Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы. Разложение определителей по строке и столбцу
Минором элемента матрицы А называется определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием строки и столбца, содержащих
. Минор элемента
обозначается как Mij.
Рассмотрим выражение (2.1) для определителя матрицы А. Соберем вместе все слагаемые, содержащие элемент и вынесем
за скобки. Выражение, оставшееся в скобках, называется алгебраическим дополнением элемента
. Обозначается как Akp.
Замечание 2.1. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы существуют только для квадратных матриц!
Рассмотрим матрицу (Aij), которая отличается от матрицы А только тем, что на месте элементов в матрице (Aij) стоят их алгебраические дополнения Aij . Транспонируем матрицу (Aij). Полученная таким образом матрица
(Aij)T называется союзной матрицей (по отношению к матрице А).
Теорема о связи минора элемента матрицы с его алгебраическим дополнением. Алгебраическое дополнение Aij элемента матрицы А и его минор Mij связаны соотношением
. (2.3)
Пример 2.4. Пусть . Тогда M11=1, A11=
M11 =1; M13=
, A13=
M13 =
; M32=2, A32=
M32 =
.
Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения:
Aij (разложение по i-й строке); (2.4)
Aij (разложение по j-му столбцу). (2.5)
Следствие. Из (2.3), (2.4) и (2.5) следует, что
Mij (разложение по i-й строке); (2.6)
Mij (разложение по j-му столбцу). (2.7)
Формулы (2.6) и (2.7) служат основой для вычисления определителей методом разложения их по строке (столбцу), который состоит в непосредственном использовании этих формул.
Пример 2.5. 1) пусть . Вычисление определителя
методом разложения его по второму столбцу:
2A12 + 0A22 + 2A32
2) вычисление определителя четвертого порядка:
.
Теорема об умножении определителей. Пусть A и B – квадратные матрицы размера . Тогда определитель произведения матриц равен произведению их определителей:
. (2.8)
Пример 2.6.Пусть ,
.
Тогда , следовательно,
.
С другой стороны, значит
.
Таким образом, .
Задачи
Вычислить определители второго порядка:
2.1. а) ; б)
; в)
; г)
; д)
.
2.2. а) ; б)
; в)
; г)
.
2.3. а) ; б)
; с)
.
Решить уравнения относительно :
2.4. . 2.5.
. 2.6.
.
Вычислить определители третьего порядка:
2.7. а) ; б)
; в)
; г)
.
2.8. а) ; б)
; в)
; г)
.
2.9. а) ; б)
; в)
; г)
.
2.10. а) ; б)
; в)
; г)
.
2.11. а) ; б)
; в)
.
2.12. а) ; б)
; в)
.
2.13. а) ; б)
; в)
.
2.14. а) ; б)
.
2.15. Показать, что делится на
и
.
2.16. Показать, что делится на
и
.
Доказать следующие тождества:
2.17. .
2.18. .
2.19. .
2.20. .
Решить относительно уравнения:
2.21. а) ; б)
; в)
.
2.22. . 2.23.
.
Решить относительно неравенства:
2.24. . 2.25.
.
2.26. . 2.27.
.
2.28. .
2.29. Построить графики функций:
а) ; б)
,
.
Вычислить определители четвертого порядка:
2.30. а) ; б)
; в)
.
2.31. а) ; б)
; в)
.
2.32. а) ; б)
.
2.33. а) ; б)
; в)
.
2.34. а) ; б)
; в)
.
Вычислить определители пятого порядка:
2.35. а) ; б)
; в)
.
2.36. а) ; б)
.
Вычислить определители n-го порядка:
2.37. ; 2.38.
.
2.39. .
2.40. .
2.41. .
2.42. Вычислить определитель , где
.
2.43. Вычислить определитель , где
.
РАНГ МАТРИЦЫ
Основные понятия и примеры
Ранг матрицы – это особая числовая функция, заданная на множестве матриц. В отличие от определителя, ранг матрицы существует для матрицы любого порядка.
Прежде чем дать определение ранга матрицы, рассмотрим понятие минора матрицы.
Минором k-го порядка матрицы А называется определитель матрицы, составленной из элементов каких-либо k выделенных строк и каких-либо k выделенных столбцов исходной матрицы А.
Понятие минора k-го порядка широко используется в линейной алгебре. В отличие от минора элемента матрицы, минор k-го порядка не связан с конкретным элементом матрицы и существует для любых, а не только для квадратных матриц. Миноров k-го порядка для любой матрицы может быть много. Например, для матрицы порядка количество миноров k-го порядка определяется числом
.
Главным, или угловым минором k-го порядка матрицы называется минор, составленный из первых k строк и первых k столбцов этой матрицы.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается как .
Пример 3.1. Пусть ,
,
. Тогда
,
,
.
Любой отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется ее базисным минором.