Доказательство обратимости чертежа Монжа

Если по плоскому изображению можно определить натуральную длину отрезка и его ориентацию в пространстве, значит реконструирование пространства возможно, то есть однозначно решается вторая (обратная) задача курса начертательной геометрии.

Пространственный чертёж.

Рис. 1-19

1. AB - отрезок прямой в пространстве. A₁B₁ - горизонтальная проекция отрезка.

Через точку А проведём AВ¹ || А₁В₁. Тогда получим: 1. DАВВ¹ - прямоугольный;

2. АВ - гипотенуза треугольника - натуральная величина отрезка;

3. АВ¹ = А₁В₁ - один из катетов равен проекции отрезка АВ на плоскость проекций П₁.

4. Второй катет BВ¹ есть разность удалений концов отрезка от плоскости проекций П₁.

Проведя аналогичные рассуждения для плоскости проекций П₂, можно сделать вывод, что натуральная величина отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является одна из проекций отрезка. Другой катет есть разность удалений концов отрезка от той плоскости, проекцию на которую взяли за первый катет.

Такой метод нахождения натуральной величины отрезка общего положения называют методом прямоугольного треугольника.

Плоский чертёж.

Дано: две проекции отрезка AB – А₂В₂ и А₁В₁ (рис. 1-20). Требуется определить натуральную величину этого отрезка.

Рис. 1-20

1. Исходя из вышесказанного, A₁B₁ является одним из катетов прямоугольного треугольника.

2. Чтобы найти второй катет, проведём A₂В¹ ^ линиям связи (рис.1-21). B₂B - это разность удалений концов отрезка от П₁.

Рис. 1-21

3. Откладываем расстояние |B₂В¹| на перпендикуляре к A₁B₁ с любой стороны.

5. Отрезок A₁B₀ - это натуральная величина |AB|, а угол a - есть угол наклона AB к П₁.

Аналогично, можно найти угол наклона данного отрезка к П₂, построив прямоугольный треугольник на П₂.

Вывод: Двухкартинный чертёж Монжа обратим.

Трёхкартинный комплексный чертёж точки

Двухкартинный чертёж является метрически определённым чертежом, то есть он вполне определяет форму и размеры фигуры и её ориентацию в пространстве. Однако, часто комплексный чертёж становится более ясным, если помимо двух основных проекций дана ещё одна проекция на третью плоскость. В качестве такой плоскости применяют профильную плоскость проекций П₃.

Пространственный чертёж.

Рис. 1-22

П₃ ^ х, поэтому П₃ ^ П₁ и П₃ ^ П₂.

Три плоскости проекций образуют в пространстве прямоугольный трёхгранник, то есть систему трёх взаимно перпендикулярных плоскостей. Рёбра этого трёхгранника будем обозначать х, y, z.

П₃ - профильная плоскость проекций.

А₃ - профильная проекция точки А.

|AA₃| = |3A₂| = |2A₁| - удаление точки А от П₃.

Плоский чертёж.

Рис. 1-23

A₁A₂ - линия связи в системе П₁ –П₂.

|3A₃| = |1А₁|.

A₂A₃ - линия связи в системе П₂ – П₃.

1А₂ - высота расположения точки,

1А₁ - глубина расположения точки,

3А₂ - ширина расположения точки.

х - абсцисса; y - ордината; z - аппликата.