Особые точки плоских кривых

Точки перегиба (н) - точки, в которых кривая проходит на другую сторону касательной прямой, сохраняя касание.

Двойная или узловая точка (А) - это точка, в которой кривая пересекает сама себя. В точке А кривая имеет две различные касательные t₁ и t₂.

Точки возврата первого ряда (В), в которой кривая подходит к точке двумя ветвями, имеющими в точке В общую касательную, расположенными по разные стороны от касательной.

Точки возврата второго ряда С, в которой кривая подходит к точке двумя ветвями, имеющими в точке С общую касательную, расположенными (вблизи точки С) по одну сторону от обеих ветвей кривой.

Все точки кривых сохраняют свои особенности при параллельном проецировании.

В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям. Свойства проекций кривой:

1) В общем случае проекции кривой линии являются также кривыми линиями;

2) Если точка принадлежит кривой линии, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой кривой;

3) Касательная к кривой линии проецируется в касательную к проекции этой кривой, если направление проецирования не параллельно касательной.

Плоские кривые.

Наиболее распространенными являются плоские кривые линии. Касательной в плоскости кривой в некоторой ее точке называется предельное положение секущей, когда две общие с кривой точки сечения, стремясь, друг к другу, совпадут. Нормалью называется прямая, лежащая в плоскости кривой и перпендикулярная касательной в точке ее касания. Секущая и касательная проецируются в секущую и касательную к проекции кривой (рис. 48).

Поверхности. Общие положения.

В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, между координатами которых устанавливается определенная зависимость.

В начертательной геометрии поверхность рассматривается как непрерывное множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Такой способ называется кинематическим.

Линию l, которая при своем движении образует поверхность, называют образующей. Образующая может перемещаться по какой-либо другой неподвижной линии m , называемой направляющей (рис. 49).

Способы задания поверхности на чертеже:

1. Каркас - это сеть линий, состоящая из двух семейств: семейства образующих l₁1₂, ...и семействами направляющих т_1,т₂… Каждая линия одного семейства пересекает все линии второго семейства (рис. 50).

2. Очерк - проекция линии контура поверхности (рис. 51).

Контуром поверхности называется линия, точки которой являются точками касания к поверхности проецирующих. При изображении поверхности на чертеже проекцию контурной линии (очерк) называют еще линией видимости, которая является границей, отделяющей видимую часть поверхности от невидимой.

3. Определитель (∆) – это совокупность геометрических элементов и условий, необходимых и достаточных для однозначного задания поверхности в пространстве и на чертеже. Определитель содержит две части – геометрическую и алгоритмическую. Например, цилиндрическая поверхность (см. рис. 52): определитель ее ∆ (l,а); l//S; l ∩ а ).

Из сказанного выше можно сделать следующий вывод: поверхность считается заданной, если относительно любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее к данной поверхности.