма существенной.

ВЫВОДЫ. Разработанные в классической теории модели оптимальных стратегий управления запасами могут быть улучшены в смысле максимизации эффективности таких систем (например, максимизации чистого приведенного дохода или максимизации интенсивности потока доходов) за счет учета действующих на рынке процентных ставок, т.е. учета временной стоимости денег при анализе денежных потоков, характеризующих соответствующие издержки и доходы. Суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета указанных особенностей по всей номенклатуре товаров может оказаться весьма значительным.