Комбинация многоугольников и окружностей
Задание 26 № 52
1.Основание 
равнобедренного треугольника 
равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания в его середине . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник .
Решение.
Пусть 
— центр данной окружности, а 
— центр окружности, вписанной в треугольник . Точка касания 
окружностей делит пополам. 
и 
— биссектрисы смежных углов, значит, угол 
прямой. Из прямоугольного треугольника получаем: 
Следовательно,
Ответ: 4,5.
----------
Дублирует задание 314827.
Критерии проверки:
Источник: Демонстрационная версия ГИА—2013 по математике.
Задание 26 № 339825
2.В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Решение.
Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Пусть 
— центр окружности, вписанной в треугольник 
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому 
— биссектрисы. Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора найдём 
Отрезки 
и 
равны как радиусы вписанной в треугольник окружности, то есть 
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы 
и 
равны, — общая, следовательно, треугольники равны, откуда 
Аналогично из равенства треугольников 
и 
получаем 
а из равенства треугольников 
и 
— 
Площадь треугольника можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:
Рассмотрим треугольники и 
равно 
, 
равно 
углы и 
равны, следовательно, треугольники и 
равны. Поэтому площадь треугольника равна половине площади параллелограмма:
Площадь параллелограмма равна: 
Ответ: 
Критерии проверки:
Задание 26 № 339886
3.Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B1 и C1. Оказалось, что отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.
Решение.
ВВедём обозначения как показано на рисунке. Отрезок 
проходит через центр описанной окружности, следовательно, — диаметр. Углы 
и 
— вписанные и опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны. Из прямоугольного треугольника 
Из прямоугольного треугольника 
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
углы 
и 
равны, значит 
Ответ: 45°.
Критерии проверки:
Задание 26 № 340855
4.В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 12.
Решение.
Пусть T — точка пересечения прямых AB и CD, P — проекция точки E на прямую CD, Q — проекция точки C на прямую AD (см. рис.). Обозначим ∠CDA = a, CD = x.
Поскольку QD = AD − AQ = AD − BC = 2, получаем, что 
Из подобия треугольников TBC и TAD находим, что TC = 6x.
Поэтому
Следовательно,
Ответ: 
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90201.
Задание 26 № 340907
5.В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 15 , BC = 14.
Решение.
Пусть T — точка пересечения прямых AB и CD, P — проекция точки E на прямую CD, Q — проекция точки C на прямую AD (см. рис.). Обозначим ∠CDA = α, CD = x.
Поскольку QD = AD − AQ = AD − BC = 1, получаем, что 
Из подобия треугольников TBC и TAD находим, что TC = 14x.
Поэтому
Следовательно,
Ответ: 
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90203.
Задание 26 № 340936
6.В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 16 , BC = 8.
Решение.
Пусть T — точка пересечения прямых AB и CD, P — проекция точки E на прямую CD, Q — проекция точки C на прямую AD (см. рис.). Обозначим ∠CDA = α, CD = x.
Поскольку QD = AD − AQ = AD − BC = 8, получаем, что 
Из подобия треугольников TBC и TAD находим, что TC = x.
Поэтому
Следовательно,
Ответ: 
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90204.
Задание 26 № 341345
7.В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 7 :3 . Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади четырёхугольника KPCM.
Решение.
Медиана KM разбивает треугольник AKC на два равновеликих треугольника — пусть их площади равны по 3S. Поскольку 
получаем, что 
Пусть 
и 
Тогда 
отсюда 
Далее, 
а тогда 
то есть 
и 
Получаем, что 
Ответ: 49 : 81.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90701.
Задание 26 № 341371
8.В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 14, SQ = 4 .
Решение.
Поскольку ∠QPS = ∠QPM = ∠MNQ = ∠QNP (см. рис.), треугольник PQS подобен треугольнику NQP по двум углам (угол при вершине Q общий). Поэтому 
Пусть NS = x. Тогда 
Из этого уравнения находим, что x = 45.
Ответ: 45.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90702.
Задание 26 № 341397
9.Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 96, тангенс угла BAC равен 
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение.
Заметим, что ∠CAB = 90° − ∠CBA = ∠PCB, так что треугольник ABC подобен треугольнику CBP.
Пусть радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r, тогда 
Поскольку тангенс угла BAC равен 
получаем, что, 
Значит, 
откуда r = 204.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90703.
Задание 26 № 341512
10.На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 40, BC = 34 и CD = 20.
Решение.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что ∠BCD = ∠CAD = ∠CAB, значит, треугольник ABC подобен треугольнику CBD по двум углам, причём коэффициент подобия равен 
(см. рисунок). Тогда
Следовательно,
Ответ: 51.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.05.2015 вариант МА90901.
Задание 26 № 311574
11.Диагонали четырёхугольника 
, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке . Известно, что 
= 72°, 
= 102°, 
= 110°. Найдите 
.
Решение.
Пусть 
.
= 180° − 110° = 70°;
= 102° − x; 
+ 102° − x = 70°; x = + 32°.
= 72°; 
; = 72° − x; 2x = 104°, x=52°.
Ответ: 52°.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 1 (1 вар)
Задание 26 № 311703
12.Длина катета прямоугольного треугольника равна 8 см. Окружность с диаметром пересекает гипотенузу в точке . Найдите площадь треугольника , если известно, что 
.
Решение.
Пусть 
см, 
см и 
см. Поэтому гипотенуза 
см. По теореме Пифагора:
.
По теореме о секущей и касательной
.
Следовательно, 
, откуда 
.
Тогда 
.
Следовательно, площадь треугольника равна
.
Ответ: 
.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа №1 (1 вар.)
Задание 26 № 341423
13.Углы при одном из оснований трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 1. Найдите основания трапеции.
Решение.
Пусть ABCD — данная трапеция, AD — большее основания, K и L — середины сторон AB и CD соответственно. Сумма углов при одном из оснований равна 85° + 5° = 90°, так что это большее основание AD.
Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке O (см. рис.).
Легко видеть, что ∠AOD = 180° − (85° + 5°) = 90°.
Пусть N — середина отрезка AD. Тогда 
— медиана прямоугольного треугольника AOD. Поскольку медиана ON делит пополам любой отрезок с концами на сторонах AO и DO треугольника AOD, параллельный стороне AD, она пересекает основание BC также в его середине M.
Значит, 
Таким образом, 
Средняя линия KL трапеции при этом равна 
Получаем, что AD = MN + KL = 11 + 1 = 12; BC = KL − MN = 11 −1 = 10.
Ответ: 12; 10.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90704.
Задание 26 № 341538
14.Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 28 и 35, а основание BC равно 7. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Пусть M — середина AB (см. рис.). Продолжим биссектрису DM угла ADC до пересечения с продолжением основания BC в точке K. Поскольку ∠CKD = ∠ADK = ∠CDK, треугольник KCD равнобедренный, KC = CD = 35. Тогда KB = KC − BC = 35 − 7 = 28.
Из равенства треугольников AMD и BMK следует, что AD = BK = 28. Проведём через вершину C прямую, параллельную стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке P. Треугольник CPD прямоугольный, так как CD2 = 352 = 282+ + 212 = PC2+ + PD2.
Поэтому CP — высота трапеции. Следовательно,
Ответ: 490.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.05.2015 вариант МА90902.
Задание 26 № 130
15.Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен 
. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Решение.
Угол BAC равен углу BCP так как 
и 
. Так как тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем: 
Тогда 
а гипотенуза 
по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:
Таким образом, 
а 
Так как 
то 
а 
по теореме Пифагора.
В треугольнике площадь равна произведению половины его периметра на радиус вписанной в него окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:
Ответ: 
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.
Задание 26 № 311705
16.На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.
Решение.
Пусть вершины 
и 
ромба лежат на окружности радиуса 3, а вершины и 
лежат на окружности радиуса 4. Примем сторону ромба за 
, а величину угла за 
.
Тогда по теореме синусов для треугольника
.
Аналогично по теореме синусов для треугольника 
:
.
Значит, 
и 
. Получаем уравнение
.
Откуда 
. Следовательно, сторона ромба равна 4,8.
Ответ: 4,8.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа № 2(1 вар)
Задание 26 № 156
17.Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.
Решение.
Медиана BM делит AC пополам. Центр окружности лежит на середине медианы BM, тогда ON — средняя линия в треугольнике BMC, где O — центр окружности, а N — точка пересечения этой окружности стороны BC. Средняя линия в треугольнике равна половине основания, поэтому ON = 1. Средняя линия ON является радиусом окружности. Так как медиана BM является диаметром, то BM = 2ON = 2. Проведем MN в треугольнике BMC. Так как угол BNM опирается на диаметр BM, то 
таким образом, треугольник BNM — прямоугольный. Так как MN — средняя линия, то она параллельна AB, тогда треугольник ABC — прямоугольный. Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, таким образом, радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности равен 2.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1313.
Задание 26 № 315126
18.Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник 
— он равнобедренный, следовательно, 
. Аналогично в треугольнике 
имеем: 
Теперь рассмотрим треугольник 
: сумма его углов равна 180°, поэтому
Поскольку кроме этого 
имеем:
Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, имеют общий катет и 
равно 
следовательно, эти треугольники равны, а значит, 
.
Точка отстоит на равное расстояние от всех трёх вершин треугольника, 
, следовательно, точка — центр окружности, описанной около треугольника . Найдём сторону 
Ответ: 14.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 26 № 314944
19.Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 16. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение.
Введём обозначения, приведённые на рисунке. Лучи и — соответственно биссектрисы углов 
и , поскольку эти лучи проходят через центры вписанных окружностей. — середина основания 
следовательно 
Углы 
и 
равны друг другу, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники и 
— они прямоугольные и имеют равные углы и , следовательно эти треугольники подобны:
Отсюда следует, что радиус вписаной окружности:
Ответ: 
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 26 № 339675
20.Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Для решения этой задачи необходимо знание формул тригонометрии.
Решение.
Проведём через точку прямую, параллельную диагонали 
Дуги 
и равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды: 
Вертикальные углы 
и 
равны. Углы и 
равны как накрест лежащие: 
Четырёхугольник 
вписан в окружность, следовательно, суммы противолежащих углов равны 180°, откуда 
Рассмотрим треугольник 
По теореме косинусов:
Найдём радиус описанной вокруг треугольника 
окружности по теореме синусов: 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Передвинем хорду так, чтобы она стала параллельна стороне (см. рисунок). Заметим, что при таком движении угол остаётся равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг и 
Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги и 
равны. Углы и 
равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник 
— равнобедренный:
Все углы треугольника равны 60°, следовательно, треугольник — равносторонний, значит 
Аналогично можно показать, что треугольник — равносторонний, откуда 
Рассмотрим треугольник 
По теореме косинусов:
По теореме синусов: 
Приведём другое решение.
Рассмотрим треугольник 
сумма углов треугольника равна 180°: 
Углы и 
являются смежными, следовательно, 
откуда:
Пусть 
— радиус описанной окружности, угол 
обозначим как 
Рассмотрим треугольник 
он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:
Аналогично, из треугольника 
Разделим на 
Откуда:
Найдём 
Таким образом, радиус описанной окружности равен:
Критерии проверки:
Задание 26 № 339413
21.Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 17 и MB = 19. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.
Решение.
Угол равен половине дуги на которую он опирается, поскольку это угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведённой через точку касания. Угол — вписанный, поэтому он также равен половине дуги, на которую опирается. Углы и опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Рассмотрим треугольники и 
угол — общий, углы и равны, следовательно, треугольники подобны, откуда 
Биссектриса угла делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: 
Получаем:
Найдём 
Ответ: 
Критерии проверки:
Задание 26 № 311668
22.В треугольнике угол 
равен 120°, а длина стороны на 
меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны и продолжений сторон и .
Решение.
Центр окружности является точкой пересечения биссектрис углов 
и 
. При этом по свойству касательных 
. Следовательно, длины ломаных 
и 
равны полупериметру 
. По условию 
. 
Найдем радиус 
и<