Оптимальный выбор параметров угловой суммы

Одно отражение от наклонной границы в области (x, t) теоретически попадает на одну трассу p, которая представляет его наклон (рис.7.13). Однако, поскольку дискретизация происходит по оси p, и поскольку лишь конечное число трасс p охватывается конечным числом удаленных трасс (offset traces), распределение получается несовершенным. Будучи построенной при большом усилении, выборка наклонных сумм на рис.7.13 представляется неожиданно другой (рис.7.18b). Появление полосок вызвано влиянием конечных точек Е и F отражения от наклонной границы в области (x, t). Если говорить более точно, точка Е попадает в А и В, когда для p заданы соответственно минимальное и максимальное значения. Для любой промежуточной величины p точка Е распределяется вдоль АВ. Аналогично, другая конечная точка F распределяется вдоль СD. Линейные полоски, являющиеся результатом концевых эффектов (конечной длины кабеля), представляют собой только один тип ложного сигнала, с которым приходится встречаться при построении угловых сумм. Другим типом ложного сигнала является цуг высокочастотных волн, который особенно заметен на трассах с большими значениями p. Это происходит потому, что выборка отражений от наклонных границ выполняется по траектории, характеризующейся большим углом наклона.

На уровень ложных сигналов в угловых суммах влияют несколько факторов. При малой длине косы в области (x, t) концевые эффекты усиливаются и, следовательно, качество восстановления ухудшается, как показано на рис.7.18. Начнем с выборки выносов, которая содержит одно отражение от наклонной границы в (а). Изображение (b) представляет собой p-выборку, а (с) - это восстановленная по ней выборка выносов. Чтобы подчеркнуть ложные сигналы, два последних изображения даны при большем усилении. Для получения изображения (d) (p-выборки) и восстановления по ней (е) и (f) использовались 2/3 выборки выносов.

Рис.7.16Угловое суммирование является обратимым. (а) Выборка выносов распределена в область (p, t) (b), по которой может быть восстановлена первоначальная выборка (с).     Изображения (g), (h), (i) были получены с использованием только одной трети первоначальной выборки. При коротких косах формируются ложные сигналы G и H на выборке угловых сумм и восстановленной выборке. Для точного восстановления выборок угловых сумм обычно требуются данные о конфигурации косы (т.е. о длине и количестве каналов), которые содержатся только в недавно зарегистрированных данных.

Рис.7.17 Угловая сумма может быть использована для интерполяции между трассами. (а) выборка выносов распределена в область (p,t) (с) и восстановлена с применением меньшего интервала между трассами (d). Соответствующие f-k-спектры показывают пространственную неоднозначность в первоначальной выборке (b), которая была устранена после восстановления (с).

Рис.7.18 Изображения (а), (d), (g) представляют собой входные выборки выносов, которое содержат одно отражение от наклонной границы EF. Изображения (b), (е), (h) - соответствующие выборки наклонных сумм. Изображения (с), (f), (i) - восстановленные выборки выносов. Выборка наклонных сумм и восстановленная выборка изображены при большем усилении, чем входные выборки.

Чтобы исследовать шаг выборки по осиp и диапазон величинp, используемые при построении выборки наклонных сумм, рассмотрим синтетическую выборку на рис.7.19 - изображение (а), состоящее из вступлений, образующих гиперболу. На выборке угловых сумм (b) эти вступления располагаются вдоль эллипса. Выбраны следующие величины: количество p-трасс (np) равно количеству x-трасс (nx); минимальная величина p равна 0 (pmin=0); максимальная величина p (pmax) равна наибольшему наклону, присутствующему в данных. Восстановление с использованием этих параметров позволило получить точный результат [изображение (с)]. Двумерные амплитудные спектры первоначальной выборки [изображение (d)] и восстановленной выборки [изображение (e)] несколько различаются между собой, т.к. pmin = 0. Что произойдет, если шаг выборки по оси p будет слишком большим? На рис.7.19 показана выборка угловых сумм [изображение (f)] и восстановленная выборка [изображение (g)], которая получена при np = nx/2 и pmin и pmax таких же, как на изображении (b); следовательно, приращение p получилось вдвое больше, чем на изображении (b). Входная выборка такая же, как на изображении (а). Обратите внимание, что слишком большой шаг выборки по оси p приводит к появлению некоторого количества помех в восстановленной выборке [см. А на изображении(g)].

Рассмотрим обратную ситуацию, т.е. слишком малый шаг выборки по оси p [изображение (h)]. Здесь n_p = 2n_x, а p_min, p_max такие же, как на изображении (b). Слишком малый шаг выборки по оси p не наносит вреда, но и не дает никакого выигрыша [изображение (i)]. Как показали дальнейшие эксперименты (здесь они не приводятся), независимо от длины расстановки уменьшение шага дискретизации по оси p не дает улучшения качества восстановленной выборки.

На практике мы можем встретиться с неподходящим выбором величин (p_min, p_max), т.е. p_max может соответствовать большему наклону, нежели тот, который присутствует во входной выборке [рис.7.19, изображение (j)]. Здесь n_p = n_x, p_min = 0, p_max вдвое больше величины, выбранной на изображении (b), приращение p такое же, как на изображении (f). Следовательно, правая половина p-выборки не содержит составляющих наклона, которые присутствовали во входных данных [изображение (а)]. Вместо них в правой половине содержатся помехи, вызванные конечной длиной косы и дискретизацией вдоль сильно наклоненных траекторий при величинах p, которые ассоциированы с наклонами, не содержащимися в данных выноса. Создание несуществующих компонент наклона в области параметра луча обуславливает появление помех при восстановлении [см. В на изображении (k)]. На практике обнуление с подходящими параметрами в p-области может устранить искусственные сигналы, вызванные ложными p-трассами [правая половина изображения (j)].

Изображения на рис.7.20 эквивалентны изображениям на рис.7.19; исключением является то, что входная выборка [изображение (а)] содержит ложные низкочастотные составляющие. Видно, что искусственные сигналы, наблюдаемые на рис.7.19, в последнем случае являются более выраженными. Однако, обратите внимание, что при правильно выбранных (p_min, p_max),n_p и приращении p [изображение (b)] восстановление является достаточно точным, даже при пространственно неоднозначных данных. Амплитудные спектры первоначальных [изображение (d)] и восстановленных [изображение (е)] данных, в сущности, повторяют друг друга. Исключением является то, что изображение (е) не содержит энергии без ложных составляющих при p<0, которая не была включена в изображение (b).

Исходя из этого экспериментального исследования и других аналогичных исследований параметров, участвующих в обработке наклонной суммы, можно сделать следующие эмпирические утверждения:

1. Здесь n_p = n_x является общим правилом (рис.7.20b и 7.20с).

2. Пределы изменения (p_min, p_max) должны охватывать только те составляющие наклона, которые представляют интерес (рис.7.20b). Например, для морских данных ОСТ p_min = 0, p_max = (1500) с/м.

3. Приращение p определяется как (p_max - p_min)/n_x. Выборку по оси p можно также выполнить приращениями, выраженными в 1/p (горизонтальная фазовая скорость; см. упр.7.3).

4. Концевые эффекты, являющиеся следствием конечной длины расстановки, проявляются в виде линейных полос на выборке угловых сумм (рис.7.18b). Концевой эффект более выражен при меньшей длине косы (рис.7.18h) и при пространственно неоднозначных данных (рис.7.20j).

5. Слишком большой шаг выборки по оси p, когда приращение p больше, чем рекомендуется в п.3, вызывает нарастание помех при восстановлении (рис.7.19g). С другой стороны, слишком малый шаг выборки не наносит вреда (рис.7.19i). Наконец, построение трасс угловой суммы, для которых в данных выноса не существует значения p, обуславливает помеху в выборках наклонных сумм и в восстановленных выборках (рис.7.19j и 7.19k).

АНАЛИЗ КАНАЛЬНЫХ ВОЛН

Морские данные часто осложняются канальными волнами, которые распространяются горизонтально в водном слое или в слоях, залегающих ниже. Эти волны имеют характеристики, зависящие от глубины водного слоя и от геометрии и свойств подстилающих отложений. Моделирование этих продольных волн, распространяющихся в водном слое, может дать лучшее представление об определенных аспектах полевых данных и иногда даже позволит сделать выводы о слоях, залегающих под водой.

Хорошо известная теория нормальных мод предоставляет способ экстраполирования акустических и упругих волн в горизонтальном направлении (Pekeris, 1948; Press и Ewing, 1950). В этом разделе процедура нормальных мод применяется для моделирования профилей ПВ, зарегистрированных на поверхности водного слоя, который расположен выше однородного упругого полупространства. Лучи, соответствующие кратным отражениям, вступлениям прямой волны, преломленной волны и их кратных волн, включены в теорию нормальных мод.

Волноводный эффект поверхностного слоя хорошо известен. Распространение волны в поверхностном слое можно описать, используя теорию нормальных мод (Pekeris, 1948). Модель Pekeris состоит из жидкого слоя, который занимает все акустическое (жидкое) полупространство. Более общие модели, состоящие из жидкого слоя, расположенного выше упругого полупространства, исследованы Press и Ewing (1950). Наиболее полные сведения о работах в этой области приведены у Ewing и др. (1957).

Рис.7.19 (а) Входная выборка; (b) выборка угловых сумм; (с) восстановленная выборка выносов; (d) f-k-спектр изображения (а); (е) f-k-спектр изображения (с). Изображения (f), (h), (i) - это выборки угловых сумм, полученные из входной выборки (а) с помощью различных величин p; изображения (g), (i), (k) - выполненные по ним восстановления. Исходные данные во всех случаях одни и те же [изображение (а)].

Рис.7.20 Та же последовательность, что на рис.7.19, за исключением того, что входная выборка содержит зеркальные частотные составляющие. Обратите внимание на циклический возврат (wraparound) в f-k-спектре (d).

Канальные волны являются диспергирующими. Это означает, что каждая частотная составляющая распространяется со своей скоростью (с горизонтальной фазовой скоростью). Очень хороший пример канальных волн можно видеть на полевых данных (рис.7.21) между временами 1 и 3с на дальнем выносе. Первая часть волнового пакета содержит низкие частоты. Высокие частоты присутствуют на прямолинейной траектории вступлений и сопровождаются умеренными частотами. На этой записи можно также видеть рассеянную в обратном направлении канальную волну (зона В) с обратным линейным приращением, которая указывает на присутствие неоднородностей на дне океана. Эти неоднородности обуславливают также гиперболические траектории вступлений (зона А), которые представляют точечные рассеивающие объекты.

Диспергирующий характер канальных волн наиболее выражен в условиях мелководья (при глубине менее 100м). В зависимости от различных условий морского дна, например, при наличии слоя ила переменной мощности или твердого дна, характер этих волн может изменяться от одного ПВ к другому (рис.7.22). Они могут также обусловить появление линейных помех на суммарных данных (рис.1.86а) и их легко спутать с линейными помехами, которые ассоциированы с боковыми рассеивающими объектами (рис.1.88а).

McMechan и Yedlin (1981) предложили способ получения информации о фазовой скорости по полевым данным. Этот подход основан на преобразовании волнового поля. Сначала запись преобразуется в область угловых сумм. Затем преобразование Фурье (во времени) каждой трассы выборки угловых сумм дает фазовую скорость как функцию частоты. Этот двухшаговый процесс продемонстрирован вместе с примером полевых данных на рис.7.23а. Выборка угловых сумм показана на рис.7.23b, а ее одномерный амплитудный спектр - на рис.7.23с. Горизонтальная ось в области угловых сумм представляет собой параметр луча (т.е. величину, обратную фазовой скорости). Следовательно, на рис.7.23с мы видим изменение горизонтальной фазовой скорости в зависимости от частоты. Каждая кривая соответствует конкретной нормальной моде, распространяющейся в водном слое. Фазовые скорости составляющих нормальной моды асимптотически приближаются к составляющим скорости в водном слое v_w на высокочастотном конце спектра.

Рис.7.21 Выборка ОПВ, содержащая преимущественно канальные волны. Обозначения приведены в тексте.

Теория нормальных мод (Ewing и др., 1957) дает аналитическое выражение фазовой скорости в функции частоты (т.н. характеристическое уравнение или дисперсионное соотношение) для данной модели слоистого разреза. Это выражение используется для моделирования канальных волн. Рассмотрим приемную расстановку и модель, состоящую из водного слоя, который расположен над упругим полупространством (рис.7.24). Источник находится на определенной глубине от поверхности воды, поэтому нужно рассматривать два луча: первичный и луч-спутник. Характеристическое уравнение для данного случая дается Ewing и др. (1957):   (7.8)   где kx - горизонтальное волновое число [rw в ур.(7.7.)]; Н - толщина водного слоя; r1 и r2 - соответственно плотность воды и подстилающего слоя; b2 - скорость S-волн в подстилающем слое; с- фазовая скорость канальных волн в водном слое. Нормированные переменные имеют вид:     где a1 - скорость Р-волн в водном слое; a2 - скорость Р-волн в подстилающем слое. Поскольку тангенс носит перио-

дический характер, ур.(7.8) имеет многозначную функцию в левой части и однозначную функцию в правой части. Чтобы выразить однозначность в явном виде, ур.(7.8) можно переписать следующим образом:

(7.9)

где целое число n=0,1,2,... определяет номер моды. Исследуя ур.(7.8) и (7.9), можно видеть, что фазовая скорость является функцией частоты; следовательно, канальные волны являются диспергирующими. Ур.(7.9) дает действительные значения k_x для a₁ ? с ? a₂. Допустим, что a₁ < b₂ < a₂. В таблице 7.1 даны области фазовой скорости и типы лучей, ассоциированные с каждой областью.

Таблица 7-1 Области фазовой скорости и ассоциированные типы лучей

a1 < с < a2	Закритические, полностью отраженные Р-волны, т.е. отражение в широком диапазоне углов
b2 < с < a2	Закритические, но лишь частично отраженные Р-волны
с > a2	Докритические Р-волны
с = b2	S-волны, преломленные под критическим углом
с = a2	Р-волны, преломленные под критическим углом

Только в закритической области, a₁ < c < b₂, волны полностью захватываются внутри водного слоя. Они часто формируют основной вклад в распространение нормальной моды на дальних выносах, как в примере полевых данных на рис.7.23а. Закритическая область расположена справа от линии СС`. В докритической области происходит утечка энергии в подстилающий слой [отсюда название - вытекающие моды (leaky modes)]. Вклад этой области в энергию, появляющуюся на дальних выносах, относительно мал. Зарегистрированное поле продольных волн для закритической области при различных положениях сейсмоприемников (рис.7.24) имеет следующий вид (Ewing и др., 1957):

(7.10)

где А(w) - амплитудный спектр. Yilmaz (1981) видоизменил это выражение с целью учета влияния волн-спутников. Обратите внимание, что здесь соблюдается принцип взаимности, т.е. произведение синусоидальных коэффициентов, которые модулируют спектр источника А(w), не изменяются, если поменять местами h_r и h_s.

Рис.7.22 Выборки ОПВ (непоследовательные), содержащие канальные волны различной интенсивности. Сумма ОСТ, полученная по этим выборкам, показана на рис.1.86а (данные Denimex Petroleum Company).

Рис.7.23 (а) Выборка ОПВ, содержащая интенсивные отраженные и преломленные кратные волны, ассоциированные с твердым дном. Здесь СС` - энергия, соответствующая критическому углу. (b) Выборка угловых сумм, выделенная по этой выборке ОПВ. (с) Выборка (р, w), выведенная из плоскости (р, t) на изображении (b). Величина, обратная р - горизонтальная фазовая скорость. Рисунок показывает диспергирующий характер канальных волн, т.е. фазовая скорость является функцией частоты для всех составляющих распространяющейся нормальной моды. Эти моды представлены искривленными траекториями на изображении (с).

Рис.7.24 Геометрическое построения для моделирования нормальной моды канальных волн, показанных на рис.7.25. Здесь S - источник; R - сейсмоприемники; hs - глубина источника; hr - глубина сейсмоприемников.

На рис.7.25 показано распространение нормальной моды, рассчитанное по ур.(7.10) (с учетом влияния волны-спутника) для диапазона глубин водного слоя. Параметры модели: a₁=1500м/с; b₂ = 2a₁; a₂ = 1.6b₂; r₂/r₁=2.2. Все результаты экспериментов представляют импульсные отклики, канальные волны т.е. А(w) = 1 в ур.(7.10). Канальные волны проявляются на сложной интерференционной волновой картине в условиях мелководья, а при увеличении глубины постепенно разделяются на простые многократные отражения от дна. Диспергирующий характер канальных волн хорошо выражен, особенно в условиях мелководья.

На рис.7.25 канальные волны моделируются в закритической области, где RP - вступления преломленной волны; RM - ее кратные волны; М1, М2, М3 - кратные отражения от дна. Кривые фазовой скорости на рис.7.26 подтверждают существование ряда распространяющихся мод для каждого случая. Упругий подстилающий слой, эквивалентный случаю твердого дна, поддерживает энергию преломленной волны RP, кратных волн RM и отраженных от дна водного слоя кратных волн М1, М2, М3. Акустический подстилающий слой (b₂=0, эквивалентно случаю мягкого дна) дает только кратные волны, отраженные от дна. Акустические свойства подстилающего слоя подразумевают отсутствие преобразования Р-волн в S-волны.

Рис.7.25 Наложение всех мод в водных слоях различной толщины. Модель глубин показана на рис.7.24. При моделировании учитывалось влияние волн-спутников. Описание помеченных сигналов см. в тексте.

Рис.7.26 Фазовая скорость как функция частоты для случаев, показанных на рис.7.25. Здесь СТ - искусственный сигнал, вызванный конечной длиной косы.

Рис.7.27 (а) Полевые данные с интенсивной энергией поверхностной волны А, ее составляющей В, рассеянной в обратном направлении, канальными волнами С и интенсивным отражением D; (b) р-выборка, полученная по этим полевым данным; (с) восстановление полевой записи с использованием части, расположенной слева от сплошной вертикальной линии на изображении (b) (зона Е); (d) данные после фильтрации наклонов (dip filtering), полученные путем вычитания выборки на изображении (с) из первоначальных данных на изображении (а); (е) первоначальный набор данных (а) после f-k-фильтрации (данные Turkish Petroleum Corporation).