Геометрическая задача на доказательство
Треугольники
Четырехугольники
Окружность
Треугольники и их элементы
Задание 25 № 103
1. 
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Решение.
Так как по условию 
то треугольник 
является равнобедренным. Пусть угол при основании этого треугольника равен x, тогда 
Треугольники 
и 
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому 
и треугольник 
—равнобедренный.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.
Задание 25 № 340341
2.Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Решение.
Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы и 
равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда 
Рассмотрим треугольники 
и 
углы 
и 
равны как вертикальные, 
следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
См. также.
Аналогичное задание с тупоугольным треугольником: 340854.
Критерии проверки:
Задание 25 № 340854
3.В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
Решение.
Поскольку угол ACB тупой, основания высот A1 и B1 будут лежать на продолжениях сторон BC и AC соответственно. Диагонали четырёхугольника AA1B1B пересекаются, поэтому он выпуклый. Поскольку ∠AA1B = ∠AB1B = 90°, каждый из прямоугольных треугольников AA1B и AB1B вписан в окружность с диаметром AB. Это означает, что все вершины четырёхугольника AA1B1B лежат на одной окружности. Тогда углы ∠AB1A1 и ∠ABA1 равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу A1A. Аналогично, ∠BA1B1 = ∠BAB1. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.
Укажем общую теорему.
Основания двух высот треугольника (остроугольного или тупоугольного) и одна из его вершин образуют треугольник, подобный исходному; коэффициент подобия равен модулю косинуса их общего угла.
См. также.
Аналогичное задание с остроугольным треугольником: 340341.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90201.
Задание 25 № 340880
4.В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.
Решение.
Поскольку ABCD выпуклый и ∠ABD = ∠ACD, получаем, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. А тогда ∠DAC = ∠DBC как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу CD.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90202.
Задание 25 № 340906
5.Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD ⊥ EF.
Решение.
Точка E равноудалена от C и D , поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. То же можно сказать и о F. Значит EF — серединный перпендикуляр к CD, то есть CD ⊥ EF.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90203.
Задание 25 № 341688
6.Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Решение.
Поскольку диагонали четырехугольника AB1A1B пересекаются, он является выпуклым, а так как 
, около него можно описать окружность. Тогда углы AA1B1 и ABB1 равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу AB1.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 29.09.2015 вариант МА90103.
Задание 25 № 129
7. 
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
Решение.
Так как точки M, N, K - середины сторон и треугольник ABC- равносторонний, то отрезки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны. В равностороннем треугольнике все углы равны, таким образом, треугольники AMK, NMB, CNK равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда MN=MK=KN, значит треугольник MNK- равносторонний.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.
Задание 25 № 311561
8.На стороне 
треугольника отмечены точки 
и 
так, что 
. Докажите, что если 
, то .
Решение.
Треугольник 
— равнобедренный, поэтому 
. Значит, 
и треугольники и равны по первому признаку равенства треугольников. Значит, .
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(1 вар)
Задание 25 № 311567
9.На медиане 
треугольника 
отмечена точка . Докажите, что если 
, то 
.
Решение.
Поскольку треугольник 
— равнобедренный, получаем, что его медиана 
также является высотой. Значит, в треугольнике отрезок является высотой и медианой. Поэтому треугольник — равнобедренный, то есть 
.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)
Задание 25 № 311602
10.Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
Решение.
Имеем: 
Докажем, что 
.
1) 
по стороне и двум прилежащим к ней углам:
а) — общая;
б) 
по свойству углов равнобедренного треугольника;
в) 
по определению биссектрисы и равенству углов при основании равнобедренного треугольника.
2) 
как соответствующие элементы равных треугольников.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1 (1 вар)
Задание 25 № 311605
11. 
Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки 
и 
равны.
Решение.
Рассмотрим треугольники 
и 
.
В них 
и
60° 
.
Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
Поэтому 
как соответствующие стороны равных треугольников.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2 (2 вар.)
Задание 25 № 311606
12. 
Два равных прямоугольника имеют общую вершину 
(см. рис.). Докажите, что площади треугольников 
и 
равны.
Решение.
Две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого: 
и 
. Рассмотрим углы между ними:
360° 
180° 
.
Поэтому
.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2 (3 вар.)
Задание 25 № 311665
13.Докажите, что у равных треугольников и 
биссектрисы, проведённые из вершины 
и 
, равны.
Решение.
Пусть 
и 
— биссектрисы треугольников и 
. В треугольниках 
и 
соответственно равны стороны и 
, а также углы 
и 
, 
и 
. Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Значит, 
, что и требовалось доказать. 
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа №2.(4 вар)
Задание 25 № 311669
14.В треугольнике угол 
равен 36°, 
— биссектриса. Докажите, что треугольник 
— равнобедренный.
Решение.
Треугольник равнобедренный, поэтому 
= 72°. Значит, 
= 36°. Таким образом, углы и 
равны, поэтому треугольник — равнобедренный.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Пробные варианты от ФИПИ (1 вар.)
Задание 25 № 311773
15.В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
Решение.
Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC черезO, а точку пересечения высот через H. Тогда 
и 
Таким образом, точки A, C, O и H лежат на одной окружности.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90101.
Задание 25 № 311969
16.Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.
Решение.
Пусть O — центр окружности, d — её диаметр, а M, N и K — точки касания окружности с прямыми AC, AB и BC соответственно. Радиус OM перпендикулярен AC, а OK перпендикулярен BC. Следовательно, в четырёхугольнике OMCK имеем ∠C = ∠M = ∠K = 90°, а значит, OMCK — прямоугольник. Поскольку OM = OK, прямоугольник OMCK — квадрат. Следовательно, 
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны: AM = AN, BN = BK и CM = CK. Периметр треугольника ABC равен
P = AB + BC + AC = AC + AN + BN + BC =
= AC + AM + BK + BC = MC + CK = 2MC = d.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.11.2013 вариант МА90202.
Задание 25 № 315062
17. 
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Решение.
Углы 
и равны, поэтому треугольник — равнобедренный, то есть 
Углы 
и 
— развёрнутые, поэтому:
Рассмотрим треугольники 
и 
следовательно, эти треугольники равны, а значит, 
то есть треугольник — равнобедренный.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 25 № 315085
18. 
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АDB и BEC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Решение.
Углы 
и 
— развёрнутые, поэтому:
Углы и равны, следовательно, треугольник — равнобедренный, значит 
Рассмотрим треугольники и 
следовательно, эти треугольники равны, а значит, то есть треугольник — равнобедренный.
Критерии проверки:
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 25 № 316244
19.В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.
Решение.
В треугольнике ABC имеем 
, а 
Таким образом, 
значит, 
Критерии проверки:
Источник: Диагностическая работа 01.10.2013 Вариант МА90105
Задание 25 № 316334
20.В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60° . Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и центр вписанной окружности треугольника ABC лежат на одной окружности.
Решение.
Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O, а центр вписанной окружности через I.
Тогда
Таким образом, точки A, C, O и I лежат на одной окружности.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90103.
Задание 25 № 333348
21.Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
Решение.
Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов ABC и ADC равна 180°.
Следовательно,
∠KDC =180° − ∠ADC = ∠ABC.
Получаем, что в треугольниках KAB и KCD углы ABK и CDK равны, угол K общий, следовательно, эти треугольники подобны.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90702.
Задание 25 № 339384
22.Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Проведём медиану 
и высоту 
Площадь треугольника 
, площадь треугольника 
Отрезки 
и 
равны, следовательно, 
Критерии проверки:
Задание 25 № 340243
23.В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
Решение.
Углы 
и 
равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники и 
они прямоугольные, углы и равны, следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
Рассмотрим треугольники 
и 
углы и равны как вертикальные, 
следовательно, эти треугольники подобны.
Критерии проверки:
Задание 25 № 349266
24.Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
Решение.
Поскольку четырёхугольник ABCD вписанный, сумма углов ABC и ADC равна 180°.
Следовательно,
∠KDC =180° − ∠ADC = ∠ABC.
Получаем, что в треугольниках KAB и KCD углы ABK и CDK равны, угол K общий, следовательно, эти треугольники подобны.
----------
Дублирует задание 333348
Задание 25 № 350829
25.В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что треугольники AB1C1 и ABC подобны.
Решение.
Углы 
и 
равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы и равны, следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
Рассмотрим треугольники 
и углы 
и 
равны как вертикальные, 
следовательно, эти треугольники подобны.
Задание 25 № 353162
26.В остроугольном треугольнике проведены высоты 
и 
. Докажите, что углы 
и 
равны.