Дослідження стійкості стаціонарних станів

Дослідимо систему (1) з підрозділу 11.2. Для перших трьох змінних виконується закон збереження речовини, тому:

a + n + s = A = const.

Тоді цю систему можна звести до системи трьох рівнянь, вилучивши з розгляду друге рівняння:

= , = r×a – sm(x), (1)

= k(x_n – x) + ba – gsm(x),

де B = aA – rA – rd.

Ця система має дві стаціонарні точки:

1) = 0; = 0; = x_n; = A; (2)

2) ; ; (m = m( )),

є розв’язком рівняння

k(x_n – x)(r + m(x))(a – r) + Bm(x)(b – gr) = 0; .

Для того, щоб друга стаціонарна точка мала біологічний зміст, природно вимагати, щоб , , та були невід’ємними. Легко збагнути, що > 0 і > 0 при А > ; > 0 при a > r. Строго кажучи, V_n(n) слід визначити таким чином:

V_n(n) =

– і рівняння для знаходження стаціонарного розв’язку n^*: V_n(n) = r, яке випливає з першого рівняння системи (1), взагалі не має розв’язку при n < 0. Єдина стаціонарна точка при цьому буде задаватися співвідношеннями (2).

Аналіз стійкості стаціонарних точок за лінійним наближенням показує, що при a > r i А < перша точка є стійкою, друга – нестійкою. При a > r i А > , навпаки, перша точка стає нестійкою, а друга – стійкою. Таким чином, умова стійкості другої точки збігається з однією з умов її існування.

При a < r єдиною стаціонарною точкою залишається перша, і вона буде стійка. Можна вважати, що цей випадок відповідає загибелі озерної екосистеми, котра є неминучою, коли зменшення біомаси фітопланктону r перевищує максимальну швидкість його приросту a.

Отже, розглянуто найпростішу модель евтрофікації водоймища, яка дає якісну картину екодинаміки прісноводної системи. Найважливішим керуючим параметром виявилася сумарна кількість речовини А; власне, саме цей параметр визначає швидкість і ступінь евтрофікації.

Внаслідок сильної агрегованості моделі всі результати мають суто якісний характер і не дуже придатні для конкретних прогнозів. Однак розглянута модель презентує доволі адекватний теоретичний опис усього процесу евтрофікації прісноводних водоймищ.