Многогранные поверхности

Многогранники - геометрические тела, поверхность которых состоит из отсеков плоскостей, ограниченных многоугольниками.

Рис. 2-43а Рис. 2-43б

Рис. 2-43в

Рис. 2-43г

Эти многоугольники называются гранями (например: АВS и ВСS на рис. 2-43б); общие стороны смежных многоугольников - ребрами (например: АS, ВS на рис. 2-43б); вершины многогранных углов, образованных его гранями - вершинами многогранника (например: S рис. 2-43б); совокупность вершин и соединяющих их ребер - дискретным каркасом многогранника.

Различают два вида гранных поверхностей с одной направляющей:

1. Пирамидальная поверхность общего вида, рис. 2-43а,

(частный случай-пирамида, рис. 2-43б).

2. Призматическая поверхность общего вида, рис. 2-43в,

(частный случай-призма, рис. 2-43г).

Комплексный чертеж пирамидальной поверхности

Пирамидальная поверхность образуется в результате перемещения прямолинейной образующей (l) по ломаной направляющей (m), в каждый момент движения проходя через некоторую фиксированную точку - S (вершину).

Задача: сконструировать пирамидальную поверхность F с дискретным каркасом из трех образующих М(М₂ )Î F , М₁ = ?

Определитель поверхности: F (m, S) - геометрическая часть l Î m(АВС), S Ì l - алгоритмическая часть или закон каркаса

Алгоритм построения

1. Задать проекции элементов определителя (рис. 2-44)

Рис. 2-44

2. Построить проекции поверхности (дискретный каркас) - это значит провести три образующие, соединив точки А,В,С с точкой S (рис.2-45).

Рис. 2-45

Рис. 2-46

3. Построить проекции линии обреза. В данном случае это- m (АВС)

4. Определить видимость поверхности (ребер и направляющей ломаной относительно друг друга методом конкурирующих точек).

Точки 1 и 2 - фронтально конкурирующие, определяют видимость относительно П₂.

Точки 3 и 4 - горизонтально конкурирующие, определяют видимость относительно П₁.

Часть С₂S₂ - видима, т.к. рассматриваем только боковую поверхность без основания

(рис. 2.46).

5. Точка М(М₂) принадлежит грани АВS(А₂В₂S₂). Чтобы построить М₁ (рис.2.41) нужно через точку М₂ провести какую - либо линию принадлежащую F (точнее, грани А₂В₂S₂), проще всего провести образующую 5₂S₂ Î М₂ , построить ее горизонтальную проекцию 5₁S₁ Þ М₁.

Точка М₁ - видима, т.к. на П₁ грань А₁В₁S₁ - видима.

Задача: сконструировать пирамидальную поверхность общего вида y, а(а₂) Ì y, а­₁ = ?

Определитель поверхности: y (АВDС, S), l Ç ABCD, l É S

1. Задать (построить) проекции элементов определителя.

Рис. 2-47

Для удобства построения ломаную АВDС делаем плоской. Для этого проводим ее диагонали.

Поднимая или опуская одну из точек (D) , добиваемся того, чтобы m стала плоской

(рис. 2-47).

2. Построить проекции поверхности (дискретный каркас) - это значит провести четыре образующих (ребра).

3. Построить проекции линии обреза -сама направляющая является линией обреза: m(АВСD) (рис. 2-48)

4. Определить видимость поверхности.

а) Относительно П₂: точки 1 и 2 - фронтально конкурирующие.

б) Относительно П₁: точки 3 и 4 горизонтально конкурирующие.

Рис. 2-48

5. а Ì y, а₂ É 5₂, 6₂, 7₂, 8₂ - точки строятся по принадлежности образующим (ребрам), следовательно а­₁ É 5₁, 6₁, 7₁, 8₁ (рис. 2-49).

Рис. 2-49