Ортогональное проецирование

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ.

Если за центр проекций принять несобственную точку S пространства, то проецирующие прямые АА₁, ВВ₁,... будут параллельными между собой. Для их построения вместо отсутствующей на чертеже точки S задают направление проецирования s (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Такой вид проецирования называется параллельным, а точки А₁, В₁, D₁... пересечения проецирующих прямых с плоскостью проекций П₁ - параллельными проекциями точек А, В, D,... пространства. Очевидно, что при параллельном проецировании, так же как и при центральном, каждая точка пространства имеет на плоскости П₁ одну проекцию, но эта проекция не определяет положения точки в пространстве. Следовательно, однопроекционный чертеж, полученный методом параллельного проецирования, тоже необратим (рис. 1.5). Различают прямоугольное(ортогональное) и косоугольноепараллельное проецирование, в зависимости от угла, образованного направлением проецирования с плоскостью проекций.

Рис. 1.5

Параллельное проецирование, являясь частным случаем центрального (центр проекций - несобственная точка S , задаваемая направлением s), помимо свойств, указанных в предыдущем параграфе, сохраняет еще параллельность прямых и отношение длин их отрезков. Свойства геометрических фигур, которые сохраняются при данном виде проецирования, называются его инвариантами.

[назад]

ИНВАРИАНТЫ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

1. Проекция точки на плоскость есть точка (рис. 1.4)

A A₁.

2. Проекция прямой в общем случае прямая: l l₁, (рис. 1.6); она вырождается в точку, если прямая параллельна направлению проецирования:

Рис. 1.6 Рис. 1.7

3. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии (рис. 1.6):

A l A₁ l₁

Следствие из пп. 2 и 3. Для построения проекции прямой достаточно построить проекции двух принадлежащих ей точек (рис. 3):

A l B l A₁ l₁ B_l l₁

4. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения их проекций (рис. 1.6):

К = а b K₁ = а₁ b₁

5. Проекции параллельных прямых параллельны (рис. 1.7):

l l' l₁ l₁'

Следствия:
1) отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций (рис. 1.7):

2) если точка, принадлежащая отрезку прямой, делит его в некотором отношении, то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении

6. Если геометрическая фигура Ф принадлежит плоскости , параллельной плоскости проекций (например, П₁), то проекция этой фигуры на плоскость П₁ конгруэнтна самой фигуре:

Например, если отрезок МN параллелен плоскости проекций, то его проекция на данную плоскость конгруэнтна самому отрезку

7. Проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекций (рис. 1.5 - анимация).

Внимание:
Подумайте, проанализируйте чертежи и докажите справедливость перечисленных инвариантов параллельного проецирования. Рассмотренные свойства (инварианты) параллельного проецирования сохраняются при любом направлении проецирования.

Примечание.
Метрические характеристики геометрических фигур при параллельном проецировании в общем случае не сохраняются (происходит искажение линейных и угловых величин).

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ.

Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, параллельное проецирование называется ортогональным (прямоугольным)
s П₁ (AA₁) П₁. В этом случае проекция А₁, точки А называется ортогональной, или прямоугольной (рис. 1.9). В противном случае проецирование называется косоугольным.

Рис. 1.9

Ортогональное проецирование, являясь частным случаем параллельного, значительно упрощает построение проекций геометрических фигур и является основным при выполнении комплексных чертежей технических форм (рис. 1.10). Рассмотренные в предыдущих параграфах однопроекционные чертежи геометрических фигур являются необратимыми.

Pис. 1.10 Рис 1.11

По ним нельзя мысленно воссоздать пространственную форму и размеры изображенного объекта. Существуют различные способы устранения этого недостатка однопроекционных чертежей в зависимости от принятого вида проецирования. Например, при центральном проецировании точку можно проецировать из двух различных центров (рис. 1.12), при параллельном - при помощи двух различных направлений, при ортогональном - на две пересекающиеся плоскости. Нетрудно заметить, что в каждом из этих случаев получаются две проекции А₁, и А'₁, точки А, однозначно определяющие ее положение в пространстве. Следовательно, обратимый чертеж геометрической фигуры должен содержать не менее двух проекций каждой ее точки.

Рис. 1.12

При построении ортогональных проекций точки на две пересекающиеся плоскости проекций П₁ и П₂ (рис. 1.12) угол между ними принимается равным 90^o. В технике применяются следующие виды обратимых чертежей:
1) комплексные, 2) аксонометрические, 3) перспективные, 4) чертежи с числовыми отметками. В пособии рассматривается первый вид чертежей.

2) Свойства проецирования
Основные инвариантные свойства параллельного проецирования.

При параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (происходит искажение линейных и угловых величин), причём степень нарушения зависит как от аппарата проецирования, так и от положения проецируемой геометрической фигуры в пространстве по отношению к плоскости проекции.
Но наряду с этим, между оригиналом и его проекцией существует определённая связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Эти свойства называются инвариантными (проективными) для данного способа проецирования.
В процессе параллельного проецирования (получения проекций геометрической фигуры по её оригиналу) или реконструкции чертежа (воспроизведения оригинала по заданным его проекциям) любую теорему можно составить и доказать, базируясь на инвариантных свойствах параллельного проецирования, которые в начертательной геометрии играют такую же роль, как аксиомы в геометрии.

Для построения обратимого чертежа необходимо иметь две взаимосвязанные проекции оригинала.
Поэтому только прямоугольное (ортогональное) проецирование, по крайней мере, на две взаимно перпендикулярных плоскости проекций является основным методом построения технического чертежа (метод Монжа).

Ортогональное (прямоугольное) проецирование обладает рядом преимуществ перед центральным и параллельным (косоугольным) проецированием:
1. простоту геометрических построений для определения ортогональных проекций точек
2. возможность при определённых условиях сохранять на проекциях форму и размеры оригинала.

Чертеж Монжа

МЕТОД МОНЖА

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартиннымили комплексным. Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гг. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.

Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа "Geometrie descriptive".

Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.6). Одну из плоскостей проекций П₁ располагают горизонтально, а вторую П₂ - вертикально. П₁ - горизонтальная плоскость проекций, П₂- фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

		Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается x12. Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти. Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П1 совмещают вращением вокруг оси x12 с плоскостью П2(рис.6).Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называетсяэпюром Монжа (франц. Epure – чертеж.) или комплексным чертежом. Геометрические объекты делятся на: линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность) и составные(многогранники, одномерные и двумерные обводы). Рассмотрим способы их образования, графического задания и возможные варианты положения по отношению к плоскостям проекций.
Рисунок 6. Пространственная модель двух плоскостей проекций

4)
Комплексный чертеж точки

Чтобы построить изображение предмета, сначала изображают отдельные его элементы в виде простейших элементов пространства. Так, изображая геометрическое тело, следует построить его вершины, представленные точками; ребра, представленные прямыми и кривыми линиями; грани, представленные плоскостями и т.д

Правила построения изображений на чертежах в инженерной графике основываются на методе проекций. Одно изображение (проекция) геометрического тела не позволяет судить о его геометрической форме или форме простейших геометрических образов, составляющих это изображение. Таким образом, нельзя судить о положении точки в пространстве по одной ее проекции; положение ее в пространстве определяется двумя проекциями.

Рассмотрим пример построения проекции точки А, расположенной в пространстве двугранного угла (рис. 60). Одну из плоскостей проекции расположим горизонтально, назовем ее горизонтальной плоскостью проекций и обозначим буквой П₁. Проекции элементов пространства на ней будем обозначать с индексом 1: А₁, а₁, S ₁… и называтьгоризонтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).

Рис. 60

Рис. 61

Вторую плоскость расположим вертикально перед наблюдателем, перпендикулярно первой, назовем еевертикальной плоскостью проекций и обозначим П₂. Проекции элементов пространства на ней будем обозначать с индексом 2: А₂, <a₂, S₂ и называть фронтальными проекциями (точки, прямой, плоскости). Линию пересечения плоскостей проекций назовем осью проекций.

Спроецируем точку А ортогонально на обе плоскости проекций:

АА₁_|_ П₁;AА₁ ^П₁=A₁;

АА₂_|_ П₂;AА₂ ^П₂=A₂;

Проецирующие лучи АА₁ и АА₂ взаимно перпендикулярны и создают в пространстве проецирующую плоскостьАА₁АА₂, перпендикулярную обеим сторонам проекций. Эта плоскость пересекает плоскости проекций по линиям, проходящим через проекции точки А.

Чтобы получить плоский чертеж, совместим горизонтальную плоскость проекций П₁ с фронтальной плоскостью П₂вращением вокруг оси П₂/П₁ (рис. 61, а). Тогда обе проекции точки окажутся на одной линии, перпендикулярной осиП₂/П₁. Прямая А₁А₂, соединяющая горизонтальную А₁ и фронтальную А₂ проекции точки, называется вертикальной линией связи.

Полученный плоский чертеж называется комплексным чертежом. Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.

Две связанные между собой ортогональные проекции точки однозначно определяют ее положение относительно плоскостей проекций. Если определить положение точки А относительно этих плоскостей (рис. 61, б) ее высотой h (АА₁=h) и глубиной f(AA₂ =f), то эти величины на комплексном чертеже существуют как отрезки вертикальной линии связи. Это обстоятельство позволяет легко реконструировать чертеж, т. е. определить по чертежу положение точки относительно плоскостей проекций. Для этого достаточно в точке А₂ чертежа восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа (считая ее фронтальной) длиной, равной глубине f. Конец этого перпендикуляра определит положение точки Аотносительно плоскости чертежа.